离散数学 第6章 集合代数

文氏图的实例
有穷集的计数问题
• 使用文氏图可以很方便地解决有穷集的计数问题。 • 首先根据已知条件把对应的文氏图画出来。 – 一般地说，每一条性质决定一个集合。 – 有多少条性质，就有多少个集合。 – 如果没有特殊说明，任何两个集合都画成相交的 • 然后将已知集合的元素数填入表示该集合的区域内。 – 通常从n个集合的交集填起， – 根据计算的结果将数字逐步填入所有的空白区域。 – 如果交集的数字是未知的，可以设为x。 • 根据题目中的条件，列出一次方程或方程组，就可以求得所 需要的结果。
| A B C |
= 1000(200+166+125)+(33+25+41)8 = 600
3．广义运算的性质 （1）=，无意义 （2）单元集{x}的广义并和广义交都等于 x （2）广义运算减少集合的层次（括弧减少一层） （3）广义运算的计算：一般情况下可以转变成初级运算 {A 1,A2 ,…,A n}=A 1A2 …An {A 1,A2 ,…,A n}=A 1A2 …An 4．引入广义运算的意义 可以表示无数个集合的并、交运算，例如 {{x}|xR}=R 这里的 R 代表实数集合.
第二部分 集合论
一、本部分的主要内容 集合代数----集合的概念和基本运算 关系----二元关系的表示、运算、性质、特殊的关系 函数----函数定义、性质、运算 集合的基数----集合的等势、集合的基数 二、本部分的基本要求 掌握集合及其相关的基本概念 熟练掌握集合以及关系、函数的基本运算 了解和使用基本的证明方法
图1
隶属关系可以看作是处在不同层次上的集合之间的关系。
规定：对任何集合A都有AA。
第二节 集合的运算
一、初级运算 1．定义 6.7 并 交 相对补
举例
AB = {x | xA xB} AB = {x | xA xB} AB = {x | xA xB}
命题演算证明法的书写规范 (以下的 X 和 Y 代表集合公式) （1）证 XY 任取 x， xX … xY （2）证 X=Y 方法一 分别证明 XY 和 YX 方法二 任取 x， xX … xY 注意：在使用方法二的格式时，必须保证每步推理都是 充分必要的
证明 AB AB=B AB=A AB= ① 证 ①② 显然 BAB，下面证明 ABB. 任取 x， xAB xAxB xBxB xB 因此有 ABB. 综合上述②得证. ②③ A=A(AB) A=AB (由②知 AB=B，将 AB 用 B 代入) ② ③ ④
| A1 A2 ... An || S | | Ai |
1i n
1i j n
| A A
i
j
|

1i j k n
| Ai A j Ak | ... (1) n | A1 A2 ... An |
2．计数实例 例 求 1 到 1000 之间（包含 1 和 1000 在内）既不能被 5 和 6 整除，也不能被 8 整除的数有多少个？ 解 方法一
例 6.5 设 ＝{{a},{a,b}} A 计算∪∪A，∩∩A 和∩∪A∪(∪∪A－∪∩A)。 ∪A＝{a,b} 解 ∩A ＝{a} ∪∪A＝a∪b ∩∩A ＝a ∪A＝a∩b ∩ ∪∩A＝a ∪A∪(∪∪A－∪∩A) ∩ ＝(a∩b)∪((a∪b)－a) ＝(a∩b)∪(b－a) ＝b 所以∪∪A＝a∪b，∩∩A＝a，∩∪A∪(∪∪A－∪∩A)＝b。
三、元素与集合 1．集合的元素具有的性质 无序性——元素列出的顺序无关 相异性——集合的每个元素只计 数一次 确定性——对于任何元素和集 合，都能确定这个元素是否为该 集合的元素 任意性——集合的元素也可以是 集合 2． 元素与集合的关系——隶属关系： 或者 3．集合的树型层次结构
说 明
d A , a A
33
图3
方法二 令 S = {x | xZ1x1000}, B = {x | xSx0(mod 6)}, 则 |S| = 1000 |A| = 1000/5 = 200, |B| = 1000/6 = 166, |C| = 1000/8 = 125 |AB| = 1000/lcm(5,6) = 1000/33 = 33 |AC| = 1000/lcm(5,8) = 1000/40 = 25 |BC| = 1000/lcm(6,8) = 1000/24 = 41 |ABC| = 1000/lcm(5,6,8) = 1000/120 = 8 A = {x | xSx0(mod 5)} C = {x | xSx0(mod 8)}
＝A1∪A2∪…∪An
＝A1∩A2∩…∩An 并和交运算还可以推广到无穷多个集合的 情况：
＝A1∪A2∪…
＝A1∩A2∩… 定义6.8 设A，B为集合，A与B的对称差集 AB定义为： AB＝(A－B)∪(B－A) 例如A＝{a，b，c}，B＝{b，d}，则 AB＝{a，c，d}。 对称差运算的另一种定义是 AB＝(A∪B)－(A∩B) 可以证明这两种定义是等价的。 在给定全集E以后，AE，A的绝对补集～A 定义如下：
三、运算的优先权规定 为了使得集合表达式更为简洁，我们对集合运算的优先顺序做 如下规定： 称广义并，广义交，幂集，绝对补运算为一类运算，并，交， 相对补，对称差运算为二类运算。 一类运算优先于二类运算。 一类运算之间由右向左顺序进行。 二类运算之间由括号决定先后顺序。 例如下面的集合公式： ∩A －∪B，∪P(A)，～P(A)∪∪B，～(A∪B) 都是合理的公式。
第三节 集合恒等式
一、集合算律 1．只涉及一个运算的算律 交换 结合 幂等 AB=BA (AB)C=A(BC) AA=A AB=BA (AB)C=A(BC) AA=A AB=BA (AB)C=A(BC)
2．涉及两个运算的算律 与 分配 吸收 A(BC)=(AB)(AC) A(BC)=(AB)(AC) A(AB)=A A(AB)=A 与 A(BC)=(AB)(AC)
二、集合等式或包含关系的证明 方法一：命题演算法 例 证明 A(AB) = A （吸收律） xA(AB) xAxAB xA(xAxB) xA 因此得 A(AB) = A. 例 证明 AB = AB x AB xAxB xAxB xAB 方法二：等式代入法(假设交换律、分配律、同一律、零律已经成立) 例 证明吸收律 A(AB) = (AE)(AB) = A(EB) = A(BE) = AE = A 证 任取 x, 证 任取 x,
第六章 集合代数
主要内容 集合的基本概念----属于、包含、幂集、空集、 文氏图等 集合的基本运算----并、交、补、差等 集合恒等式----集合运算的算律、 恒等式的证明 方法 与后面各章的关系 是集合论后面各章的基础 是典型的布尔代数系统
第一节 集合的基Байду номын сангаас概念
一、集合的定义 集合没有精确的数学定义 直观理解： 由离散个体构成的整体称为集合， 称这些个体为集合的元素 常见的数集：N, Z, Q, R, C 等分别表示自然数、整数、有理数、实数、 复数集合 二、集合的表示法 1．枚举法----通过列出全体元素来表示集合 2．谓词法----通过谓词概括集合元素的性质 实例： 枚举法 自然数集合 N={0,1,2,3,…} 谓词法 S={x| x 是实数，x21=0}
例
证明 AB AB=B AB=A AB= ① ② ③ ④
证明思路： 确定问题中含有的命题：本题含有命题 ①, ②, ③, ④ 确定命题间的关系（哪些命题是已知条件、哪些命题是 要证明的结论） ：本题中每个命题都可以作为已知条件， 每个命题都是要证明的结论 确定证明顺序：①②，②③，③④，④① 按照顺序依次完成每个证明（证明集合相等或者包含）
3．涉及补运算的算律 D.M 律 双重否定 A(BC)=(AB)(AC) A(BC)=(AB)(AC) (BC)=BC (BC)=BC A=A
4．涉及全集和空集的算律 补元律 零律 同一律 否定 AA= A= A=A =E E AA=E AE=E AE=A E=
例6.2
法 9 英 13 y1 2 4-x 5-2 日 5
y2
4-x
4-x
x
y3
y1+2(4-x)+x+2＝13
y2+2(4-x)+x＝9
德 10
y3+2(4-x)+x＝10
y1+y2+y3+3(4-x)+x＝24-5
4、有穷集合元素的计数 1．计数方法 （1）文氏图法 （2）公式法——包含排斥原理 设集合 S 上定义了 n 条性质，其中具有第 i 条性质的元素构成子 集 Ai, 那么集合中不具有任何性质的元素数为
例6.2 对24名会外语的科技人员进行掌握外语情况 的调查。其统计结果如下：会英、日、德和法语 的人分别为13，5，10和9人，其中同时会英语和 日语的有2人，会英、德和法语中任两种语言的都 是4人。已知会日语的人既不懂法语也不懂德语， 分别求只会一种语言(英、德、法、日)的人数和 会三种语言的人数。 解：令A，B，C，D分别表示会英、法、德、日语的 人的集合。根据题意画出文氏图。设同时会三种 语言的有x人，只会英、法或德语一种语言的分别 为y1，y2和y3人。将x和y1，y2，y3填入图中相应的 区域，然后依次填入其它区域的人数。
• 文氏图的构造方法如下：
– 画一个大矩形表示全集E(有时为简单起见可将 全集省略)。 – 在矩形内画一些圆(或任何其它的适当的闭曲 线)，用圆的内部表示集合。 – 不同的圆代表不同的集合。如果没有关于集合 不交的说明，任何两个圆彼此相交。 – 图中阴影的区域表示新组成的集合。 – 可以用实心点代表集合中的元素。
③④ 假设 AB, 即xAB，那么知道 xA 且 xB. 而 xB xAB 从而与 AB=A 矛盾. ④① 假设 AB 不成立，那么 x(xAxB) xAB AB 与条件④矛盾.