4.3旋转曲面

z2 c2
1 绕虚轴
x 0
（即 z 轴）旋转
z
o
b
y
例3 （1）
将双曲线
y2
:
b2
z2 c2
1 绕虚轴
x 0
（即 z 轴）旋转
.
x2 b2
y2 b2
z2 c2
1
x
单叶旋转双曲面
z
o
b
y
例3 （2）
将双曲线
y2
:
b2
z2 c2
1
绕实轴
x 0
（即 y 轴）旋转
y
b
0
z
例3 （2）
《解析几何》
－Chapter 4
§3 旋转曲面
surface of revolution
Contents
一、旋转曲面的有关概念 二、旋转曲面的方程（直角坐标系） 三、几种特殊的旋转曲面（直角坐标系）
一、旋转曲面的有关概念
l
一、旋转曲面的有关概念
定义1 在空间，一条曲线 Γ 绕着定直线 l 旋转一周所生成的曲面 S
z2 c2
1
绕实轴
x 0
（即 y 轴）旋转
.
y2 x2 z2 1 b2 c2 c2
双叶旋转双曲面
y
b
x
0
z
z
例4
将抛物线
:
y2
2
pz
x 0
绕它的对称轴旋转
o
y
z
例4
将抛物线
:
y2
2
pz
x 0
绕它的对称轴旋转
.
o
y
x
z
例4
将抛物线
:
y2
2
pz
x 0
绕它的对称轴旋转
.
o
x
生活中见过这 个曲面吗？
称为旋转曲面（或回转曲面）
l
（. surface of revolution）
Γ 称为旋转曲面的母线
（generating curve）
l 称为旋转曲面的旋转轴
（axis of rotation）
S
生活中见过旋 转曲面吗？
一、旋转曲面的有关概念
Ⅰ 母线上任意一点绕旋转轴 l 旋转的轨迹是一个圆，称为旋转面的纬圆或纬线
将椭圆
x2
:
a2
y2 b2
1a b
z 0
绕长轴（即 x 轴）旋转
x2 y2 z2 a2 b2 b2 1
长形旋转椭球面
y
o
ax
b
z
例6 （2）
将椭圆
x2
:
a
2
y2 b2
1 a
b
绕短轴（即 y 轴）旋转
z 0
y
x2 y2 z2 1 a2 b2 a2
扁形旋转椭球面
o b
ax
z
1 旋转曲面的一般方程
旋转曲面又可看作以轴 l 为连心 线的一族纬圆生成的曲面
设旋转曲面的母线
:
F1 F2
x, x,
y, y,
z z
0 0
，旋转轴为直线
l : x x0 X
y y0 Y
z z0 Z
分析： M1 x1, y1, z1 母线 M1 S M1 纬圆 ＝平 球面
当 M1 遍历整个母线Γ 时，得出旋转曲面的所有纬圆，这些纬圆生成旋转曲面
纬圆：Xx
x
x0
x1
2
Y y
y y1 y0 2
Z z z1 01 z z0 2 x1 x0
2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
y1
y0
2
z1
z0
2
(2)
母线：FF12
x1, x1,
y1, y1,
z1 z1
0(3) 0(4)
注：
F x, y, z 0 l M1
ⅰ 写出这母线上任意一点 M1 x1, y1, z1 的纬圆方程或母线族
x 0
（即 z 轴）旋转
z
o
b
y
例3 （1）
将双曲线
y2
:
b2
z2 c2
1 绕虚轴
x 0
（即 z 轴）旋转
.
x2 b2
y2 b2
z2 c2
1
x
单叶旋转双曲面
z
o
b
y
例3 （2）
将双曲线
y2
:
b2
z2 c2
1
绕实轴
x 0
（即 y 轴）旋转
y
b
0
z
例3 （2）
将双曲线
y2
:
b2
ⅱ 写出参数 x1, y1, z1 的约束条件 ⅲ 消去参数得到所求旋转曲面的方程（或柱面、锥面的方程）
S
例1 求直线 ：x y z 1 绕直线 l : x y z 旋转所得的旋转曲面的方程
21 0 注：为方便，今后将取旋转曲面的 某一条经线作为它的母线。
母线不是经线
单叶旋转双曲面
例2
设母线
将双曲线
y2
:
b2
z2 c2
1
绕实轴
x 0
（即 y 轴）旋转
.
y2 x2 z2 1 b2 c2 c2
双叶旋转双曲面
y
b
x
0
z
三、几种特殊的旋转曲面（直角坐标系）
1 单叶旋转双曲面 2 双叶旋转双曲面 3 旋转抛物面 4 环面 5 旋转椭球面
例3 （1）
将双曲线
y2
:
b2
z2 c2
1 绕虚轴
Ⅱ 以旋转轴 l 为边界的半平面与旋转面的交线称为旋转面的经线
说明： ⅰ纬圆也可看作垂直于旋转轴 l 的平面与旋转面的交线 ⅱ 任一经线都可以作为母线，但母线不一定是经线。
l
M
纬圆
经线和母线 一样吗？
旋转曲面也可看作经 线绕轴旋转生成
S
满足什么条件 母线就是经线？
经线
纬圆（纬线）
经线
二、旋转曲面的方程（直角坐标系）
x2 y2 2 pz
.
y 旋转抛物面
卫星接收装置
.
z
a
o
b
y
例5
将圆
:
y
b2
z2
a2
b
a
0
绕 z 轴旋转
x 0
z
o
x
例5
将圆
:
y
b2
z2
a2
b
a
0
绕 z 轴旋转
x 0
y
.
z
生活中见过这 个曲面吗？
o
x
例5
将圆
:
y
b2
z2
a2
b
a
0
绕 z 轴旋转. .
x 0
y
.
环面
救生圈
.
例6 （1）
:
F
y,
z
0
，⑴
绕
z
轴旋转所得的旋转面方程；
x 0
⑵ 绕 y 轴旋转所得的旋转面方程
z
o
y
规律：
x
一般地，当坐标面上的曲线绕此坐标面里的一个坐标轴旋转时，
为求得旋转曲面的方程，只需将曲线方程保留和旋转轴同名的坐标，以其余两
坐标平方和的平方根代替方程中的另一个坐标
例3 （1）
将双曲线
y2
:
b2