统计学第五章参数估计与假设检验

成数P=Ni/N
成数
Pˆ n / n i
所有可能的样本的成数（ Pˆ1, Pˆ2 , Pˆn ）所形成的分
布，称为样本成数的抽样分布。
•无限总体
均值：
E(Pˆ) E(ni / n) P
方wenku.baidu.com：
2 Pˆ
Pq
/
n
有限总体放回抽样？
•有限总体不放回抽样
均值：
E(Pˆ) E(ni / n) P
方差：
当n/N≤5% 时，有限总 体不放回抽 样等同于放 回抽样
统计量与抽样分布
•统计量：即样本指标。
样本均值 X X i n
如：
样本成数
ˆ P
ni
n
样本方差
S
2
n
1 1
(
X
i
X
)2
•抽样分布：某一统计量所有可能的样本的取值形成 的分布。
性质
0≤P（Xi）1 ∑P（Xi）=1
数字特征
均值E（X） 方差E[x-E(x)]2
将X变换为Z变量，即标准化
于是乎
P(98.8 X 100.9)
P( ) 98.899.8
x 99.8 100.999.8
5.48/ 12 5.48/ 12 5.48/ 12
(0.7) (0.63)
0.758 0.7357 1 0.4937
样本成数（即比例）的抽样分布（简称成数的分布） 抽样
E(x) x
2 x
2
n
(
N N
n 1
)
校正系数
从正态总体中抽样得到的均值的分布也服从正态分布。 从非正态总体中抽样得到的均值的分布呢？
中心极限定理：无论总体为何种分布，只要样本n足够大 （n≥30），均值标准化为（z）变量，必定服从标准正态分 布，均值则服从正态分布，即：
X ~ N(0,1), X ~ N(, 2 / n)或 X ~ N[, 2 ( N n)]
n
Z 2 2
2
/ X2
有限总体 不放回
正态总体，方差未知 总体均值
μ 非正态总体，n≥30
有限总体，n≥30（不放 回抽样）
X Z / n
2
X t (n1)S / n 2
X Z / n
2
X Z
2
n
N n N 1
总体成数的置信区间
待估计参 数θ
已知条件
无限总体， np和nq都大于5
总体成数 p 有限总体， np和nq都大于5
第五章 参数估计与假设检验
1 抽样分布 2 参数估计
3 假设检验的基本原理 4 几种常见的假设检验
总体参数
推断估计
抽样分布
参数估计
统计量
随机原则
假设检验
检验 推断统计：利用样本统计量对总体某些性质或数量 特征进行推断。
抽样分布
简单随机抽样和简单随机样本的性质
不放回 放回
放回 不放 回
独 立 性 和 同 一 性 同一性
P(1＜U＜2) 1
•解不等式 1＜U＜2 ˆL ˆU
评价准则：
置信度
随机区间
ˆˆ
( L ,U )
包含 的概率
（即可靠程度）越 大越好。
精确度
随机区间
ˆˆ
( L ,U )
的平均长度
ˆˆ
E(U , L )
（误差范围）越 小越好
总体均值的置信区间
待估计参 数θ
已知条件
置信区间
正态总体，方差已知
/ n
n N 1
结论：
1、无论是放回或不放回抽样，样本均值的数学期 望总是等于总体的均值；
2、样本均值的标准差即抽样误差，总是按一定比 例小于总体标准差，而且不放回抽样的抽样误差 比放回抽样误差小；
3、扩大样本容量，样本均值的标准差减小；
4、当总体为非正态分布时，样本均值的抽样分布 随着样本容量的扩大而趋近于正态分布。
2 Pˆ
Pq n
(
N N
n) 1
例：已知办公室人员所填写的表格中5%有笔误，检 查一个由475份表格组成的简单随机样本，问有笔误 的表格的成数在0.03和0.075之间的概率？
解：近似认为 pˆ 服从正态分布，均值=0.05，
方差=0.0001。
于是乎：
P(0.03 pˆ 0.075)
P( ) 0.030.05 0.01
pˆ 0.05 0.01
0.0750.05 0.01
(2.5) (2)
0.9938 0.9772 1 0.971
一个样本方差的抽样分布 从一个正态总体中抽样所得到的样本方差的分布
抽样
X ~ N(, 2)
n,S2
则 (n 1)S 2 / 2 ~ 2 (n 1)
当 n 30, 2分布趋近于正态分布 若X ~ 2 (n 1) 则 Z 2 2 2(n 1) ?
参数估计
•点估计 以样本指标直接估计总体参数。
评价准则：
无偏性
估计量 的数学期望等于总体参数，即 Eˆ
该估计量称为无偏估计。
有效性
ˆ
ˆ
ˆ
当为 的无偏估计时，方差 E( )2 越小，
无偏估计越有效。
一致性
对于无限总体，如果对任意＞0
ˆ
，Lim n
P(|n
|
)
0
则称
ˆ
是
的一致估计。
充分性
一个统计量如能完全地包含未知参数信息 ，即为充分统计量，用该统计量估计时，称为 充分估计量。
置信区间
Pˆ Z
pˆ qˆ n
2
Pˆ Z
2
pˆ qˆ N n n N 1
总体方差的置信区间
待估计参 数θ
已知条件
置信区间
总体方差
正态总体
(n
1)S
2
2
2
,
(n 1)S
2 1 2
2
样本容量的确定
•估计总体均值μ时
P( X X ) 1
假定 X 服从正态分布。
无限总体
X
Z
2
n
•区间估计
定义
设θ是总体的未知参数， ˆL ˆL(x1, x2,xn), ˆU ˆU (x1, x2,xn) 是两个统计量，对于给定的α
（0< α <1），如果满足P(ˆL＜＜ˆU ) 1 ，则称
(ˆL,ˆU ) 是θ的置信度为1- α的置信区间。
步骤：
•构造一个合适的函数U，该函数与未知参数θ有关， 与其他未知参数无关，且U分布已知； •对给定的α，求一个λ1，一个λ2，使
例：某类产品的抗拉强度服从正态分布，平均值为 99.8公斤/平方厘米，标准差为5.48公斤/平方厘米，从 这个总体中抽出一个容量为12的样本，问这一样本的 平均值介于98.8公斤/平方厘米和100.9公斤/平方厘米 之间的概率？
解： X ~ N (99.8,5.482 ), X ~ N (99.8,5.482 /12)
样本均值的抽样分布（简称均值的分布） 抽样
均值μ=∑Xi/N
均值 X xi
n
样本均值是样本的函数，故样本均值是一个统计量， 统计量是一个随机变量，它的概率分布称为样本均值 的抽样分布。
•无限总体
均值：
方差：
E(x) x
2 x
2
n
有限总体放回抽样？
•有限总体不放回抽样
均值：
方差：
N n N 1