函数与导数的关系及应用

函数与导数的关系及应用
河南三门峡市陕县一高 白成乐
函数的导数是近几年高考中的重要内容，也是必考内容，在河南高考题中尤为重要，无论选择题填空 题，还是解答题的都有考察，所占分数至少在30—40分！命题中的出现形式也是多种多样，一般都是和函数的单调性、极值、最值、积分、图像、不等式恒成立等知识综合联系在一起，综合能力巧强，知识的交汇点多，相对来说属于较难题！这里结合平时学生的练习实际谈谈函数的导数的应用经验和体会。

一、导数在解抽象函数构造的不等式中的应用
函数与方程及不等式是高中数学练习题中永远的主题，也是高中数学知识的主线，利用函数的导数可 以判断函数的单调性，从而判断函数值的大小，用来接相关的不等式是高考数学题中常见的类型。

观察习题的特点，恰当地构造相关函数是阶梯的关键。

例1．已知定义在R 上的奇函数()f x ，设其导函数'()f x ，当(],0x ∈-∞时，恒有'()()xf x f x <-，令
()()F x xf x =，则满足(3)(21)F F x >-的实数x 的取值范围是
（ A ）
A ．（-1，2）
B ．1
(1,)2
-
C ．1(,2)2
D ．（-2，1）
解：因为 ()f x 为奇函数，且当(],0x ∈-∞时，'()()'()()0'()0xf x f x xf x f x F x <-⇒+<⇒<，又 因为 ()f x 为奇函数，所以()()F x xf x =为偶函数，所以函数当(],0x ∈-∞时是减函数，()0,x ∈+∞时， 是增函数。

所以(3)(21)213321312F F x x x x >-⇔-≤⇔-≤-≤⇔-≤≤
例2. 已知()y f x =是定义在R 上的奇函数，且当0x >时不等式()()'0f x xf x +<成立， 若(
)0.30.3
33a f =⋅(),log 3log 3b f ππ=⋅3311,log log 9
9c f ⎛⎫=⋅ ⎪⎝
⎭
，则 , , a b c 大小关系是(D)
A ． a b c >>
B ． c a b >>
C ． a c b >>
D ． b a c >>
解：当0x >时不等式()()'0f x xf x +<()()'
0xf x xf x ⇒<⇒⎡⎤⎣⎦在y 轴右边为减函数，而()y f x =是定义在R 上的奇函数，所以()y xf x =为偶函数，所以当0x <时()y xf x =为增函数。

又0.3
3
1
13
2,0log 31,log 29
π<<<<=-，所以 b a c >>.
例3.设()f x 是定义在R 上的奇函数，且()20f =，当
0x >时有
2
'()()
0xf x f x x
-<恒成立，则不等式2()0x f x >的解集为 （ D ）
A ．
()()
2,02,-+∞ B ．
()()2,00,2-
C ．()(),22,-∞-+∞
D ．()(),20,2-∞-
解：()f x 是定义在R 上的奇函数()f x x ⇒为偶函数；当0x >时，2
'()()0xf x f x x -<'
()0f x x ⎛⎫
⇒< ⎪⎝⎭
， 所以
()f x x 在(),0-∞上为增函数；在()0,+∞上为减函数，且(2)(2)
022f f -==-，所以当(),2x ∈-∞-时2()0()0f x x f x x <⇒>；()0,2x ∈2()
0()0f x x f x x
>⇒>，所以正确答案为D. 二、导数与函数最值的综合用应用
利用导数研究函数的极值和最值也是近几年高考的必考内容，其主要载体是三次以内的多项式函数， 以e 为底得指数函数和对数函数，有些地方也有三角函数中的应用，也有不少高考题在搞擦边球，出一些超纲的题目！利用导数及其几何意义把问题等价转化为比较容易解决的问题（转化与化归思想）是解决问题的关键。

例4.已知三次函数32()f x ax x x =-+在()0,+∞上存在极大值点，则实数a 的取值范围是（D ） A ．10,3⎛⎫ ⎪⎝
⎭ B.10,3⎛⎤ ⎥⎝
⎦ C.1,3
⎛⎤-∞ ⎥⎝
⎦ D.()
1,00,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭
分析：首先注意三次函数的大前提，其次要利用函数的导数为二次函数，转化为二次方程有正根的条件，利用判别式和韦达定理可以分情况讨论。

解：三次．．
函数32()f x ax x x =-+在()0,+∞上存在极大值点2
'()3210f x ax x ⇔=-+=有正数根 014120
000320
6a a a a a a >⎧⎪=->⎪⇔<⇒<<<⎨⎪>⎪⎩
或或.
例5. （2012新课标）设点P 在曲线12
x
y e =上，点Q 在曲线ln(2)y x =上，则PQ 最小值为（ A ）
A.1ln2-
B.
ln 2)- C. 1ln2+
ln 2)+
解：此题属于选修2-1圆锥曲线与方程和选修2-2导数及其应用两章的综合题，主要考察利用导数判断用函数表示的曲线之间两点距离的最值问题，首先要利用两函数图形的位置关系把问题转化为一条曲线上的点到直线的距离，然后利用函数的导数及单调性求函数最值。

此题比较难，一方面，函数的反函数问题课本上轻描淡写，根本没有让学生掌握求函数反函数的方法，另一方面函数12
x
y e =
与函数ln(2)y x =互为反函数，学生不会判断，他们的图像关系也不知道利用，所以很多学生感觉难的原因就在这里，此题应该属于超纲！ 函数12
x
y e =
与函数ln(2)y x =互为反函数，图象关于y x =对称 函数12x y e =上的点1(,)2x P x e 到直线y
x =的距离为d =
设函数min min 11()()1()1ln 222x x g x e x g x e g x d '=
-⇒=-⇒=-⇒=
由图象关于y x =对称得：PQ 最小值为min 22(1ln 2)d =-
例6. （2013年高考新课标1（理））若函数()f x =2
2
(1)()x x ax b -++的图像关于直线x =－2对称，则()f x 的最大值是______.
命题意图：本题主要考查函数的对称性及利用导数求函数最值，是难题. 解法1：由()f x 图像关于直线x =－2对称，则 0=(1)(3)f f -=-=2
2
[1(3)][(3)3]a b ----+，
0=(1)(5)f f =-=2
2
[1(5)][(5)5]a b ----+，解得a =8，b =15， ∴()f x =2
2
(1)(815)x x x -++，
∴()f x '=2
2
2(815)(1)(28)x x x x x -+++-+=3
2
4(672)x x x -++-
=4(2)(25)(25)x x x -++++
当x ∈(－∞,25-∪(－2, 25-+时，()f x '＞0， 当x ∈(25-－2)∪(25-+∞)时，()f x '＜0，
∴()f x 在（－∞，25-25-2）单调递减，在（－2，25-+增，在（25-，+∞）单调递减，故当x =25-和x =25-+时取极大值，
(25)f -=(25)f -+=16.
解法2：因为)(x f 的图像关于2-=x 对称，且由0)(=x f 可知，1,121=-=x x 所以由函数对称性可知5,343-=-=x x 也是函数的零点，所以)2(-x f 的零点为为 ,1,313--，，所以）
9)(1()2()(22--=-=x x x f x g ()()
554)2()(-+-=-=x x x x f x g ‘‘
，当5-=x 时，16)(max =x g
三、函数的导数与曲线的切线的综合应用
函数的导数的几何意义是函数在某点处曲线切线的斜率，所以能利用求导的方法求出曲线的切线方程 也是数学试题的热点。

例7． 已知函数2,1
()(2),1
ax bx c x f x f x x ⎧++≥-=⎨--<-⎩的图像在点(1,(1))f 处的切线方程为21y x =+，则它在点
(3,(3))f --处的切线方程为
（ C ）
A ．210x y -+=
B ．230x y +-=
C ．230x y ++=
D ．210x y +-=
解：当1x ≥时2
()'()2'(1)22f x ax bx c f x ax b f a b =++⇒=+⇒=+=，而切点在切线上，所以，切点为（1，3），同时切点也在2
()f x ax bx c =++上，所以3a b c ++=。

而()3(32)(1)3f f f -=-==，
当1x <-时，()()'()221f x a x b =--+-⎡⎤⎣⎦
()()24124ax a b ax a b =--+-=+-，'(3)6422f a a b a b ∴-=-+-=--=-，所以在点
(3,(3))f --处的切线方程为()323230y x x y -=-+⇒++=.
例8．若存在过点(1,0)的直线与曲线3
y x =和215
94y ax x =+
-都相切，则a 等于（ A ） A ．1-或25-64 B ．1-或214 C ．74-或25
-64
D ．74-或7
解：函数3
2
'3y x y x =⇒=，设切点为()
3
00x x ，则切线方程为()320003y x x x x -=-，而切线经过（1,0），
所以()3
2
0000033102x x x x x -=-⇒==
或，所以两条切线为()27
014
y y x ==-或 当切线为0y =时，抛物线2
1594y ax x =+- 与x 轴相切所以2
1525360464a a ⎛⎫∆=+=⇒=- ⎪⎝⎭
；
当切线为()2714y x =
-时，设它与抛物线21594y ax x =+- 相切的切点为2
15,94t at t ⎛⎫+- ⎪⎝⎭
，又函数
21594y ax x =+-的导数为15'24y ax =+，所以()21527244115279144
at a at t t ⎧
+=⎪⎪⇒=-⎨
⎪+-=-⎪⎩ 综上所述满足条件的25
164
a a =-
=-或. 例9.若直线y x =与函数()()log 1a f x x a =>的图像有且仅有一个公共点，则a 的值为（ B ） A ．e B
C ．
1
e
D ．e e
解：直线y x =与函数()()log 1a f x x a =>的图像有且仅有一个公共点⇒直线y x =与函数
()()log 1a f x x a =>的图像相切。

设切点为()00,x x ，则由1
'()ln f x x a
=
得： (
)00
011ln log log log log log e a a a a a x a e e e e e a a x x
⎧=⎪
⇒=⇒=⇒=⇒=⎨
⎪=⎩ 四、函数导数与积分的综合应用
函数的求导运算和积分运算是互逆的运算过程，都离不开导数公式的加入，利用积分的几何意义可以把 平面曲线所围成的平面区域面积转化为函数的定积分来计算。

例10．已知函数()ln f x ax x =在1x =处的切线斜率为1，则()ln g x a x =的图象和直线x e =与x 轴所围成的图形的面积是
A ．1
B ．1e +
C ．1e -
D ．21e -
解：函数()ln f x ax x =在1x =处的切线斜率为
1'(1)ln111f a a a =+=⇒=. 则()ln g x x =的图象和直线x e =与x 轴所围成 的图形的面积可以利用互为反函数的两个函数 图像关于直线y x =对称，转化为函数x
y e =的 图像与y 轴，以及直线y e =所围成区域的面积， 利用积分的方法可得：
()()1
100
1x x S e e dx e e =-=-=⎰
总的来说，函数的导数应用很广泛，除了在
高考题中的应用以外，在生活实际中，可以在“选址最佳”“优化材料”，“计算简单几何体体积的最值”等问题中用到导数的方法解决，但在河南高考中不是考察的重点，在此不作讨论。

x。