地理信息系统下的空间分析第六章空间数据的量算及统计分析方法

w y w
i i i
i i
式中，XG，YG为目标的质心坐标，i为离散目标物，wi为 各离散目标物的权重，xi，yi为各离散目标物的坐标。
6.1.2 几何量算
对于点、线、面、体4类目标物而言，几何量算的 含义是不同的。 （1）对于0维的点状目标，几何量算的主要内容是 坐标；
（2）对于1维的线状目标，几何量算的主要内容包 括长度、曲率、方向等； （3）对于2维的面状目标，几何量算的主要内容包 括面积、周长、形状等；
（4）对于3维的体状目标，几何量算的主要内容包 括表面积、体积等。
1、线状地物的长度计算
线状地物对象最基本的几何参数之一是长度。在矢量 数据结构下，线表示为点对坐标(x，y)或(x，y，z)的序列， 线长度计算的一般公式为
L

i 0
n -1
[(xi 1 xi ) 2 ( yi 1 yi ) 2 ( zi 1 zi ) 2 ]
式中，a0，a1为多项式系数。
当n个采样点上的方差和为最小时，则认为线 性回归方程与被拟合曲线达到最佳配准，如下图。
在实际空间中，数据往往是二维的，而且以更为复 杂的方式变化，如下图所示，在这种情况下，需用二次 n 或高次多项式： (z z ) 2 min

i 1
i
i
其中，线性变化曲面方程为： Z b 0
1、线性内插法
此方法用于三角网网格内的插值。假设ABCD为一平 面，三顶点的（x,y,z）坐标已知，现求A点的插 值 Z A 。插值函数为：
冲积平原的土壤重金属污染与几个重要因子有关， 其中距污染源(河流)的距离、高程这两个因子最重要。
由于距河流的距离和高程是比较容易得到的空间变 量，可以用各种重金属含量与它们的经验方程进行空间 插值，提高对重金属污染的预测精度。 本例回归方程的形式如下：
式中： z(x) 是某种重金属含量， b0 ， b1 ， b2 是回归 系数，p1，p2是独立空间变量， 本例中： p1 是距河流的距离因子， p2 是高程因子。 这种回归模型通常叫做转换函数，转换函数可以 应用于其它独立变量，如温度、高程、降雨量。
整体趋势面拟合除应用整体空间的独立点内插外， 另一个最有成效的应用之一是揭示区域中不同于总趋势 的最大偏离部分。
因此，在利用某种局部内插方法以前，可以利用整 体趋势面拟合技术从数据中去掉一些宏观特征。
（4）趋势面拟合程度的检验
趋势面拟合程度的检验，同多元回归分析一样， 可用F分布进行检验，其检验统计量为：
b1X b 2 X
2
2 2 Z b b X b Y b X b XY b Y 二次变化曲面方程为： 0 1 2 3 4 5
趋势面的次数并非越高越好，超过三次的复杂多项式往 往会导致解的奇异，因此，一般控制在二次变化曲面。
如图所示为高次多项 式的拟合曲线示意图。
趋势面是一种平滑函数，很难正好通过原始数据点， 这就是说在多重回归中的残差属正常分布的独立误差， 而且趋势面拟合产生的偏差几乎都具有一定程度的空间 非相关性。
局部拟合技术是仅仅用邻近的数据点来估计未知点 的值，因此可以提供局部区域的内插值，而不致受局部 范围外其它点的影响。 这类技术包括：双线性多项式内插、移动拟合法、 最小二乘配置法等。
由于整体插值方法将短尺度、局部的变化看作随机的和 非结构的噪声，从而丢失了这一部分信息， 局部插值方法恰好弥补了整体插值方法的缺陷，可以用 于局部异常值的内插，而且不受插值表面上其它点的内 插值影响。
对于连续空间表面，邻近元法不合适。
连续表面的内插技术必须采用连续的空间渐变模型 来实现这些连续变化，可用一种平滑的数学表面加以 描述。
这类技术可分为整体拟合和局部拟合两大类型。
整体拟合技术即拟合模型是由研究区域内所有采样 点上的全部特征观测值建立的。
通常采用的技术是整体趋势面拟合。 这种内插技术的特点是不能提供内插区域的局部特 性，因此该模型一般用于模拟大范围内的变化。
（2）数学曲面类型的确定因素
数学曲面类型的确定取决于以下两个因素： 1）对空间分布特征的认识，对于在空间域上具有 周期性变化特征的空间分布现象， 从理论上说宜选用一个周期函数作为数学表达式， 但这在地理数据分析中使用的并不多， 一般情况下多选用多项式函数作为数学表达式。
2）表达式确定的另外一个因素就是求解上的可行 性和便利性， 目前趋势面的求解大多采用最小二乘法。
L
d
i 1
n
i
式中，L为面状地物的周长，di为组成面状地物的每 一线段的长度。
6.1.3
形状量算
在大多数情况下，面状物体或线状物体的形状 能提供对象与对象环境之间的认识。 例如，河流的弯曲程度与下列因素有关：河流 的沉积负载、坡度以及河流的流量。
1、线状地物的形状量算 线状地物的形状分析具有重要意义。 例如，公路的急转弯处常有可能导致事故； 在河流急转弯的外侧导致强烈侵蚀，在拐弯处 内侧则形成大量的沉积。
1 S [ 2
( x y
i 1
n 2
i i 1 - xi 1 yi ) ( xn y1 - x1 y n )]
1 [ x1 y2 - x2 y1） （x2 y3 - x3 y2） （x3 y4 - x4 y3） ... （xn y1 - x1 yn） ] 即： S 2（
表示多边形的面积等于相邻两顶点纵横坐标交叉乘积之差 的总和的一半。
对于栅格结构的数据，多边形面积计算就是 统计具有相同属性值的格网数目。
但对计算破碎多边形的面积有些特殊，可能需 要计算某一个特定多边形的面积，必须进行再分 类，将每个多边形进行分割赋给单独的属性值， 然后再进行统计。
3、面状地物的周长量算 在平面直角坐标系中，面状地物的周长就是组成该 面状地物的各线段长度之和。周长的求取公式为：
（1）r < 1，表示目标物为紧凑型；
（2）r = 1，表示目标物为一标准圆，表示既非紧凑型也 非膨胀型； （3）r > 1，表示目标物为膨胀型。
6.2
空间数据的内插
空间数据往往是根据要求所获取的采样观测 值，诸如土地类型、地面高程等。 这些点的分布往往是不规则的，在用户感兴趣 或模型复杂区域可能采样点多，反之则少。 由此而导致所形成的多边形的内部变化不可能 表达得更精确、更具体，而只能达到一般的平均 水平或“象征水平”。 但用户在某些时候却希望知道未观测点的某种 感兴趣特征的精确值，这就导致了空间数据内插 技术的诞生。
现实空间可分为具有渐变特征的连续空间和具有跳 跃特征的离散空间。 例如，土地类型的分布属于离散空间，而地形表面 分布则属于连续空间，如图所示。
对于离散空间，假定任何重要变化发生在边界上，如 bc段上方为土地类型B，下方则为类型C，其边界内的变 化则是均匀的、同质的，在各个方向都是相同的。 对于这种空间的最佳内插方法是邻近元法，即以最邻 近图元的特征值表征未知图元的特征值。 这种方法在边界会产生一定的误差，但在处理大面积 多边形时，则十分方便。
对线性地物形状的量算。通常有两种方法:
（1）对象间直线距离与全长之比
在起点和终点之间，测量线性地物对象的全长，再与 直线距离加以比较。直线距离作为分子，实际距离作为分 母，构成比率，如图所示。 比值越接近1，线的弯曲度越小。
这种方法，能确定任何线性对象的弯曲度值。
（2）曲率半径法
பைடு நூலகம்
确定曲线上弯曲半径，假定这些曲线本质是圆 形的，然后把半圆形对应到每个曲线上，并测定半 径。
（2）多边形边界特征描述问题 由于地物的外观是多变的，很难找到一个准确的 量对多边形进行描述。因此，对目标属紧凑型或膨胀 型的判断极其模糊。
最常用的指标包括：
1）多边形长、短轴之比；
2）周长面积比。
其中绝大多数指标是基于面积和周长之比的。
根据多边形的周长面积之比确定的形状系数计算公式 如下：
式中，P为目标物周长，A为目标物面积。
式中，U为回归平方和，Q为残差平方和 (剩余平 方和 ) ， p 为多项式项数 ( 不包括常数项 ) ， n 为使用数 据点数目。当F>Fa时，趋势面显著，否则不显著。
2、变换函数插值
根据一个或多个空间参量的经验方程进行整体空 间插值，也是经常使用的空间插值方法，这种经验方 程称为变换函数。
下面以一个研究实例进行说明：
2、面状地物的形状量算
面状地物形状量测的两个方面：
（1）空间一致性问题，即有孔多边形和破碎多边 形的处理；（2）多边形边界特征描述问题。
（1）空间一致性 度量空间一致性最常用的指标是欧拉函数，用 来计算多边形的破碎程度和孔的数目。它只用一个 单一的数描述这些函数，称为欧拉数。 欧拉数=（空洞数）-（碎片数-1） 这里的空洞数是外部多边形自身包含的多边形空 洞数量，碎片数是碎片区域内多边形的数量。
地理位置及其属性可用尽可能多的信息组合成需 要的回归模型，然后进行空间插值。 但应该注意的一点是，必须清楚回归模型的物理 意义。
还要指出的是所有的回归转换函数都属于近似的 空间插值。 整体插值方法通常使用方差分析和回归方程等标 准的统计方法，计算比较简单。
其它的许多方法也可用于整体空间插值，如傅立 叶级数和小波变换，特别是遥感影像分析方面，但 它们需要的数据量大。
6.2.2 局部拟合技术 实际连续空间表面很难用一种数学多项式表达， 因此，常采用局部拟合技术利用局部范围内的已知采 样点拟合内差值。这在表达地形变化特征的数字高程 模型(DEM)内插中应用尤为广泛。 局部拟合方法只使用邻近的数据点来估计未知点 的值，包括以下几个步骤： （1）定义一个邻域或搜索范围； （2）搜索落在此邻域范围的数据点； （3）选择表达这有限点的空间变化的数学函数； （4）为落在规则网格单元上的数据点赋值。 重复这个步骤直到网格上的所有点赋值完毕。
（3）多项式回归
多项式回归分析是描述大范围空间渐变特征的最简 单方法。 多项式回归的基本思想是用多项式表示线(数据是 一维时)或面(数据是二维时)，并按最小二乘法原理对 数据点进行拟合，拟合时假定数据点的空间坐标(x，y) 为独立变量，而表征特征值的z坐标为因变量。 当数据为一维(x)时，这种变化可用回归线近似表 示为：
第六章 空间数据的量算及 统计分析方法
6.1 空间数据的量算
主要量算方法有：
⑴ 质心量算
⑵ 几何量算(长度、面积等)
⑶ 形状量算
6.1.1
质心量算
地理目标的质心量算是描述地理目标空间分布的最有 用的单一量算量之一。
可通过对目标坐标值加权平均实现质心量算。
XG
w x w
i i i
i i
YG
6.2
空间数据的内插
空间内插算法是一种通过已知点的数据推求同一 区域其它未知点数据的计算方法。
空间外推算法则是通过已知区域的数据，推求其 它区域数据的方法。
空间数据插值经常用于以下的情况： 1、现有的离散曲面的分辨率，像元大小或方向与所 要求的不符，需要重新插值。 例如将一个扫描影像(航空像片、遥感影像)从一种 分辨率或方向转换到另一种分辨率或方向的影像。
6.2.1 整体拟合技术 1、趋势面拟合技术 （1）基本概念 某种地理属性在空间的连续变化，可以用一个平滑 的数学平面加以描述。 思路是先用已知采样点数据拟合出一个平滑的数学 平面方程，再根据该方程计算无测量值的点上的数据。 这种只根据采样点的属性数据与地理坐标的关系， 进行多元回归分析得到平滑数学平面方程的方法，称 为趋势面拟合。
1 2
l
i 1
n
i
对于复合线状地物对象，则需要在对诸分支曲线求 长度后，再求其长度之和。
在栅格数据结构里，线状地物的长度就是累加地物骨 架线通过的格网数目，骨架线通常采用8方向连接，当连 接方向为对角线方向时，还要乘上 。
2、面状地物的面积
面积是面状地物最基本的参数。 在矢量结构下，面状地物以其轮廓边界弧段构成的多边 形表示的。对于没有空洞的简单多边形，假设有n 个顶点， 其面积计算公式为：
2、现有的连续曲面的数据模型与所需的数据模型不 符，需要重新插值。
如将一个连续的曲面从一种空间切分方式变为另一 种空间切分方式，从TIN到栅格、栅格到TIN、或者 是从矢量多边形到栅格。
空间数据插值经常用于以下的情况：
3、现有的数据不能完全覆盖所要求的区域范围，需 要进行插值。
如将离散的采样点数据内插为连续的数据表面。