4.3旋转曲面
4.3旋转曲面
绕y轴旋转一周,所成旋转曲面S S的方程为
f y,
x2 z2 0
o
y
x
xoz平面上的曲线 C f ( x , z ) 0 y0 绕x轴旋转一周,所成旋转曲面S S的方程为
f
o
z
C y
x, y2 z2 0
x
xoy平面上的曲线
f ( x, y ) 0 C z0
所求旋转曲面方程为
x y z 2 2 2 1 2 a a a b
2 2 2
x
P
M0
M
l1
这是由 xoz平面上的双曲线
x z 2 2 1 2 a a b y0
2 2
l2
y
O
z
x
绕z轴旋转而成的 单叶旋转双曲面.
z
y
写出下列旋转曲面的方程 (1) 母线
4 x 2 9 y 2 36 : z0
z0 z
2 0
2 2
y x y z z0 0 x2 y2 z2 x 2 y 2 z 2 0 0 0 y0 x 2 y 2 f ( y0 , z0 ) 0 x0 0 f x 2 y 2 , z 0 为S的方程
v i ( 1,0,0 ) 1X 0Y 0Z 0 X 0 v ( 0,Y , Z ) k (0,0,1) Y 0 可设 v ( 0,1, b )
故 l1 的方程为
x a y z 1 b 0
x a y z 设 l1 绕 l2 旋转,所成旋转曲面S l1 : 0 1 b x l1 M ( x , y , z ) 旋转曲面S P M 0 ( x0 , y0 , z0 ) M 0 ( x0 , y0 , z0 ) l1 使得 M 0 M ( x x0 , y y0 , z z0 ) k (0,0,1) M ( x, y, z )
§4.3 旋转曲面
§4.3 旋转曲面一、概念在空间，一条曲线Γ绕着定直线l旋转一周所产生的曲面叫旋转曲面，或称回转曲面。
曲线Γ叫做旋转曲面的母线，定直线l叫做旋转曲面的轴,如图4-3.(1)纬圆：Γ上的任意点M1在旋转时形成一个圆，即为通过点M1且垂直于轴l 的平面与旋转曲面的交线，称为旋转曲面的纬圆（纬线）。
(2)经线：在通过l的平面上，以l为界的半平面都与旋转曲面交成一条曲线（这些曲线在旋转中彼此重合），称为旋转曲面的经线。
二、方程设旋转曲面的母线为旋转轴为直线l：＝＝，其中P0 (x0, y0, z0)为轴l上的一个定点，X, Y, Z为旋转轴l的方向数.设M1(x1, y1, z1)是母线Γ上的任意一点，则过M1的纬圆可以看成是过M1且垂直于旋转轴l的平面与以P0(x0, y0, z0)为中心，为半径的球面的交线，所以过M1(x1, y1, z1)的纬圆的方程为当点M1遍及整个母线Γ时，就得出旋转曲面的所有纬圆，这些纬圆生成旋转曲面.又由于M1(x1, y1, z1)在母线Γ上，所以又有从上述四式中消去参数x1, y1, z1, 最后得一个三元方程F(x, y, z)＝0.即为所求旋转曲面的方程.例1 求直线绕直线旋转一周所得旋转曲面的方程。
解旋转曲面的母线为Γ：，轴为l：.设M1（x1,y1,z1）是母线Γ上的任意点，则过M1的纬圆方程为：由M1在Γ上得（7）由（5）得 z1=z , 由（7）得 x1=2 , y1=1 . 代入（6）得x2+ y2= 5为旋转曲面的方程.一.特殊的旋转曲面：当坐标平面上的曲线Γ绕此坐标平面里的一个坐标轴旋转时，为了求出旋转面的方程，只要将曲线Γ在坐标平面里的方程保留和旋转轴同名的坐标，而以其他两个坐标平方和的平方根来代替方程中的另一坐标即可. 例如Γ：绕y轴旋转所得旋转曲面的方程为F＝0,绕z轴旋转所得旋转曲面的方程为F＝0.结论（规律）：当坐标面上的曲线Γ绕此坐标面上的一个坐标轴旋转，求此旋转曲面的方程，只需将Γ在此坐标面里的方程改变即得，改变的方法是：保留与旋转轴同名的坐标，而以其他两个坐标的平方和的平方根代替方程中的另一坐标。
旋转曲面
解：因为旋转轴是 x 轴，同名坐标就是 x，
长形旋转椭球面
的曲面方程为
x 2 y 2 z2 2 2 1 2 a b b
同样将椭圆绕其短轴旋转的曲面方程为
x2 y 2 z 2 2 2 1 2 a b a
扁形旋转椭球面
z
例 3
将双曲线
y2 z2 2 1 : b2 c x0
P0 x0 , y0 , z0 设点 M1 x1, y1, z1 为Γ上任意一点， 为 l 上任意一点。 x
y l
求旋转曲面的方程
过 M 1 的纬圆方程为
X x x1 Y y y1 Z z z1 0 2 2 2 x x y y z z 0 0 0 2 2 2 x x y y z z 1 0 1 0 1 0
2 2 2 2 2 x y z y z 1 1 根来代替方程中的另一坐标。
且有
F y1 , z1 0
消去参数 y1 , z1 求得旋转曲面方程为 F y, x2 z 2 0 同样，把曲线Γ绕 z 轴旋转所得的旋转曲面的方程 是 F x2 y 2 , z 0
《解析几何》
§4.3 旋转曲面
content
一、旋转曲面的相关概念 二、旋转曲面方程的求法 三、特殊的旋转曲面
旋转曲面的相关概念 定义：在空间，一条曲线 绕着定直线 l 旋转 一周所生成的曲面叫做旋转曲面，或称回转曲面. 曲线 叫做旋转曲面的母线，定直线 l 叫做旋转曲 面的旋转轴，简称为轴.
x1 y1 z1 1 由于M1 x1, y1, z1 在母线上，所以又有 2 1 0
旋转曲面 doc课件
§4.3 旋转曲面1．一般的旋转曲面方程定义4.3.1 在空间，一条曲线Γ 绕一定直线l 旋转一周所产生的曲面S 叫做旋转曲面（或回转曲面）. Γ 叫做S 的母线，l 称为S 的的旋转轴，简称为轴.设1M 为旋转曲面S 的母线Γ上的任一点，在Γ 绕轴l 旋转时，1M 也绕l 旋转而形成一个圆，称其为S 的纬圆、纬线或平行圆. 以l 为边界的半平面与S 的交线称为S 的经线.S 的纬圆实际上是过母线Γ 上的点且垂直于轴l 的平面与S 的交线. S 的所有纬圆构成整个S .S 的所有经线的形状相同，且都可以作为S 的母线，而母线不一定是经线. 这里因为母线不一定为平面曲线，而经线为平面曲线.在直角坐标系下，设旋转曲面S 的母线为Γ：⎩⎨⎧==0),,(0),,(21z y x F z y x F (1)旋转轴为l 000:x x y y z z X Y Z---==(2)这里0000(,,)P x y z 为l 上一点，X ，Y ，Z 为l 的方向数.设M 1 (x 1，y 1，z 1) 为母线Γ 上的任意点，过M 1的纬圆总可看成过1M 且垂直于轴l 的平面与以P 0为中心，01P M 为半径的球面的交线. 故过M 1的纬圆的方程为 ⎩⎨⎧111()()()0X x x Y y y Z z z -+-+-= (3) 222222*********()()()()()()x x y y z z x x y y z z -+-+-=-+-+- (4)当M 1跑遍整个母线时，就得出旋转曲面的所有纬圆，所求的旋转曲面就可以看成是由这些纬圆构成的.由于M 1 (x 1，y 1，z 1) 在母线Γ 上，有⎩⎨⎧==0),,(0),,(22221111z y x F z y x F (5)从（3）、（4）、（5）4个等式消去参数x 1，y 1，z 1得一个方程F (x ，y ，z ) = 0即为S 的方程.例1 求直线Γ ：112-==z y x 绕直线:l x y z ==旋转所得的旋转曲面S 的方程. 解 设M 1 (x 1，y 1，z 1) 为母线Γ 上的任一点，因旋转轴过原点，过M 1的纬圆方程为 ⎩⎨⎧++=++=-+-+-2121212221110)()()(z y x z y x z z y y x x (7)因M 1在母线上，有112111-==z y x (8) 由（8）得1112,,1x t y tz ===(9)将(9)代入(7)得 210x t y t z -+-+-=，1(1)3t x y z =++-且11121(1),(1),133x x y z y x y z z =++-=++-=最后得2222241(1)(1)199x y z x y z x y z ++=++-+++-+即S 的方程是2222()5()5()70x y z xy xz yz x y z ++-+++++-=.2．坐标平面上的曲线绕坐标轴旋转所得旋转曲面的方程任一旋转曲面总可以看作是由其一条经线绕旋转轴旋转而生成的. 故今后为了方便，总是取旋转曲面的一条经线作为母线.更进一步，在直角坐标系下导出旋转曲面的方程时，我们常把母线所在的平面取作坐标平面，从而使旋转曲面的方程具有特殊的形式.设旋转曲面S 的母线为yOz 平面上的曲线(,)0:0F y z x =⎧Γ⎨=⎩旋转轴为y 轴010x y z == 设M 1(0，y 1，z 1)为母线上任一点，则过M 1的纬圆为122222110y yx y z y z -=⎧⎨++=+⎩ 且有111(,)00F y z x =⎧⎨=⎩ 由以上两个方程组消可得1110,,x y y z ===(,0F y =实际上，此旋转曲面的方程也可由前面的图直接得出.设M 1(0，y 1，z 1)为母线上任一点，M (x ，y ，z )为过M 1的纬圆上的任意一点，则由上图中的辅助图可知y 1 = y ， z 1 = ±|O'M 1| =±|O'M | =±22z x +(10)因M 1(0，y 1，z 1)在母线上，F (y 1，z 1) = 0，将(10)的结果代入，就得所求的旋转曲面的方程为(,0F y =.类似地，母线为(,)0:0F x y z =⎧Γ⎨=⎩，旋转轴为z 轴的旋转曲面的方程为：()0F z =.对于其它坐标平面上的曲线，绕坐标轴旋转所得的旋转曲面，其方程可类似求出. 于是我们得到如下的规律：当坐标平面上的曲线Γ 绕此坐标平面的一个坐标轴旋转时，所得旋转曲面的方程可根据下面的方法直接写出：保持方程的形式不变，将曲线Γ 在坐标面里的方程中的与旋转轴同名的坐标保持不变，而以其它两个坐标的平方和的平方根来代替方程中的另一坐标.例如，S 为由xoz 面上的(,)0:0F x z y =⎧Γ⎨=⎩绕x 轴所得，则S的方程为(,0F x =.例2 让椭圆)(01:2222b a z b y a x >⎪⎩⎪⎨⎧==+Γ分别绕其长轴（x 轴）和短轴（y 轴）旋转，所得旋转曲面方程分别是：1222222=++b z b y a x 和 1222222=++a z b y a x 图形分别叫做长形旋转椭球面和扁形旋转椭球面，如下图.例5 将圆)0(0)(:222>>⎩⎨⎧==+-a b x a z b y Γ绕z 轴旋转，所得旋转曲面方程是：22222)(a z b y x =+-+±化简整理得)(4)(222222222y x b a b z y x +=-+++此曲面叫环面，如下图所示，其形状象救生圈.作业：P155 1～3。
4.4 旋转曲面(REVSURF)
我们可以用REVSURF命令在三维空间以一对称轴（LINE）去旋转一剖面线（PLINE）制作出一旋转曲面。
其中SURFTAB1与SURFTAB2系统变量分别控制了该网面M与N方向的密度接下来再把UCS绕着X轴转90度用LINE和PLINE命令在新的坐标系统上画两条制作REVSURF（旋转曲面）的“剖面线”----------------------------------------------1.2.命令: ucs3.当前 UCS 名称: *世界*4.输入选项5.[新建(N)/移动(M)/正交(G)/上一个(P)/恢复(R)/保存(S)/删除(D)/应用(A)/?/世界(W)]6.<世界>: x7.指定绕 X 轴的旋转角度 <90>: 908.命令: line9.指定第一点: *7,5 （注：当UCS不是世界坐标时，世界坐标的表示方式）10.指定下一点或 [放弃(U)]: @0,2.511.指定下一点或 [放弃(U)]:12.命令: pline13.指定起点: *8.5,514.当前线宽为 0.000015.指定下一个点或 [圆弧(A)/半宽(H)/长度(L)/放弃(U)/宽度(W)]: @0,0.516.指定下一点或 [圆弧(A)/闭合(C)/半宽(H)/长度(L)/放弃(U)/宽度(W)]: a （改画弧）17.指定圆弧的端点或18.[角度(A)/圆心(CE)/闭合(CL)/方向(D)/半宽(H)/直线(L)/半径(R)/第二个点(S)/放弃(U)/19.宽度(W)]: d （弧的起始方向）20.指定圆弧的起点切向: 021.指定圆弧的端点: @2,222.指定圆弧的端点或23.[角度(A)/圆心(CE)/闭合(CL)/方向(D)/半宽(H)/直线(L)/半径(R)/第二个点(S)/放弃(U)/24.宽度(W)]:复制代码再用UCS W恢复到世界坐标系统把SURFTAB1（网面密度1）系统变量设置为24执行REVSURF命令，用右边的PLINE作为path curve(路径曲线)而左边的垂直线作为axis of revolution（旋转轴）制作出一个“像碗的”旋转曲面----------------------------------------------------------------------------------1.2.命令: ucs3.当前 UCS 名称: *没有名称*4.输入选项5.[新建(N)/移动(M)/正交(G)/上一个(P)/恢复(R)/保存(S)/删除(D)/应用(A)/?/世界(W)]6.<世界>: w7.命令: surftab18.输入 SURFTAB1 的新值 <8>: 249.命令: revsurf10.当前线框密度: SURFTAB1=24 SURFTAB2=811.选择要旋转的对象: （点取右边的PLINE）12.选择定义旋转轴的对象: （点取垂直线）13.指定起点角度 <0>: 014.指定包含角 (+=逆时针，-=顺时针) <360>:复制代码image085.jpg(50.82 KB, 下载次数: 2)先用LINE命令在地面上画一垂直线然后用3DPOLY命令在三维空间中画一条“多义线”--------------------------------1.2.命令: line3.指定第一点: 15,94.指定下一点或 [放弃(U)]: @0,0,35.指定下一点或 [放弃(U)]:6.命令: 3dpoly7.指定多段线的起点: 17,98.指定直线的端点或 [放弃(U)]: @0,0,19.指定直线的端点或 [放弃(U)]: @2,0,210.指定直线的端点或 [闭合(C)/放弃(U)]: @0,0,-311.指定直线的端点或 [闭合(C)/放弃(U)]: c复制代码image086.jpg(39.04 KB, 下载次数: 4)把SURFTAB1（网面密度1）系统变量设置为15执行REVSURF命令，用刚才画的3D多义线为路径曲线与刚才画的垂直线为旋转轴制作出一个非360度的旋转曲面-----------------------------------------------命令: surftab1输入 SURFTAB1 的新值 <24>: 15命令: revsurf当前线框密度: SURFTAB1=15 SURFTAB2=8选择要旋转的对象:选择定义旋转轴的对象:指定起点角度 <0>: 0指定包含角 (+=逆时针，-=顺时针) <360>: 225 （225度）image087.jpg(55.96 KB, 下载次数: 3)用HIDE命令来看一下消除隐藏线后的情形（注意225度旋转曲面两端透空的情形）image088.jpg(54.11 KB, 下载次数: 2)用OSNAP命令设定“端点”捕捉模式再用3DFACE命令把刚才画的旋转曲面两端透空的部分补起来再执行一遍HIDE命令来看下消除隐藏线后的情形-------------------------------------------------------------------------------1.2.命令: osnap （设置捕捉端点）3.命令:4.命令: 3dface5.指定第一点或 [不可见(I)]: （点1）6.指定第二点或 [不可见(I)]: （点2）7.指定第三点或 [不可见(I)] <退出>: （点3）8.指定第四点或 [不可见(I)] <创建三侧面>: （点4）9.指定第三点或 [不可见(I)] <退出>:10.命令: 3dface11.指定第一点或 [不可见(I)]: （点5）12.指定第二点或 [不可见(I)]: （点6）13.指定第三点或 [不可见(I)] <退出>: （点7）14.指定第四点或 [不可见(I)] <创建三侧面>: 点8）15.指定第三点或 [不可见(I)] <退出>:16.命令: hide17.正在重生成模型。
4.3旋转曲面 4.4椭球面
= z1 (| z1 |< c)的交线为圆 的交线为圆.
2 a2 2 2 x + y 2 = 2 (c − z1 ) . 截面上圆的方程 c z = z 1
( 2) a = b = c ,
x2 y2 z2 1 球面 2 + 2 + 2 = a a a
x2 z2 2 − 2 =1 a c y = 0
上一页 下一页
轴相合， 实轴与 x 轴相合， 轴相合. 虚轴与 z 轴相合
返回
（3）用坐标面 yoz ( x = 0)，与曲面相截 ） 均可得双曲线. 均可得双曲线 单叶双曲面图形 z
o x
y
上一页
下一页
返回
二、双叶双曲面 2 2 2
.
4 旋转抛物面
y 2 = az 抛物线 x = 0 绕 z 轴一周
z
o
y
4 旋转抛物面
y 2 = az 抛物线 x = 0 绕 z 轴一周
z
.
o
y
x
4 旋转抛物面
y = az 抛物线 x = 0 绕 z 轴一周
2
z
得旋转抛物面 z =
x +y a
2
2
.
.
o 生活中见过这个曲面吗？ 生活中见过这个曲面吗？
（2）点 M 到 z 轴的距离 ）
o x
2 2
⋅ M ( 0, y , z ) ⋅ f ( y, z) = 0 M
d
1 1 1
y
d=
x + y =| y1 |
2 2
将 z = z1 , y1 = ± x + y 代入 f ( y1, z1 ) = 0 得方程
43旋转曲面定义431在空间一条曲线绕着定直线旋转一
绕它的对称轴旋转的旋转曲面方程为
x2 y2 2 pz
曲面（4.3-5）叫做旋转抛物面（图4-11）。
例5 ：
将圆
( y b)2 z2 a2
:
,(b a 0)
x0
(20)
（图4-12(a))绕 z 轴旋转，求所得旋转曲面的方程。
解：因为绕 z 轴旋转，所以在方程( y b)2 z 2 a2 中保留 z 不变，而 y 用 x2 y2 代，就得将圆（20）绕
z 轴旋转而成的旋转曲面的方程为
( x2 y2 b)2 z2 a2
即
x2 y2 z2 b2 a2 2b x2 y2
或
(x2 y2 z2 b2 a2 )2 4b2 (x2 y2 )
这样的曲面叫做环面（图4-12（b)),它的形状像救生圈。
作业
P158 1，2，3
为
x
2
y y1 ( y1, z1) 0
从（12），（13），（14）三式中消去参数得所求旋转曲面的
方程为 F( y, x2 z2 ) 0
同样，把曲线 绕z轴旋转所得的旋转曲面的方程为
F( x2 y2 , z) 0
对于其他坐标面上的曲线，绕坐标轴旋转所得的旋转曲面，其 方程可类似的求出，这样我们就得出如下的规律：
§4.3 旋转曲面
定义4.3.1 在空间，一条曲线 绕着定直线l 旋转一周所生成的曲面叫做旋 转曲面，或称回转曲面。曲线 叫作旋转曲面的母线，定直线 l 叫做旋
转曲面的旋转轴，简称为轴。
如图就纬交4是圆成-5通或一，过纬条旋点线曲转。线M曲1在，面且通这的垂过些母直旋曲线于转 线轴轴显上l然l的在的的任旋平平意转面面点中上与M都，旋1 能以在转l彼旋曲为此转面界重时的的合形交每，成线个这一，半曲个我平线圆们面叫，把都作这它与旋个叫曲转圆做面
旋转曲面方程的一般表达式
旋转曲面方程的一般表达式
摘要：旋转曲面是几何学中一类常见的曲面，其几何特性具有极大的协调性，通过旋转曲面的研究可以帮助我们理解物体的几何结构。
本文将介绍旋转曲面的一般表达式，并简要介绍旋转曲面的几个重要性质。
关键词：旋转曲面；一般表达式；性质
1 引言
旋转曲面是几何学中一类常见的曲面，是由一根直线当曲线，以这根直线的某点为轴，绕轴进行旋转而得到的曲线。
旋转曲面具有极大的协调性，通过旋转曲面的研究可以帮助我们理解物体的几何结构。
2 旋转曲面的一般表达式
旋转曲面的一般表达式为：
$$z = f(r) , r = sqrt{x^2 + y^2} , theta = arctanfrac{y}{x}$$
其中，z 为曲面上点的坐标，r 为绕轴的旋转距离，$theta$ 为曲线旋转的角度。
3 旋转曲面的性质
（1）旋转曲面的曲率方向与法向方向相反，二者的向量积为负值。
（2）旋转曲面的曲率为正值，曲面的坡度等于绕轴的旋转角度。
（3）旋转曲面的曲率半径与绕轴的旋转距离成正比。
（4）旋转曲面通过轴线是平行的，即它们的切线方向永远不变。
4结论
本文介绍了旋转曲面的一般表达式，以及旋转曲面的几个重要性质。
旋转曲面是几何学中一类常见的曲面，可以帮助我们理解物体的几何结构。
04第四章 Creo基础教程-旋转特征
4.9: 旋转——实战初级视频二 案例2
【思路分析】
利用图中给出的尺寸在草绘 绘制出剖面，根据绘制出的剖面 可多次或一次旋转出来。
4.10: 旋转——实战初级视频三 案例3
【思路分析】
利用图中给出的剖面，在旋转 草绘中一次性旋转出实体模型 。
4.11: 旋转——实战中级视频一 案例4
【思路分析】
交流方式
由于我们水平有限，教程中不足及疏漏之处在所难 免，敬请学者和业界专家批评指正。
我们希望与广大学者、同行进行技术与经验交流， 如有宝贵意见与建议请及时与我们反馈、交流。
百佳学习邦 雪琙斯
4.1: 旋转介绍
旋转介绍
选项：
变量：旋转的形成为角度旋转 对称：旋转的形成以草绘平面为分界面完全对称，只要选择对称后第二侧则变成灰色 无效壮态。 到选定的：旋转角度以某一平面为界，通过选取某一平面作为旋转角度的边界条件。
4.2: 实体旋转
实体旋转 创建方法： 1. 选择“旋转”工具 2. 选取旋转草绘的平面或截面图元 3. 选取中心轴指定给旋转轴 4. 旋转拖动器或者输入角度值以创建旋转实体。
主题: Creo 2.0 旋转特征 讲师:雪琙斯
先决条件
•熟悉二维草绘及相关的绘图知识
授课对象
•有无基础的初学者（初／高／大／中专学生、工厂普工、待业青年） •产品设计者（工程师助理、抄数公司学徒 、手板工程师 ） •制图者（绘图员、技术人员 ）
•工业/概念设计者（ID工程师）
•从事相关行业的人员也可以从本课程中获益
4.3: 旋转去除实体材料
旋转去除材料 创建方法： 1. 选择“旋转”工具 2. 选取旋转草绘的平面或截面图元 3. 选取中心轴指定给旋转轴 4. 旋转拖动器或者输入角度值以创建旋转实体来去除材料。
4.3：旋转曲面
z
绕 z 轴一周
得单叶旋转双曲面
.
.
o
b
x2 y 2 z 2 2 1 2 b c
y
x
2 双叶旋转双曲面
y2 z2 1 双曲线 b 2 c 2 x 0
y
绕 y 轴一周
0
z
2 双叶旋转双曲面
y2 z2 1 双曲线 b 2 c 2 x 0
2
由于旋转曲面的经线，总可以作为最初的母 线来产生旋转曲面. 因此为了方便，今后总是取旋转曲面的某一条经线 （显然是平面曲线）作为旋转曲面的母线. 在直角坐标系下导出旋转曲面 的方程时，我们又常把母线所
M1
l
在平面取作坐标面而旋转轴取 作坐标轴，这时旋转曲面的 方程具有特殊的形式.
M
P0
设旋转曲面的母线为
P0
l
设 M1 ( x1 , y1 , z1 )是母线 上的任意点，那么过 M 1的 纬圆总可以看成是: 过 M 1 且垂直于旋转轴 l 的平面
与以 P0 ( x0 , y0 , z0 ) 为中心,
P0 M 1 为半径 的球面的交线.
M1
M
P0
所以过 M1 ( x1 , y1 , z1 ) 的纬线的方程为：
（7）
（8）
由于 M1 ( x1 , y1 , z1 ) 在母线上，所以又有
x1 y1 z1 1 2 1 0
即
( x x1 ) ( y y1 ) ( z z1 ) 0 2 2 2 2 2 2 x y z x1 y1 z1
x1 2 y1 ,
生活中见过这个曲面吗？
o
y
.
柱面的方程
M1
C
代人椭圆方程，整理得锥 x2 y 2 z 2 面方程： 2 2 2 0。 a b c
0
x
y
17
例2
例 2：已知圆锥面的顶点为A (1, 2,3)，轴垂直于平面 2x 2y z 1 0，母线与轴组成 30的夹角，求圆锥面的方程。
解1: 设M ( x, y, z)为任一母线上的点,则过M 的母线的方向为
解析几何
第四章 柱面锥面旋转曲面与二次曲面
§4.1 柱面
§4.2 锥面 §4.3 旋转曲面 §4.4 椭球面 §4.5 双曲面 §4.6 抛物面 §4.7 单叶双曲面与双曲抛物面的直母线
1
第四章 柱面 锥面 旋转曲面 及二次曲面 教学安排说明
教学时数： 14课时 本章教学目标及要求：1.掌握球面、空间圆等特殊曲面、曲 线的方程及求法； 2.熟悉母线平行于坐标轴的柱面、顶点在某一 点的锥面和特殊的旋转面的方程,并能从方程判断曲面的形状； 3.能识别椭球面、双曲面、抛物面、单叶双曲面、双曲抛物面的 几何特征及方程，并能从方程中判断曲面的形状。 本章教学重点：1. 常见二次曲面的定义及标准方程； 2. 坐标面上曲线绕坐标轴旋转， 所产生的旋转曲面的方程及求法。 本章教学难点： 1.锥面方程的特征及其论证；2. 单叶双曲面的 几何性质及分析； 3. 二次曲面的直纹性及相关证明。
2 2 2
M1
过点M1且垂直于轴的平面方程为：
M0
x2 y 2 z 3 0； 它们的交线即柱面 x 2 ( y 1)2 ( z 1)2 14 的准线方程： ,轴线的方向就是 x 2 y 2z 3 0 柱面的方向，再按例1的解法即可求出柱面的方程。
7
解法2
43旋转曲面
《解析几何》－Chapter 4§3 旋转曲面surface of revolution1、理解旋转曲面及母线和纬圆等概念；2、掌握求旋转曲面方程的一般方法及步骤；3、能熟练写出一类特殊旋转曲面的方程。
Contents一、旋转曲面的有关概念二、旋转曲面的方程（直角坐标系）三、几种特殊的旋转曲面（直角坐标系）l.Sl定义1在空间，一条曲线Γ绕着定直线l 旋转一周所生成的曲面S 称为旋转曲面（或回转曲面）（surface of revolution ）Γ称为旋转曲面的母线（generating curve ）l 称为旋转曲面的旋转轴（axis of rotation ）纬圆Ⅱ以旋转轴l 为边界的半平面与旋转面的交线称为旋转面的经线说明：ⅰ纬圆也可看作垂直于旋转轴l 的平面与旋转面的交线SΓ一、旋转曲面的有关概念Ⅰ母线上任意一点绕旋转轴l 旋转的轨迹是一个圆，称为旋转面的纬圆或纬线ⅱ任一经线都可以作为母线，但母线不一定是经线。
经线和母线一样吗？lM经线π例1求直线绕直线旋转所得的旋转曲面的方程1210x y z -Γ==：:l x y z ==母线不是经线单叶旋转双曲面xyzo经线轴xyzol l纬圆轴旋转曲面可看成经线绕旋转轴旋转一周.旋转曲面也可看成由纬圆族生成.设旋转曲面的母线，()()12,,0:,,0F x y z F x y z =⎧⎪Γ⎨=⎪⎩()1111 ,,M x y z ∀∈母线(),,0F x y z ⇒=1 旋转曲面的一般方程⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩纬圆：约束方程：000:x x y y z z l X Y Z ---==旋转轴为直线当M 1 遍历整个母线Γ时，得出旋转曲面的所有纬圆，这些纬圆生成旋转曲面⎧⎨⎩平面球＝分析：1M ⇔∈纬圆1M S ⇒∈旋转曲面又可看作以轴l 为连心线的一族纬圆生成的曲面yzoP 1M ()()()()X x x Y y y Z z z -+-+-⎧⎪⎨=⎪⎩11110()(),,,,()()F x y z F x y z ==⎧⎪⎨⎪⎩111121114030()()()()()()()x x y y z z x x y y z z -+-+-=-+-+-2222220001010102消参:设旋转曲面的母线，()()12,,0:,,0F x y z F x y z =⎧⎪Γ⎨=⎪⎩1 旋转曲面的一般方程000:x x y y z z l X Y Z ---==旋转轴为直线z1M 普通方法设M 1(x 1, y 1, z 1)为母线上任意一点,①写出纬圆族方程:②写出参数x 1, y 1, z 1的约束条件:③消去参数x 1, y 1, z 1得一个三元方程:()()()()()()()()()()()X x x Y y y Z z x x y y z z x x y y z z z -+-+-=-+-+--+-+-=⎧⎪⎨⎪⎩222222000101011101120()(),,,,()()F x y z F x y z ==⎧⎪⎨⎪⎩111121114030(),,.F x y z =0例1求直线绕直线旋转所得的旋转曲面的方程x y z l -==11210：:l x y z ==2母线轴(0,0,0)解设M 1(x 1, y 1, z 1)为母线l 1上任意一点,则过点M 1的纬圆方程为:()()(),-+-+-=⎧⎨⎩1110x x y y z z ++=222x y z 且有-==1111210x y z ,t 则,,===11121x t y t z 代入上式消去t 得++222111x y z 所求旋转球面方程:()++=++--22225119x y z x y z 即:()()()++-+++++-=22225570x y z xy xz yz x y z 另:,.==11121x y z 代入方程组消参得旋转球面方程.消参中可令1M (,,)0000P {1,1,1}=v l 2xyzo三、旋转曲面的方程特征Γ解则过点M 1纬圆为:(,)F y z =110且y y -=⎧⎨⎩10x y z y z ++=+2222211故旋转曲面方程为22(,)0F y x z ±+=绕y 轴旋转所成曲面的方程.例:给定yoz 面上曲线Γ: (,)F y z x =⎧⎨=⎩0当旋转曲面的母线为坐标面上的曲线,且旋转轴为坐标轴时, 它的方程具有特殊形式.{0,1,0}=v 设M 1(0, y 1, z 1)为母线Г上任意点,{0,1,0}=且v (0,0,0)O y 轴上定点(,,)M y z 1110例2设母线，(),:F y z x =⎧⎪Γ⎨=⎪⎩00规律：一般地，当坐标面上的曲线绕此坐标面里的一个坐标轴旋转时，为求得旋转曲面的方程，只需将曲线方程保留和旋转轴同名的坐标，以其余两坐标平方和的正负平方根代替方程中的另一个坐标xozy⑴绕z 轴旋转所得的旋转面方程；⑵绕y 轴旋转所得的旋转面方程(),F x y z ±+=220(),F y x z±+=2222221:,0x ya b z ⎧+=⎪Γ⎨⎪=⎩()a b >例2.将椭圆o xyz长形旋转椭球面1.绕长轴（即x 轴）旋转的旋转曲面的方程为:2.绕短轴（即y 轴）旋转的旋转曲面的方程为:222222 1.++=x y za b b2222221++=x y za b aoxyzbaab ba 222221++=⇒x y za b222221++=⇒x z y a b例3将双曲线 , ():. y z a b bc x ⎧-=>⎪Γ⎨⎪=⎩2222101.绕虚轴（即z 轴）旋转的旋转曲面的2.绕实轴（即y 轴）旋转的旋转曲面的2222221; +-=x y zb b c2222221; --=y x z b c c 方程为:方程为:单叶旋转双曲面222221+-=⇒x y zb c222221 +-=⇒y x z b c yzoxbxzyo例4将抛物线22 ,:0.⎧=Γ⎨=⎩y pz x 1.绕它的对称轴旋转的旋转曲面的方程为:222+=x y pz旋转抛物面xyzoxyzo>p 生活中见过这个曲面吗？.例5将圆则所得旋转曲面的方程:222() , (b a 0):0.⎧-+=>>Γ⎨=⎩y b z a x -4-224-1-0.500.51-4-224zyOa b绕z 轴旋转,22222(),x y b z a ±+-+=22222222x y z b a b x y+++-=±+即:即:()()2222222224x y z b ab x y+++-=+环面zyoab例5将圆222() , (b a 0):0.⎧-+=>>Γ⎨=⎩y b z a x 绕z 轴旋转,yxo.环面例5将圆222() , (b a 0):0.⎧-+=>>Γ⎨=⎩y b z a x 绕z 轴旋转,zy xo .生活中见过这个曲面吗？环面救生圈.。
《解析几何》课程教学大纲
《解析几何》课程教学大纲一、课程的性质、目的与任务通过本课程的教学，使学生掌握平面曲线、空间直线、平面、柱面、锥面、旋转曲面、二次曲面等的基本性质。
提高用代数方法解决几何问题的能力，为今后学习其它课程打下必要的基础，并能在较高理论水平的基础上处理中学数学的有关教学内容，以及生产、生活中的有关实际问题。
本课程是大学专科小学教育专业数学类必修的一门重要的专业课课程，通过本课程的教学，使学生系统掌握空间解析几何的基本知识和基本理论，正确地理解和使用向量；在掌握几何图形性质的同时，提高运用代数方法解决几何问题的能力和空间想象能力，能在较高理论水平的基础上处理中小学教学的有关问题。
二、课程教学内容和基础要求要求学生重点掌握空间解析几何的基本思想和基本方法；培养空间想象能力，逻辑思维能力以及运用现代各种数学方法处理几何问题的能力，运用几何结构，深入理解现行中学数学教材中的有关问题，并且具有应用几何知识解决实际问题的能力。
通过本课程的学习，为学好后续专业课程打下良好的基础。
第一章矢量与坐标教学目的：通过本章的教学,使学生掌握矢量的概念，矢量运算的定义、规律及几何意义，利用矢量的运算作为工具研究平面与空间的几何图形教学要求:理解矢量及与之有关诸概念,并能在具体问题中区分那些是矢量,那些是数量，掌握矢量的运算（矢量加（减）法）数与矢量乘法，两矢量的数性积，矢性积，混合积，二重矢性积等的定义与性质，注意与数的运算规律的异同之处，理解坐标系的建立，区分仿射坐标系与空间直角坐标系的区别，掌握在直角坐标系下，用坐标进行矢量的运算方法，会用矢量法进行有关的几何证明问题。
教学内容：§1.1矢量的概念§1.2矢量的加法§1.3数量乘矢量§1.4矢量的线性关系与矢量的分解§1.5标架与坐标§1.6矢量在轴上的射影§1.7两矢量的数性积§1.8两失量的矢性积§1.9三矢量的混合积§1.10三矢量的双重矢性积教学提示：由浅入深，采用启发式教学，并通过对比加深学生印象。
4.3 旋转曲面
z
这样的曲面叫做环面
o x y
• 一般旋转曲面的方程
F1 x, y, z 0 设旋转曲面的母线 C : F2 x, y, z 0 旋转轴为直线 l : x x0 y y0 z z0 X Y Z
l
M1
C
平面 分析： M1 x1, y1, z1 母线 M1 纬圆 ＝
球
X x x1 Y y y1 Z z z1 0 1 纬圆： 2 2 2 2 2 2 x x y y z z x x y y z z 0 0 1 0 1 0 1 0 0 F1 x1 , y1 , z1 0 (3) 母线： F2 x1 , y1 , z1 0 (4)
4.3
旋转曲面
定义 一条空间曲线C 绕一条定直线旋转一周所 产成的曲面称为旋转曲面. 这条定直线称为该曲面的旋转轴，曲线C 称为该 曲面的母线.
• 母线上任意一点绕旋转轴 l 旋转的轨迹是一个圆，称
为旋转面的纬圆或纬线. • 以旋转轴 l 为边界的半平面与旋转面的交线称为 旋转面的经线. 注： ⅰ 纬圆也可看作垂直于旋转 轴 l 的平面与旋转面的交线.
作业：
习题4.3 1
即 x1 2 y1 , z1 1.
因为旋转轴通过原点，所以过 M 1 的纬圆是
( x x1 ) ( y y1 ) ( z z1 ) 0 2 2 2 2 2 2 x y z x y z 1 1 1 5 2 2 2 x y z 1 ( x y z 1)2 9
x 不变
z y2 z2
所以，旋转曲面方程为
解析几何版第四章《柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面》课后习题答案
第四章 柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面§ 4.1柱面1、已知柱面的准线为：⎩⎨⎧=+-+=-+++-0225)2()3()1(222z y x z y x 且（1）母线平行于轴；（2）母线平行于直线，试求这些柱面的方程。
x c z y x ==,解：（1）从方程⎩⎨⎧=+-+=-+++-0225)2()3()1(222z y x z y x 中消去，得到：x 25)2()3()3(222=-+++--z y y z 即：0235622=----+z y yz z y 此即为要求的柱面方程。
（2）取准线上一点，过且平行于直线的直线方程为：),,(0000z y x M 0M ⎩⎨⎧==c z yx ⎪⎩⎪⎨⎧=-=-=⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=z z t y y tx x zz t y y tx x 000000而在准线上，所以0M ⎩⎨⎧=+--+=-++-+--02225)2()3()1(222t z y x z t y t x 上式中消去后得到：t 02688823222=--+--++z y x xy z y x 此即为要求的柱面方程。
2、设柱面的准线为，母线垂直于准线所在的平面，求这柱面的方程。
⎩⎨⎧=+=zx z y x 222解：由题意知：母线平行于矢量{}2,0,1-任取准线上一点，过的母线方程为：),,(0000z y x M 0M ⎪⎩⎪⎨⎧+==-=⇒⎪⎩⎪⎨⎧-==+=t z z y y tx x tz z y y t x x 2200000而在准线上，所以：0M ⎩⎨⎧+=-++=-)2(2)2(22t z t x t z y t x 消去，得到：t 010*******22=--+++z x xz z y x 此即为所求的方程。
3、求过三条平行直线的圆柱面方程。
211,11,-=+=--==+==z y x z y x z y x 与解：过原点且垂直于已知三直线的平面为：它与已知直线的交点为0=++z y x ，这三点所定的在平面上的圆的圆心为())34,31,31(),1,0,1(,0,0,0--0=++z y x ，圆的方程为：1513,1511,152(0--M ⎪⎩⎪⎨⎧=++=-++++075981513(1511(152(222z y x z y x 此即为欲求的圆柱面的准线。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
－Chapter 4
§3 旋转曲面
surface of revolution
Contents
一、旋转曲面的有关概念 二、旋转曲面的方程（直角坐标系） 三、几种特殊的旋转曲面（直角坐标系）
一、旋转曲面的有关概念
l
一、旋转曲面的有关概念
定义1 在空间，一条曲线 Γ 绕着定直线 l 旋转一周所生成的曲面 S
Ⅱ 以旋转轴 l 为边界的半平面与旋转面的交线称为旋转面的经线
说明： ⅰ纬圆也可看作垂直于旋转轴 l 的平面与旋转面的交线 ⅱ 任一经线都可以作为母线，但母线不一定是经线。
l
M
纬圆
经线和母线 一样吗？
旋转曲面也可看作经 线绕轴旋转生成
S
满足什么条件 母线就是经线？
经线
纬圆（纬线）
经线
二、旋转曲面的方程（直角坐标系）
x 0
（即 z 轴）旋转
z
o
b
y
例3 （1）
将双曲线
y2
:
b2
z2 c2
1 绕虚轴
x 0
（即 z 轴）旋转
.
x2 b2
y2 b2
z2 c2
1
x
单叶旋转双曲面
z
o
b
y
例3 （2）
将双曲线
y2
:
b2
z2 c2
1
绕实轴
x 0
（即 y 轴）旋转
y
b
0
z
例3 （2）
将双曲线
y2
:
b2
称为旋转曲面（或回转曲面）
l
（. surface of revolution）
Γ 称为旋转曲面的母线
（generating curve）
l 称为旋转曲面的旋转轴
（axis of rotation）
S
生活中见过旋 转曲面吗？
一、旋转曲面的有关概念
Ⅰ 母线上任意一点绕旋转轴 l 旋转的轨迹是一个圆，称为旋转面的纬圆或纬线
1 旋转曲面的一般方程
旋转曲面又可看作以轴 l 为连心 线的一族纬圆生成的曲面
设旋转曲面的母线
:
F1 F2
x, x,
y, y,
z z
0 0
，旋转轴为直线
l : x x0 X
y y0 Y
z z0 Z
分析： M1 x1, y1, z1 母线 M1 S M1 纬圆 ＝平 球面
当 M1 遍历整个母线Γ 时，得出旋转曲面的所有纬圆，这些纬圆生成旋转曲面
z2 c2
1 绕虚轴
x 0
（即 z 轴）旋转
z
o
b
y
例3 （1）
将双曲线
y2
:
b2
z2 c2
1 绕虚轴
x 0
（即 z 轴）旋转
.
x2 b2
y2 b2
பைடு நூலகம்
z2 c2
1
x
单叶旋转双曲面
z
o
b
y
例3 （2）
将双曲线
y2
:
b2
z2 c2
1
绕实轴
x 0
（即 y 轴）旋转
y
b
0
z
例3 （2）
将双曲线
y2
:
b2
z2 c2
1
绕实轴
x 0
（即 y 轴）旋转
.
y2 x2 z2 1 b2 c2 c2
双叶旋转双曲面
y
b
x
0
z
三、几种特殊的旋转曲面（直角坐标系）
1 单叶旋转双曲面 2 双叶旋转双曲面 3 旋转抛物面 4 环面 5 旋转椭球面
例3 （1）
将双曲线
y2
:
b2
z2 c2
1 绕虚轴
纬圆：Xx
x
x0
x1
2
Y y
y y1 y0 2
Z z z1 01 z z0 2 x1 x0
2
y1
y0
2
z1
z0
2
(2)
母线：FF12
x1, x1,
y1, y1,
z1 z1
0(3) 0(4)
注：
F x, y, z 0 l M1
ⅰ 写出这母线上任意一点 M1 x1, y1, z1 的纬圆方程或母线族
:
F
y,
z
0
，⑴
绕
z
轴旋转所得的旋转面方程；
x 0
⑵ 绕 y 轴旋转所得的旋转面方程
z
o
y
规律：
x
一般地，当坐标面上的曲线绕此坐标面里的一个坐标轴旋转时，
为求得旋转曲面的方程，只需将曲线方程保留和旋转轴同名的坐标，以其余两
坐标平方和的平方根代替方程中的另一个坐标
例3 （1）
将双曲线
y2
:
b2
z2 c2
1
绕实轴
x 0
（即 y 轴）旋转
.
y2 x2 z2 1 b2 c2 c2
双叶旋转双曲面
y
b
x
0
z
z
例4
将抛物线
:
y2
2
pz
x 0
绕它的对称轴旋转
o
y
z
例4
将抛物线
:
y2
2
pz
x 0
绕它的对称轴旋转
.
o
y
x
z
例4
将抛物线
:
y2
2
pz
x 0
绕它的对称轴旋转
.
o
x
生活中见过这 个曲面吗？
x2 y2 2 pz
.
y 旋转抛物面
卫星接收装置
.
z
a
o
b
y
例5
将圆
:
y
b2
z2
a2
b
a
0
绕 z 轴旋转
x 0
z
o
x
例5
将圆
:
y
b2
z2
a2
b
a
0
绕 z 轴旋转
x 0
y
.
z
生活中见过这 个曲面吗？
o
x
例5
将圆
:
y
b2
z2
a2
b
a
0
绕 z 轴旋转. .
x 0
y
.
环面
救生圈
.
例6 （1）
将椭圆
x2
:
a2
y2 b2
1a b
z 0
绕长轴（即 x 轴）旋转
x2 y2 z2 a2 b2 b2 1
长形旋转椭球面
y
o
ax
b
z
例6 （2）
将椭圆
x2
:
a
2
y2 b2
1 a
b
绕短轴（即 y 轴）旋转
z 0
y
x2 y2 z2 1 a2 b2 a2
扁形旋转椭球面
o b
ax
z
ⅱ 写出参数 x1, y1, z1 的约束条件 ⅲ 消去参数得到所求旋转曲面的方程（或柱面、锥面的方程）
S
例1 求直线 ：x y z 1 绕直线 l : x y z 旋转所得的旋转曲面的方程
21 0 注：为方便，今后将取旋转曲面的 某一条经线作为它的母线。
母线不是经线
单叶旋转双曲面
例2
设母线