人教版勾股定理单元 易错题测试基础卷试卷
人教版勾股定理单元易错题测试基础卷试卷
一、解答题
△中，∠ACB = ∠DCE=90°．
1．如图，在两个等腰直角ABC和CDE
（1）观察猜想：如图1，点E在BC上，线段AE与BD的数量关系是，位置关系
是；
△绕直角顶点C旋转到图2的位置，（1）中的结论还成立吗？（2）探究证明：把CDE
说明理由；
△绕点C在平面内自由旋转，若AC = BC=10，DE=12，当A、E、（3）拓展延伸：把CDE
D三点在直线上时，请直接写出 AD的长．
2．如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=10，E为CD边上一点，将△ADE沿AE折叠，使点D 落在BC边上的点F处．
（1）求BF的长；
（2）求CE的长．
3．定义：如图1，平面上两条直线AB、CD相交于点O，对于平面内任意一点M，点M到直线AB、CD的距离分别为p、q，则称有序实数对(p，q)是点M的“距离坐标”，根据上述定义，“距离坐标”为（0，0）的点有1个，即点O．
（1）“距离坐标”为(1，0)的点有个；
（2）如图2，若点M在过点O且与直线AB垂直的直线l上时，点M的“距离坐标”为(p，q)，且∠BOD = 150?，请写出p、q的关系式并证明；
（3）如图3，点M的“距离坐标”为(1,3)，且∠DOB = 30?，求OM的长．
4．如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D为AC边上一动点，且不与点A点C重合，连接BD并延长，在BD延长线上取一点E，使AE＝AB，连接CE．
（1）若∠AED ＝20°，则∠DEC ＝ 度；
（2）若∠AED ＝a ，试探索∠AED 与∠AEC 有怎样的数量关系？并证明你的猜想； （3）如图2，过点A 作AF ⊥BE 于点F ，AF 的延长线与EC 的延长线交于点H ，求证：EH 2+CH 2＝2AE 2．
5．在等腰△ABC 与等腰△ADE 中，AB ＝AC ，AD ＝AE ，∠BAC ＝∠DAE ，且点D 、E 、C 三点在同一条直线上，连接BD ．
（1）如图1，求证：△ADB ≌△AEC
（2）如图2，当∠BAC ＝∠DAE ＝90°时，试猜想线段AD ，BD ，CD 之间的数量关系，并写出证明过程；
（3）如图3，当∠BAC ＝∠DAE ＝120°时，请直接写出线段AD ，BD ，CD 之间的数量关系式为： （不写证明过程）
6．如图，△ACB 和△ECD 都是等腰直角三角形，∠ACB ＝∠ECD ＝90°，点D 在边AB 上，点E 在边AC 的左侧，连接AE ．
（1）求证：AE ＝BD ；
（2）试探究线段AD 、BD 与CD 之间的数量关系；
（3）过点C 作CF ⊥DE 交AB 于点F ，若BD ：AF ＝1：2，CD 36，求线段AB 的长．
7．已知ABC ?中，90ACB ∠=?，AC BC =，过顶点A 作射线AP .
（1）当射线AP 在BAC ∠外部时，如图①，点D 在射线AP 上，连结CD 、BD ，已知
21AD n =-，21AB n =+，2BD n =（1n >）.
①试证明ABD ?是直角三角形；
②求线段CD 的长.（用含n 的代数式表示）
（2）当射线AP 在BAC ∠内部时，如图②，过点B 作BD AP ⊥于点D ，连结CD ，请写出线段AD 、BD 、CD 的数量关系，并说明理由.
8．如图1，点E 是正方形ABCD 边CD 上任意一点，以DE 为边作正方形DEFG ，连接
BF ，点M 是线段BF 中点，射线EM 与BC 交于点H ，连接CM ． （1）请直接写出CM 和EM 的数量关系和位置关系．
（2）把图1中的正方形DEFG 绕点D 顺时针旋转45?，此时点F 恰好落在线段CD 上，如图2，其他条件不变，（1）中的结论是否成立，请说明理由．
（3）把图1中的正方形DEFG 绕点D 顺时针旋转90?，此时点E 、G 恰好分别落在线段
AD 、CD 上，连接CE ，如图3，其他条件不变，若2DG =，6AB =，直接写出CM 的长度．
9．菱形ABCD 中，∠BAD ＝60°，BD 是对角线，点E 、F 分别是边AB 、AD 上两个点，且满足AE ＝DF ，连接BF 与DE 相交于点G ． （1）如图1，求∠BGD 的度数；
（2）如图2，作CH ⊥BG 于H 点，求证：2GH ＝GB +DG ；
（3）在满足（2）的条件下，且点H 在菱形内部，若GB ＝6，CH ＝3ABCD 的
面积．
10．在平面直角坐标系中，点A（0，4），B（m，0）在坐标轴上，点C，O关于直线AB 对称，点D在线段AB上．
（1）如图1，若m＝8，求AB的长；
（2）如图2，若m＝4，连接OD，在y轴上取一点E，使OD＝DE，求证：CE＝2DE；（3）如图3，若m＝43，在射线AO上裁取AF，使AF＝BD，当CD+CF的值最小时，请在图中画出点D的位置，并直接写出这个最小值．
11．（发现）小慧和小雯用一个平面去截正方体，得到一个三角形截面（截出的面），发现截面一定是锐角三角形．为什么呢？她们带着这个疑问请教许老师．
（体验）（1）从特殊入手许老师用1个铆钉把长度分别为4和3的两根窄木棒的一端连在一起（如图，）,保持不动，让从重合位置开始绕点转动，在转动的过程，观测的大小和的形状，并列出下表：
的大小的形状
…
直角三角形
…
直角三角形
…
请仔细体会其中的道理，并填空：_____，_____；
（2）猜想一般结论在中，设，，（），
①若为直角三角形，则满足；
②若为锐角三角形，则满足____________；
③若为钝角三角形，则满足_____________．
（探索）在许老师的启发下，小慧用小刀在一个长方体橡皮上切出一个三角形截面
（如图1），设，，，请帮助小慧说明为锐角三角形的道理．
（应用）在小慧的基础上，小雯又切掉一块“角”，得到一个新的三角形截面（如图2），那么的形状是（）
A．一定是锐角三角形
B．可能是锐角三角形或直角三角形，但不可能是钝角三角形
C．可能是锐角三角形或直角三角形或钝角三角形
12．问题情境：综合实践活动课上，同学们围绕“已知三角形三边的长度，求三角形的面
积”开展活动，启航小组同学想到借助正方形网格解决问题
问题解决：图（1）、图（2）都是6×6的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，操作发现，启航小组同学在图（1）中画出△ABC，其顶点A，B，C都在格点上，同时构造长方形CDEF，使它的顶点都在格点上，且它的边EF经过点A，ED经过点B．同学们借助此图求出了△ABC的面积．
（1）在图（1）中，△ABC的三边长分别是AB＝，BC＝，AC＝．△ABC 的面积是．
（2）已知△PMN中，PM＝17，MN＝25，NP＝13．请你根据启航小组的思路，在图（2）中画出△PMN，并直接写出△RMN的面积．
13．如图1，在平面直角坐标系中，直线AB经过点C（a，a），且交x轴于点A（m，0），交y轴于点B（0，n），且m，n满足6
m ＋（n﹣12）2＝0．
（1）求直线AB的解析式及C点坐标；
（2）过点C作CD⊥AB交x轴于点D，请在图1中画出图形，并求D点的坐标；
（3）如图2，点E（0，﹣2），点P为射线AB上一点，且∠CEP＝45°，求点P的坐标．
14．如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别是AC，BC上的点，且满足DE⊥EF，垂足为点E，连接DF．
（1）求∠EDF= （填度数）；
（2）延长DE交AB于点G，连接FG，如图2，猜想AG，GF，FC三者的数量关系，并给出证明；
（3）①若AB=6，G是AB的中点，求△BFG的面积；
②设AG=a，CF=b，△BFG的面积记为S，试确定S与a，b的关系，并说明理由．
15．已知a ，b ，c 满足88a a -+-＝|c ﹣17|+b 2﹣30b +225，
（1）求a ，b ，c 的值；
（2）试问以a ，b ，c 为边能否构成三角形？若能构成三角形，求出三角形的周长和面积；若不能构成三角形，请说明理由．
16．定义：如图1，点M 、N 把线段AB 分割成AM 、MN 和BN ，若以AM 、MN 、
BN 为边的三角形是一个直角三角形，则称点M 、N 是线段AB 的勾股分割点．
（1）已知点M 、N 是线段AB 的勾股分割点，若2AM =，3MN =，求BN 的长； （2）如图2，在Rt ABC △中，AC BC =，点M 、N 在斜边AB 上，45MCN ∠=?，求证：点M 、N 是线段AB 的勾股分割点（提示：把ACM 绕点C 逆时针旋转
90?）；
（3）在（2）的问题中，15ACM ∠=?，1AM =，求BM 的长．
17．已知ABC ?中，如果过项点B 的一条直线把这个三角形分割成两个三角形，其中一个为等腰三角形，另一个为直角三角形，则称这条直线为ABC ?的关于点B 的二分割线．例如：如图1，Rt ABC ?中，90A ?∠=，20C ?∠=，若过顶点B 的一条直线BD 交AC 于点D ，若20DBC ?∠=，显然直线BD 是ABC ?的关于点B 的二分割线．
（1）在图2的ABC ?中，20C ?∠=，110ABC ?∠=．请在图2中画出ABC ?关于点B 的二分割线，且DBC ∠角度是 ；
（2）已知20C ?∠=，在图3中画出不同于图1，图2的ABC ?，所画ABC ?同时满足:①C ∠为最小角；②存在关于点B 的二分割线．BAC ∠的度数是 ；
（3）已知C α∠=，ABC ?同时满足：①C ∠为最小角；②存在关于点B 的二分割线．请求出BAC ∠的度数（用α表示）．
18．我们规定，三角形任意两边的“广益值”等于第三边上的中线和这边一半的平方差．如图1，在ABC ?中，AO 是BC 边上的中线，AB 与AC 的“广益值”就等于22AO BO -的值，可记为22AB AC OA BO ?=-
（1）在ABC ?中，若90ACB ∠=?，81AB AC ?=，求AC 的值．
（2）如图2，在ABC ?中，12AB AC ==，120BAC ∠=?，求AB AC ?，BA BC ?的值．
（3）如图3，在ABC ?中，AO 是BC 边上的中线，24ABC S ?=，8AC =，
64AB AC ?=-，求BC 和AB 的长．
19．如图，ABC ?是等边三角形，,D E 为AC 上两点，且AE CD =，延长BC 至点F ，使CF CD =，连接BD ．
（1）如图1，当,D E 两点重合时，求证：BD DF =； （2）延长BD 与EF 交于点G ． ①如图2，求证：60BGE ∠=?；
②如图3，连接,BE CG ，若30,4EBD BG ∠=?=，则BCG ?的面积为______________．
20．已知ABC 是等边三角形，点D 是BC 边上一动点，连结AD
()1如图1，若2BD =，4DC =，求AD 的长；
()2如图2，以AD 为边作60ADE ADF ∠=∠=，分别交AB ，AC 于点E ，F ．
①小明通过观察、实验，提出猜想：在点D 运动的过程中，始终有AE AF =，小明把这
个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的两种想法
想法1：利用AD 是EDF ∠的角平分线，构造角平分线的性质定理的基本图形，然后通过全等三角形的相关知识获证．
想法2：利用AD 是EDF ∠的角平分线，构造ADF 的全等三角形，然后通过等腰三角形的相关知识获证．
请你参考上面的想法，帮助小明证明.(AE AF =一种方法即可)
②小聪在小明的基础上继续进行思考，发现：四边形AEDF 的面积与AD 长存在很好的关
系.若用S 表示四边形AEDF 的面积，x 表示AD 的长，请你直接写出S 与x 之间的关系式．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、解答题
1．（1）AE BD =，AE BD ⊥；（2）成立，理由见解析；（3）14或2． 【分析】
（1）先根据等腰三角形的定义可得AC BC =，CE CD =，再根据三角形全等的判定定理与性质可得AE BD =，EAC DBC ∠=∠，然后根据直角三角形两锐角互余、等量代换即可得90AHD ∠=?，由此即可得；
（2）先根据三角形全等的判定定理与性质可得AE BD =，EAC DBC ∠=∠，再根据直角三角形两锐角互余可得90EAC AOC ∠+∠=?，然后根据对顶角相等、等量代换可得
90BOH DBC ∠∠+=?，从而可得90OHB ∠=?，由此即可得；
（3）先利用勾股定理求出102AB =，再分①点,,A E D 在直线上，且点E 位于中间，②点,,A E D 在直线上，且点D 位于中间两种情况，结合（1）（2）的结论，利用勾股定理求解即可得． 【详解】
（1）AE BD =，AE BD ⊥，理由如下： 如图1，延长AE 交BD 于H ，
由题意得：AC BC =，90ACE BCD ∠=∠=?，CE CD =， ∴()ACE BCD SAS ?， ∴AE BD =，EAC DBC ∠=∠，
∵90DBC BDC ∠+∠=?， ∴90EAC BDC ∠+∠=?，
∴0)9018(EAC BD A D C H ∠+∠∠?==-?， 即AE BD ⊥，
故答案为：AE BD =，AE BD ⊥；
（2）成立，理由如下：
如图2，延长AE 交BD 于H ，交BC 于O ， ∵90ACB ECD ∠=∠=?，
∴ACB BCE ECD BCE ∠-∠=∠-∠，即ACE BCD ∠=∠，
在ACE △和BCD 中，AC BC ACE BCD CE CD =??
∠=∠??=?
，
∴()ACE BCD SAS ?， ∴AE BD =，EAC DBC ∠=∠， ∵90ACB ∠=?， ∴90EAC AOC ∠+∠=?， ∵AOC BOH ∠=∠，
∴90BOH DBC ∠∠+=?，即90OBH BOH ∠+∠=?， ∴180()90OHB OBH BOH ∠=?-∠+∠=?， 即AE BD ⊥；
（3）设AD x =，
10,90AC BC ACB ==∠=?，
2102AB AC ∴==，
由题意，分以下两种情况：
①如图3-1，点,,A E D 在直线上，且点E 位于中间， 同理可证：AE BD =，AE BD ⊥，
12DE =，
12BD AE AD DE x ∴==-=-，
在Rt ABD △中，222AD BD AB +=，即222(12)(102)x x +-=， 解得14x =或2x =-（不符题意，舍去）， 即14AD =，
②如图3-2，点,,A E D 在直线上，且点D 位于中间， 同理可证：AE BD =，AE BD ⊥，
12DE =，
12BD AE AD DE x ∴==+=+，
在Rt ABD △中，222AD BD AB +=，即222(12)(102)x x ++=， 解得2x =或14x =-（不符题意，舍去）， 即2AD =，
综上，AD 的长为14或2．
【点睛】
本题考查了三角形全等的判定与性质、勾股定理等知识点，较难的是题（3），正确分两种情况讨论，并画出图形是解题关键．
2．（1）BF 长为6；（2）CE 长为3，详细过程见解析． 【分析】
（1）由矩形的性质及翻折可知，∠B=90°，AF=AD=10，且AB=8，在Rt △ABF 中，可由勾股定理求出BF 的长；
（2）设CE=x ，根据翻折可知，EF=DE=8-x ，由（1）可知BF=6，则CF=4，在Rt △CEF 中，可由勾股定理求出CE 的长． 【详解】
解：（1）∵四边形ABCD 为矩形， ∴∠B=90°，且AD=BC=10，
又∵AFE 是由ADE 沿AE 翻折得到的， ∴AF=AD=10， 又∵AB=8，
在Rt △ABF 中，由勾股定理得：2222BF=AF -AB =10-8=6， 故BF 的长为6． （2）设CE=x ， ∵四边形ABCD 为矩形，
∴CD=AB=8，∠C=90°，DE=CD-CE=8-x ， 又∵△AFE 是由△ADE 沿AE 翻折得到的， ∴FE=DE=8-x ，
由（1）知：BF=6，故CF=BC-BF=10-6=4， 在Rt △CEF 中，由勾股定理得：222CF +CE =EF ， ∴2224+x =(8-x)，解得：x=3， 故CE 的长为3． 【点睛】
本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等，利用勾股定理求解是本题的关键． 3．(1)2；(2)3
2
q p =；(3)27OM = 【分析】
（1）根据“距离坐标”的定义结合图形判断即可；
（2）过M 作MN ⊥CD 于N ，根据已知得出MN q =，OM p =，求出∠MON ＝60°，根据含30度直角三角形的性质和勾股定理求出223
MN MO NO p =-=
即可解决问题；
（3）分别作点M 关于AB 、CD 的对称点F 、E ，连接EF 、OE 、OF ，连接MF 、
ME 分别交AB 、CD 于P 点、Q 点，首先证明OM OE OF EF ===，求出
2MF =，23ME =，然后过F 作FG QM ⊥，交QM 延长线于G ，根据含30度直角
三角形的性质求出1FG =，3MG =，再利用勾股定理求出EF 即可． 【详解】
解：（1）由题意可知，在直线CD 上，且在点O 的两侧各有一个，共2个， 故答案为：2；
（2）过M 作MN CD ⊥于N ，
∵直线l AB ⊥于O ，150BOD ∠=?， ∴60MON ∠=?， ∵MN q =，OM p =， ∴11
22NO MO p ==， ∴223
2
MN MO NO p =-=
， ∴3
q p =
； （3）分别作点M 关于AB 、CD 的对称点F 、E ，连接EF 、OE 、OF ，连接MF 、
ME 分别交AB 、CD 于P 点、Q 点．
∴OFP OMP △≌△，OEQ OMQ △≌△，
∴FOP MOP ∠=∠，EOQ MOQ ∠=∠，OM OE OF ==， ∴260EOF BOD ∠=∠=?， ∴△OEF 是等边三角形， ∴OM OE OF EF ===， ∵1MP =，3MQ = ∴2MF
=，3ME =，
∵30BOD ∠=?， ∴150PMQ ∠=?，
过F 作FG QM ⊥，交QM 延长线于G ， ∴30FMG ∠=?， 在Rt FMG △中，1
12
FG MF =
=，则3MG =， 在Rt EGF 中，1FG =，33EG ME MG =+= ∴22(33)127EF =+= ∴27OM =
【点睛】
本题考查了轴对称的应用，含30度直角三角形的性质，勾股定理以及等边三角形的判定和性质等，正确理解题目中的新定义是解答本题的关键．
4．（1）45度；（2）∠AEC﹣∠AED＝45°，理由见解析；（3）见解析
【分析】
（1）由等腰三角形的性质可求∠BAE＝140°，可得∠CAE＝50°，由等腰三角形的性质可得∠AEC＝∠ACE＝65°，即可求解；
（2）由等腰三角形的性质可求∠BAE＝180°﹣2α，可得∠CAE＝90°﹣2α，由等腰三角形的性质可得∠AEC＝∠ACE＝45°+α，可得结论；
（3）如图，过点C作CG⊥AH于G，由等腰直角三角形的性质可得EH2EF，CH＝
2CG，由“AAS”可证△AFB≌△CGA，可得AF＝CG，由勾股定理可得结论．
【详解】
解：（1）∵AB＝AC，AE＝AB，
∴AB＝AC＝AE，
∴∠ABE＝∠AEB，∠ACE＝∠AEC，
∵∠AED＝20°，
∴∠ABE＝∠AED＝20°，
∴∠BAE＝140°，且∠BAC＝90°
∴∠CAE＝50°，
∵∠CAE+∠ACE+∠AEC＝180°，且∠ACE＝∠AEC，
∴∠AEC＝∠ACE＝65°，
∴∠DEC＝∠AEC﹣∠AED＝45°，
故答案为：45；
（2）猜想：∠AEC﹣∠AED＝45°，
理由如下：∵∠AED＝∠ABE＝α，
∴∠BAE＝180°﹣2α，
∴∠CAE＝∠BAE﹣∠BAC＝90°﹣2α，
∵∠CAE+∠ACE+∠AEC＝180°，且∠ACE＝∠AEC，
∴∠AEC＝45°+α，
∴∠AEC﹣∠AED＝45°；
（3）如图，过点C作CG⊥AH于G，
∵∠AEC﹣∠AED＝45°，
∴∠FEH＝45°，
∵AH⊥BE，
∴∠FHE＝∠FEH＝45°，
∴EF＝FH，且∠EFH＝90°，
∴EH2EF，
∵∠FHE＝45°，CG⊥FH，
∴∠GCH＝∠FHE＝45°，
∴GC＝GH，
∴CH2CG，
∵∠BAC＝∠CGA＝90°，
∴∠BAF+∠CAG＝90°，∠CAG+∠ACG＝90°，
∴∠BAF＝∠ACG，且AB＝AC，∠AFB＝∠AGC，
∴△AFB≌△CGA（AAS）
∴AF＝CG，
∴CH2AF，
∵在Rt△AEF中，AE2＝AF2+EF2，
2AF）2+2EF）2＝2AE2，
∴EH2+CH2＝2AE2．
【点睛】
本题是综合了等腰直角三角形的性质，全等三角形的性质与判定的动点问题，三个问题由易到难，在熟练掌握各个相关知识的基础上找到问题之间的内部联系，层层推进去解答是关键.
5．（1）见解析；（2）CD2AD+BD，理由见解析；（3）CD3AD+BD
【分析】
（1）由“SAS”可证△ADB≌△AEC；
（2）由“SAS”可证△ADB≌△AEC，可得BD＝CE，由直角三角形的性质可得DE2AD，可得结论；
（3）由△DAB≌△EAC，可知BD＝CE，由勾股定理可求DH 3
，由AD＝AE，
AH⊥DE，推出DH＝HE，由CD＝DE+EC＝2DH+BD3AD+BD，即可解决问题；【详解】
证明：（1）∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE，
又∵AB＝AC，AD＝AE，
∴△ADB≌△AEC（SAS）；（2）CD＝2AD+BD，
理由如下：∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE，
又∵AB＝AC，AD＝AE，
∴△ADB≌△AEC（SAS）；
∴BD＝CE，
∵∠BAC＝90°，AD＝AE，
∴DE＝2AD，
∵CD＝DE+CE，
∴CD＝2AD+BD；
（3）作AH⊥CD于H．
∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAD＝∠CAE，
又∵AB＝AC，AD＝AE，
∴△ADB≌△AEC（SAS）；
∴BD＝CE，
∵∠DAE＝120°，AD＝AE，
∴∠ADH＝30°，
∴AH＝1
2 AD，
∴DH22
AD AH
3
，
∵AD＝AE，AH⊥DE，
∴DH＝HE，
∴CD＝DE+EC＝2DH+BD3+BD，
故答案为：CD3+BD．
【点睛】
本题是结合了全等三角形的性质与判定，勾股定理等知识的综合问题，熟练掌握知识点，有简入难，层层推进是解答关键.
6．（1）见解析；（2）BD 2+AD 2＝2CD 2；（3）AB ＝22+4． 【分析】
（1）根据等腰直角三角形的性质证明△ACE ≌△BCD 即可得到结论； （2）利用全等三角形的性质及勾股定理即可证得结论；
（3）连接EF ，设BD ＝x ，利用（1）、（2）求出EF=3x ，再利用勾股定理求出x ，即可得到答案. 【详解】
（1）证明：∵△ACB 和△ECD 都是等腰直角三角形 ∴AC ＝BC ，EC ＝DC ，∠ACB ＝∠ECD ＝90° ∴∠ACB ﹣∠ACD ＝∠ECD ﹣∠ACD ∴∠ACE ＝∠BCD ， ∴△ACE ≌△BCD （SAS ）， ∴AE ＝BD ．
（2）解：由（1）得△ACE ≌△BCD ， ∴∠CAE ＝∠CBD ，
又∵△ABC 是等腰直角三角形， ∴∠CAB ＝∠CBA ＝∠CAE ＝45°， ∴∠EAD ＝90°，
在Rt △ADE 中，AE 2+AD 2＝ED 2，且AE ＝BD ， ∴BD 2+AD 2＝ED 2， ∵ED ＝2CD ， ∴BD 2+AD 2＝2CD 2，
（3）解：连接EF ，设BD ＝x ，
∵BD ：AF ＝1：2AF ＝2x ， ∵△ECD 都是等腰直角三角形，CF ⊥DE ， ∴DF ＝EF ，
由 （1）、（2）可得，在Rt △FAE 中， EF 22AF AE +22
(22)x x +3x ，
∵AE 2+AD 2＝2CD 2，
∴222(223)2(36)x x x ++=， 解得x ＝1，
∴AB＝22+4．【点睛】
此题考查三角形全等的判定及性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理.
7．（1）①详见解析；（2）2
22
2
22
CD n n
=+-（1
n>）；（2）
2
AD BD CD
-=，理由详见解析.
【分析】
（1）①根据勾股定理的逆定理进行判断；
②过点C作CE⊥CD交DB的延长线于点E，利用同角的余角相等证明∠3=∠4，∠1=∠E，进而证明△ACD≌△BCE，求出DE的长，再利用勾股定理求解即可.
（2）过点C作CF⊥CD交BD的延长线于点F，先证∠ACD=∠BCF，再证△ACD≌△BCF，得CD=CF，AD=BF，再利用勾股定理求解即可.
【详解】
（1）①∵()()()
22
2
222222
12214
AD BD n n n n n
+=-+=-++
()()
22
222
211
n n n
=++=+
又∵()2
221
AB n
=+
∴222
AD BD AB
+=
∴△ABD是直角三角形
②如图①，过点C作CE⊥CD交DB的延长线于点E，
∵∠3+∠BCD=∠ACD=90°，∠4+∠BCD=∠DCE=90°
∴∠3=∠4
由①知△ABD是直角三角形
∴1290
∠+∠=?
又∵290
E
∠+∠=?
∴∠1=∠E
在ACD
?和BCE
?中，
A
34
E
AC BC
∠=∠
?
?
∠=∠
?
?=
?
∴△ACD ≌△BCE ∴CD CE =，AD BE =
∴221DE BD BE BD AD n n =+=+=+- 又∵CD CE =，90DCE ∠=? ∴由勾股定理得222DE CD DE CD
=+=
∴22CD =222
2n n =+-
（1n >） （2）AD 、BD 、CD 的数量关系为：2AD BD CD -=，
理由如下：
如图②，过点C 作CF ⊥CD 交BD 的延长线于点F ，
∵∠ACD=90°+∠5，∠BCF=90°+∠5 ∴∠ACD=∠BCF ∵BD ⊥AD ∴∠ADB=90° ∴∠6+∠7=90° ∵∠ACB=90° ∴∠9=∠8=90° 又∵∠6=∠8 ∴∠7=∠9
ACD ?和BCF ?中 97
AC BC
ACD BCF ∠=∠??
=??∠=∠?
∴△ACD ≌△BCF ∴CD=CF ，AD=BF 又∵∠DCF=90°
∴由勾股定理得222DF CD CF CD =+=
又DF=BF-BD=AD-BD ∴2AD BD CD -=
【点睛】
本题考查的是三角形全等、勾股定理及其逆定理，掌握三角形全等的判定方法及勾股定理
及其逆定理是关键.
8．（1）,CM ME CM EM =⊥；（2）见解析；（3）
25CM =. 【解析】 【分析】
(1)证明ΔFME ≌ΔAMH ，得到HM=EM ，根据等腰直角三角形的性质可得结论. （2）根据正方形的性质得到点A 、E 、C 在同一条直线上,利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可知. （3）如图3中，连接EC ，EM ，由（1）（2）可知，△CME 是等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质解决问题即可． 【详解】
解：（1）结论：CM ＝ME ，CM ⊥EM ． 理由：∵AD ∥EF ，AD ∥BC ， ∴BC ∥EF ， ∴∠EFM ＝∠HBM ， 在△FME 和△BMH 中，
EFM MBH FM BM
FME BMH ∠=∠??
=??∠=∠?
∴△FME ≌△BMH （ASA ）， ∴HM ＝EM ，EF ＝BH ， ∵CD ＝BC ，
∴CE ＝CH ，∵∠HCE ＝90°，HM ＝EM ， ∴CM ＝ME ，CM ⊥EM ． （2）如图2，连接BD ，
∵四边形ABCD 和四边形EDGF 是正方形， ∴45,45FDE CBD ?
?
∠=∠= ∴点B E D 、、在同一条直线上，
∵90,90BCF BEF ?
?
∠=∠=，M 为BF 的中点， ∴12CM BF =
，1
2
EM BF =，∴CM ME =， ∵45EFD ∠=?，∴135EFC ∠=?， ∵CM FM ME ==，
∴,MCF MFC MFE MEF ∠=∠∠=∠ ∴135MCF MEF ∠+∠=?，