债券的定价分析
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而利率上下限选择权，则将影响债券适用的利率。
固定收益证券分析
➢
对利率可能随时间而变化的情况加以分析和说明
的模型，被称为利率模型(Interest Rate Model)。
➢
通过假定短期利率与利率波动性之间的关系，如
假定利率和利率的波动符合正态分布，从而构造出某
一时间段后，利率的变化分布，如利率树(Interest
40
4、远期利率对二叉树的修正：无套利分析 对理论推测进行修正的基本思路，是引入无套利分析法
39
这种估计远期利率分布的方法使用很少，主要原因是这 一方法所假定的未来利率分布呈上涨和下跌概率不变的二项 分布，缺乏根据市场变化对所推导利率进行修正或调整，从 而可能使理论与实际的市场情况存在较大误差的可能。
对于大多数较为成熟的金融市场，都有利率期限结构等 市场对远期市场的预期，完全可以作为推算远期利率的修正 基础。
11
Vasicek模型在利率期限结构模型中，形式相对较为简 单，也比较容易使用。
但这一模型无法避免负利率问题，因为Vasicek模型假 定利率变化呈正态分布；而且假定了所有的债券之间都是完 全正相关的。
这一模型另一个不足之处是，无法用该模型直接推导出 实际的期限结构曲线。在对以债券为基础的欧式期权定价时 ，这一模型还是有用的。
d ln rt ( a ln rt )dt tdzt
其中：
当a 0， t不变时，为Salomom模型； 当a 0， t可变时，为Black Derman Toy模型
6
2、Rendleman和Bartter模型 Rendleman和Bartter模型中，利率被假定为服
从几何布朗运动，具有常数期望增长率μ和常数波 动率σ，其风险中性过程可以表示为：
16
17
对于几种主要的单因素模型及其相应的条件假定， 可总结如下表：
几种单因素模型及其相应的理论假定
模型
利率分布假定
波动率
Ho-Lee 模型 Hull-White 模型 Salomon 模型 BDT 模型对数 Black-Karasinki模型
正态分布 正态分布，均值回归 对数正态分布 正态分布 对数正态分布,均值回归
dr rdt rdz
7
从这里可以看到，Rendleman, Bartter模型所描述的利 率期限结构变化，与典型的股票价格变化是一致的，正如可 以用二叉树分析股票价格一样，也可以用二叉树的方法对利 率期限结构进行讨论，具体参数的决定如下：
u e t d e t p et d
d
8
Rendleman, Batter模型的缺陷： 在上面有关的假设中，Rendleman, Batter模型假定了利 率和股票价格的波动是相似的。 但在现实生活中，二者有着显著的差异，主要表现在 利率会随时间的推移而呈现出向某个长期平均水平收敛的 趋势，即有均值回归的特点（Mean Reversion）。
25
如果半年后利率上升为5.5%，则债券价值为： 如果半年后利率下降为4.5%，则债券价值为： 如果按当前5.15%一年期即期利率计算，债券价值为：
我们可以得到这个一年期零息票债券的价格：
27
如果半年后利率上升和下降的概率各占50%，则： 不等于实际价格950.42。假定半年后利率上升的概率为p：
不变 不变 不变 变化 变化
18
（二）双因素模型 对于单因素模型中假定的所有债券收益都是完全正相关，且利
率期限结构完全依赖于短期利率，Brennan和Schwartz（1978）在 同时假定短期和长期利率的波动均符合正态分布的条件下，即：
dr1 a1 r1 dt 1dz1 dr2 a2 r2 dt 2dz2
第四章 债券的定价分析
一、利率期限结构模型 二、二叉树定价模型 三、几类嵌入期权债券定价
一、利率期限结构模型
Black-Scholes模型很难直接用于对固定收益证券定价 。原因有二：
1、B-S模型假定了利率期限结构是水平的，这假设对期 限可达数十年的长期债券，显然是不合理的。
2、债券价格变化的标准差非常小，而且债券价格随着 到期日的临近将趋同于债券的面值。
：利率波动性
t: 单个时间段的时间长度 p: 利率上涨的概率
：利率的平均值
固定收益证券分析
➢
简单二叉树模型利率树
固定收益证券分析
➢ 上图中最后一列列出的是出现这种利率的概率。 其计算公式为：
C p q k nk
P x=k =n k
n!
n C k = k!n-k !
其中：
P x=k：在n个时间段中，有k次出现上涨的概率
Rate Tree)。
固定收益证券分析
➢
仅对短期或长期利率进行预测、排树的模型称为
单因素模型(One-Factor Model)；
➢
同时对短期和长期利率进行预测的，则称为双因
素模型(Two-Factor Model)。
➢
虽然不同模式所选择的变量不同，但基本原理都
是一致的，都是以利率及其波动性之间呈某种特定关
从动态来看，必须对不同时点的利率变化加以描述。
3
（一）单因素模型 1、概述 在单因素模型中，利率运动过程只包含一个不确定性的
来源。单因素模型可分为两类： 一类是假定利率本身的运动过程服从正态分布，其基本
的形式是：
drt a( rt )dt rt dzt
其中：0 a 1,
0, 0, dz符合正态分布 表示利率的长期回归均值
系为基础。
固定收益证券分析
（二）二叉树模型 以利率的未来变化呈二项分布为基础的二叉树
模型，是相对较为简单和直观的模式之一。 下面将重点对二叉树模型加以介绍，并运用这一
模型对可赎回债券、回售债券等价格进行讨论。
固定收益证券分析
1、一个例子： 一个零息票债券，面值为1000元，一年后到期。当前 半年期的即期利率为5%，一年期的即期利率为5.15%，均 为半年计复利。半年后的半年期即期利率可能从5%上升为 5.5%或下降为4.5%，即：
12
Jamshidian根据Vasicek模型推导出计算T时刻到期的、基于零息债 券的欧式看涨期权在t时刻价值的公式为：
czb LP(t, s)N (h) XP(t,T )N (h p ) 式中：
h 1 ln LP(t, s) p p XP(t,T ) 2
p
a
1 ea(sT )
10
可以推导出：
t rT
1 T t
B(t,T )r(t) 1 ln T t
A(t,T )
上式中：
B（t，T） 1 e (T t)
A(t,T
)
exp
B(t,T )
(T
t)( 2
2
2
2
)
2 B(t,T
4
)2
从上式可以看到，trT与rt之间呈线性关系。特殊的时候， 如果a＝0，则：A(t,T)=T-t, B(t,T)=exp[σ2(T-t)3/6]。
Cn
：二项式系数，即n个时间段中，有k次出现上涨的可能路径数
k
p：利率上涨的概率
q：利率下跌的概率，q=1-p
固定收益证券分析
从上图可以看到，二叉树模型在假定下期利率只有两 种变化的基础上，通过分析各种可能的变化，从而构造出 多个时间阶段后的利率分布情况。
假如市场平均利率为4%，其年波动值(利率波动的标 准差)为20%，按波动率的计算公式，可知每半年的波动 率为14.14%。根据前面的假定，则其每半年的上涨和下 降幅度应分别为原来的115.191%和86.812%。且利率上 涨和下跌的概率分别为59.02%和40.98%。
9
3、Vasicek模型 Vasicek模型可以表示为：
drt a( rt )dt dzt
考虑了利率的均值回复，假设了短期利率以速率a拉向均值μ，且这 个额外的“拉力”服从正态分布的随机项。根据这一模型，在T时 刻到期的债券在t时刻的价值P（t,T）可以表示如下：
P(t,T ) A(t,T )eB(t,T )rt
30
我们可以得到这个一年半期零息票债券的价格：
31
依前述，第一个半年利率上升的概率为p=0.8024，债券 价格可以表示为：
假定第二个半年利率上升和下降的概率为q，可得：
32
综合上两式可得： 可求得：q=0.6489
33
34
2、模型假定
所谓二叉树模型的利率树，是基于短期利率波动的某一假 设条件下，利率波动可能性的一种图形描述。
对欧式看跌期权，其公式为：
pzb XP(t,T )N ( p h) LP(t, s)N (h)
14
4、Cox, Ingersoll和Ross模型 如同前面分析过的，Cox-Ingersoll-Ross（CIR）模型区别于
Vasicek模型的区别之处就在于对均值回归模型中利率方差的假定 不同，CIR模型的微分形式是：
如果未来利率和现金流都是固定的，那么讨论债券的定 价问题就毫无必要。因此，利率期限结构对固定收益证券的 定价非常重要。
2
利率期限结构模型（Term Structure Model）涉及整个 收益率曲线的运动。主要包括：
单因素模型； 双因素模型。
从静态来看，在同一时点上，必须同时对不同期限的利 率变化加以描述；
这一模型的基本理论假定包括以下几个方面： 一是下一期的利率波动只有两种可能的情况：上升或下降； 二是各期利率上升或下降的概率保持不变； 三是各期利率的分布符合正态分布； 四是各期利率的波动性保持不变。
固定收益证券分析
3、二叉树模型的利率树
u e t d e t p et d
ud
其中： u：利率上升的比例 d：利率下降的比例 e：自然对数常数
drt a( rt )dt rt dzt
可以看到，随机项的标准差是正比于 rt 的，即假定了利率 波动的标准差会随着利率的升高而升高。与Vasicek模型一样，长
期利率线性地依赖于当前利率rt，这表明，CIR模型中长期利率水
平，同样取决于当前时间t的利率。
15
类似地，可以推导出T时刻到期的债券在t时刻的价值P(t,T)同样 可以表示为：
P(t,T ) A(t,T )eB(t,T )rt
但要注意，这里的A和B函数不同于Vasicek模型：
B(r,T )
2 e (T t) 1
( a) e (T t) 1 2
2a / 2
A(t,T )
(a
2 e(a )(T t ) / 2 ) e (T t) 1
2
式中：
＝ a2 2 2
1 e2a(T t ) 2a
czb表示零息票债券的欧式看涨期权价值
P(t, s)表示t时刻债券在s时刻的债券价值
P(t,T )表示t时刻债券在T时刻的债券价值
L表示债券的本金
N表示累积正态分布函数
s表示债券的到期期限
X表示期权的执行价格
13
特殊情况，当a=0时，σp＝σ（s-T）(T-t)0.5。对于附息票的债券 ，因为Vasicek模型假定了债券价格间的完全相关，所以，该模型也 可用于从零息债券期权的价格中求解附息票债券欧式期权的价值。 基本原理是，将附息票债券看成一系列的零息债券期权。
4
随着λ的不同，上式可以演变为不同的模型，如果：
0, 表示r符合正态分布，如Vasicek(1977)模型； 0.5,Cox Ingersoll Ross（1985）模型 1, 对数正态分布模型
5
另一类单因素模型则是假定利率的对数值服从 正态分布，从而提出了对数正态分布模型，其基本 的形式为：
可求得p=0.8024
28
我们继续假设：一个零息票债券，面值为1000元，一年 半后到期。当前半年期的即期利率为5%，一年期的即期利 率为5.15%，一年半期的即期利率为5.25%，均为半年计复 利。半年后和一年后的半年期即期利率可能如下变动：
29
975.61 1000 1 0.05 / 2
980.39 1000 1 0.04 / 2
条款的有机组成部分。 常见的债券嵌式期权主要包括：
赎回权、回售权 转股权、转股价修正权 提前偿付权、本息截留权 利率上下限选择权等。
固定收益证券分析
期权的嵌入，不仅可能影响债券现金流的大小、还 可能影响现金流的方向和时间。
例如可赎回债券，其赎回价格与债券的市场价格的 不一致，就会影响债券现金流的大小；赎回期与债券 到期日不同，则影响现金流的时间。
再规定r1=r2-s，以避免长期和短期利率间出现利差太大的情
况，并同时假定了利差波动符合下面的过程：
ds as s rs dt sdzs
后来，1995年，Longstaff和Schwartz又利用短期利率及其波动 率提出了新的双因素模型。
19
二、嵌入期权的债券定价
（一）概述 任何期权都可以根据需要嵌入债券中，作为债券
固定收益证券分析
➢
对利率可能随时间而变化的情况加以分析和说明
的模型，被称为利率模型(Interest Rate Model)。
➢
通过假定短期利率与利率波动性之间的关系，如
假定利率和利率的波动符合正态分布，从而构造出某
一时间段后，利率的变化分布，如利率树(Interest
40
4、远期利率对二叉树的修正：无套利分析 对理论推测进行修正的基本思路，是引入无套利分析法
39
这种估计远期利率分布的方法使用很少，主要原因是这 一方法所假定的未来利率分布呈上涨和下跌概率不变的二项 分布，缺乏根据市场变化对所推导利率进行修正或调整，从 而可能使理论与实际的市场情况存在较大误差的可能。
对于大多数较为成熟的金融市场，都有利率期限结构等 市场对远期市场的预期，完全可以作为推算远期利率的修正 基础。
11
Vasicek模型在利率期限结构模型中，形式相对较为简 单，也比较容易使用。
但这一模型无法避免负利率问题，因为Vasicek模型假 定利率变化呈正态分布；而且假定了所有的债券之间都是完 全正相关的。
这一模型另一个不足之处是，无法用该模型直接推导出 实际的期限结构曲线。在对以债券为基础的欧式期权定价时 ，这一模型还是有用的。
d ln rt ( a ln rt )dt tdzt
其中：
当a 0， t不变时，为Salomom模型； 当a 0， t可变时，为Black Derman Toy模型
6
2、Rendleman和Bartter模型 Rendleman和Bartter模型中，利率被假定为服
从几何布朗运动，具有常数期望增长率μ和常数波 动率σ，其风险中性过程可以表示为：
16
17
对于几种主要的单因素模型及其相应的条件假定， 可总结如下表：
几种单因素模型及其相应的理论假定
模型
利率分布假定
波动率
Ho-Lee 模型 Hull-White 模型 Salomon 模型 BDT 模型对数 Black-Karasinki模型
正态分布 正态分布，均值回归 对数正态分布 正态分布 对数正态分布,均值回归
dr rdt rdz
7
从这里可以看到，Rendleman, Bartter模型所描述的利 率期限结构变化，与典型的股票价格变化是一致的，正如可 以用二叉树分析股票价格一样，也可以用二叉树的方法对利 率期限结构进行讨论，具体参数的决定如下：
u e t d e t p et d
d
8
Rendleman, Batter模型的缺陷： 在上面有关的假设中，Rendleman, Batter模型假定了利 率和股票价格的波动是相似的。 但在现实生活中，二者有着显著的差异，主要表现在 利率会随时间的推移而呈现出向某个长期平均水平收敛的 趋势，即有均值回归的特点（Mean Reversion）。
25
如果半年后利率上升为5.5%，则债券价值为： 如果半年后利率下降为4.5%，则债券价值为： 如果按当前5.15%一年期即期利率计算，债券价值为：
我们可以得到这个一年期零息票债券的价格：
27
如果半年后利率上升和下降的概率各占50%，则： 不等于实际价格950.42。假定半年后利率上升的概率为p：
不变 不变 不变 变化 变化
18
（二）双因素模型 对于单因素模型中假定的所有债券收益都是完全正相关，且利
率期限结构完全依赖于短期利率，Brennan和Schwartz（1978）在 同时假定短期和长期利率的波动均符合正态分布的条件下，即：
dr1 a1 r1 dt 1dz1 dr2 a2 r2 dt 2dz2
第四章 债券的定价分析
一、利率期限结构模型 二、二叉树定价模型 三、几类嵌入期权债券定价
一、利率期限结构模型
Black-Scholes模型很难直接用于对固定收益证券定价 。原因有二：
1、B-S模型假定了利率期限结构是水平的，这假设对期 限可达数十年的长期债券，显然是不合理的。
2、债券价格变化的标准差非常小，而且债券价格随着 到期日的临近将趋同于债券的面值。
：利率波动性
t: 单个时间段的时间长度 p: 利率上涨的概率
：利率的平均值
固定收益证券分析
➢
简单二叉树模型利率树
固定收益证券分析
➢ 上图中最后一列列出的是出现这种利率的概率。 其计算公式为：
C p q k nk
P x=k =n k
n!
n C k = k!n-k !
其中：
P x=k：在n个时间段中，有k次出现上涨的概率
Rate Tree)。
固定收益证券分析
➢
仅对短期或长期利率进行预测、排树的模型称为
单因素模型(One-Factor Model)；
➢
同时对短期和长期利率进行预测的，则称为双因
素模型(Two-Factor Model)。
➢
虽然不同模式所选择的变量不同，但基本原理都
是一致的，都是以利率及其波动性之间呈某种特定关
从动态来看，必须对不同时点的利率变化加以描述。
3
（一）单因素模型 1、概述 在单因素模型中，利率运动过程只包含一个不确定性的
来源。单因素模型可分为两类： 一类是假定利率本身的运动过程服从正态分布，其基本
的形式是：
drt a( rt )dt rt dzt
其中：0 a 1,
0, 0, dz符合正态分布 表示利率的长期回归均值
系为基础。
固定收益证券分析
（二）二叉树模型 以利率的未来变化呈二项分布为基础的二叉树
模型，是相对较为简单和直观的模式之一。 下面将重点对二叉树模型加以介绍，并运用这一
模型对可赎回债券、回售债券等价格进行讨论。
固定收益证券分析
1、一个例子： 一个零息票债券，面值为1000元，一年后到期。当前 半年期的即期利率为5%，一年期的即期利率为5.15%，均 为半年计复利。半年后的半年期即期利率可能从5%上升为 5.5%或下降为4.5%，即：
12
Jamshidian根据Vasicek模型推导出计算T时刻到期的、基于零息债 券的欧式看涨期权在t时刻价值的公式为：
czb LP(t, s)N (h) XP(t,T )N (h p ) 式中：
h 1 ln LP(t, s) p p XP(t,T ) 2
p
a
1 ea(sT )
10
可以推导出：
t rT
1 T t
B(t,T )r(t) 1 ln T t
A(t,T )
上式中：
B（t，T） 1 e (T t)
A(t,T
)
exp
B(t,T )
(T
t)( 2
2
2
2
)
2 B(t,T
4
)2
从上式可以看到，trT与rt之间呈线性关系。特殊的时候， 如果a＝0，则：A(t,T)=T-t, B(t,T)=exp[σ2(T-t)3/6]。
Cn
：二项式系数，即n个时间段中，有k次出现上涨的可能路径数
k
p：利率上涨的概率
q：利率下跌的概率，q=1-p
固定收益证券分析
从上图可以看到，二叉树模型在假定下期利率只有两 种变化的基础上，通过分析各种可能的变化，从而构造出 多个时间阶段后的利率分布情况。
假如市场平均利率为4%，其年波动值(利率波动的标 准差)为20%，按波动率的计算公式，可知每半年的波动 率为14.14%。根据前面的假定，则其每半年的上涨和下 降幅度应分别为原来的115.191%和86.812%。且利率上 涨和下跌的概率分别为59.02%和40.98%。
9
3、Vasicek模型 Vasicek模型可以表示为：
drt a( rt )dt dzt
考虑了利率的均值回复，假设了短期利率以速率a拉向均值μ，且这 个额外的“拉力”服从正态分布的随机项。根据这一模型，在T时 刻到期的债券在t时刻的价值P（t,T）可以表示如下：
P(t,T ) A(t,T )eB(t,T )rt
30
我们可以得到这个一年半期零息票债券的价格：
31
依前述，第一个半年利率上升的概率为p=0.8024，债券 价格可以表示为：
假定第二个半年利率上升和下降的概率为q，可得：
32
综合上两式可得： 可求得：q=0.6489
33
34
2、模型假定
所谓二叉树模型的利率树，是基于短期利率波动的某一假 设条件下，利率波动可能性的一种图形描述。
对欧式看跌期权，其公式为：
pzb XP(t,T )N ( p h) LP(t, s)N (h)
14
4、Cox, Ingersoll和Ross模型 如同前面分析过的，Cox-Ingersoll-Ross（CIR）模型区别于
Vasicek模型的区别之处就在于对均值回归模型中利率方差的假定 不同，CIR模型的微分形式是：
如果未来利率和现金流都是固定的，那么讨论债券的定 价问题就毫无必要。因此，利率期限结构对固定收益证券的 定价非常重要。
2
利率期限结构模型（Term Structure Model）涉及整个 收益率曲线的运动。主要包括：
单因素模型； 双因素模型。
从静态来看，在同一时点上，必须同时对不同期限的利 率变化加以描述；
这一模型的基本理论假定包括以下几个方面： 一是下一期的利率波动只有两种可能的情况：上升或下降； 二是各期利率上升或下降的概率保持不变； 三是各期利率的分布符合正态分布； 四是各期利率的波动性保持不变。
固定收益证券分析
3、二叉树模型的利率树
u e t d e t p et d
ud
其中： u：利率上升的比例 d：利率下降的比例 e：自然对数常数
drt a( rt )dt rt dzt
可以看到，随机项的标准差是正比于 rt 的，即假定了利率 波动的标准差会随着利率的升高而升高。与Vasicek模型一样，长
期利率线性地依赖于当前利率rt，这表明，CIR模型中长期利率水
平，同样取决于当前时间t的利率。
15
类似地，可以推导出T时刻到期的债券在t时刻的价值P(t,T)同样 可以表示为：
P(t,T ) A(t,T )eB(t,T )rt
但要注意，这里的A和B函数不同于Vasicek模型：
B(r,T )
2 e (T t) 1
( a) e (T t) 1 2
2a / 2
A(t,T )
(a
2 e(a )(T t ) / 2 ) e (T t) 1
2
式中：
＝ a2 2 2
1 e2a(T t ) 2a
czb表示零息票债券的欧式看涨期权价值
P(t, s)表示t时刻债券在s时刻的债券价值
P(t,T )表示t时刻债券在T时刻的债券价值
L表示债券的本金
N表示累积正态分布函数
s表示债券的到期期限
X表示期权的执行价格
13
特殊情况，当a=0时，σp＝σ（s-T）(T-t)0.5。对于附息票的债券 ，因为Vasicek模型假定了债券价格间的完全相关，所以，该模型也 可用于从零息债券期权的价格中求解附息票债券欧式期权的价值。 基本原理是，将附息票债券看成一系列的零息债券期权。
4
随着λ的不同，上式可以演变为不同的模型，如果：
0, 表示r符合正态分布，如Vasicek(1977)模型； 0.5,Cox Ingersoll Ross（1985）模型 1, 对数正态分布模型
5
另一类单因素模型则是假定利率的对数值服从 正态分布，从而提出了对数正态分布模型，其基本 的形式为：
可求得p=0.8024
28
我们继续假设：一个零息票债券，面值为1000元，一年 半后到期。当前半年期的即期利率为5%，一年期的即期利 率为5.15%，一年半期的即期利率为5.25%，均为半年计复 利。半年后和一年后的半年期即期利率可能如下变动：
29
975.61 1000 1 0.05 / 2
980.39 1000 1 0.04 / 2
条款的有机组成部分。 常见的债券嵌式期权主要包括：
赎回权、回售权 转股权、转股价修正权 提前偿付权、本息截留权 利率上下限选择权等。
固定收益证券分析
期权的嵌入，不仅可能影响债券现金流的大小、还 可能影响现金流的方向和时间。
例如可赎回债券，其赎回价格与债券的市场价格的 不一致，就会影响债券现金流的大小；赎回期与债券 到期日不同，则影响现金流的时间。
再规定r1=r2-s，以避免长期和短期利率间出现利差太大的情
况，并同时假定了利差波动符合下面的过程：
ds as s rs dt sdzs
后来，1995年，Longstaff和Schwartz又利用短期利率及其波动 率提出了新的双因素模型。
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二、嵌入期权的债券定价
（一）概述 任何期权都可以根据需要嵌入债券中，作为债券