函数与导数的关系及应用

函数与导数的关系及应用

河南三门峡市陕县一高 白成乐

函数的导数是近几年高考中的重要内容，也是必考内容，在河南高考题中尤为重要，无论选择题填空 题，还是解答题的都有考察，所占分数至少在30—40分！命题中的出现形式也是多种多样，一般都是和函数的单调性、极值、最值、积分、图像、不等式恒成立等知识综合联系在一起，综合能力巧强，知识的交汇点多，相对来说属于较难题！这里结合平时学生的练习实际谈谈函数的导数的应用经验和体会。 一、导数在解抽象函数构造的不等式中的应用

函数与方程及不等式是高中数学练习题中永远的主题，也是高中数学知识的主线，利用函数的导数可 以判断函数的单调性，从而判断函数值的大小，用来接相关的不等式是高考数学题中常见的类型。观察习题的特点，恰当地构造相关函数是阶梯的关键。

例1．已知定义在R 上的奇函数()f x ，设其导函数'()f x ，当(],0x ∈-∞时，恒有'()()xf x f x <-，令

()()F x xf x =，则满足(3)(21)F F x >-的实数x 的取值范围是

（ A ）

A ．（-1，2）

B ．1

(1,)2

-

C ．1(,2)2

D ．（-2，1）

解：因为 ()f x 为奇函数，且当(],0x ∈-∞时，'()()'()()0'()0xf x f x xf x f x F x <-⇒+<⇒<，又 因为 ()f x 为奇函数，所以()()F x xf x =为偶函数，所以函数当(],0x ∈-∞时是减函数，()0,x ∈+∞时， 是增函数。所以(3)(21)213321312F F x x x x >-⇔-≤⇔-≤-≤⇔-≤≤

例2. 已知()y f x =是定义在R 上的奇函数，且当0x >时不等式()()'0f x xf x +<成立， 若(

)0.30.3

33a f =⋅(),log 3log 3b f ππ=⋅3311,log log 9

9c f ⎛⎫=⋅ ⎪⎝

⎭

，则 , , a b c 大小关系是(D)

A ． a b c >>

B ． c a b >>

C ． a c b >>

D ． b a c >>

解：当0x >时不等式()()'0f x xf x +<()()'

0xf x xf x ⇒<⇒⎡⎤⎣⎦在y 轴右边为减函数，而()y f x =是定义在R 上的奇函数，所以()y xf x =为偶函数，所以当0x <时()y xf x =为增函数。 又0.3

3

1

13

2,0log 31,log 29

π<<<<=-，所以 b a c >>.

例3.设()f x 是定义在R 上的奇函数，且()20f =，当

0x >时有

2

'()()

0xf x f x x

-<恒成立，则不等式2()0x f x >的解集为 （ D ）

A ．

()()

2,02,-+∞ B ．

()()2,00,2-

C ．()(),22,-∞-+∞

D ．()(),20,2-∞-

解：()f x 是定义在R 上的奇函数()f x x ⇒为偶函数；当0x >时，2

'()()0xf x f x x -<'

()0f x x ⎛⎫

⇒< ⎪⎝⎭

， 所以

()f x x 在(),0-∞上为增函数；在()0,+∞上为减函数，且(2)(2)

022f f -==-，所以当(),2x ∈-∞-时2()0()0f x x f x x <⇒>；()0,2x ∈2()

0()0f x x f x x

>⇒>，所以正确答案为D. 二、导数与函数最值的综合用应用

利用导数研究函数的极值和最值也是近几年高考的必考内容，其主要载体是三次以内的多项式函数， 以e 为底得指数函数和对数函数，有些地方也有三角函数中的应用，也有不少高考题在搞擦边球，出一些超纲的题目！利用导数及其几何意义把问题等价转化为比较容易解决的问题（转化与化归思想）是解决问题的关键。

例4.已知三次函数32()f x ax x x =-+在()0,+∞上存在极大值点，则实数a 的取值范围是（D ） A ．10,3⎛⎫ ⎪⎝

⎭ B.10,3⎛⎤ ⎥⎝

⎦ C.1,3

⎛⎤-∞ ⎥⎝

⎦ D.()

1,00,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭

分析：首先注意三次函数的大前提，其次要利用函数的导数为二次函数，转化为二次方程有正根的条件，利用判别式和韦达定理可以分情况讨论。

解：三次．．

函数32()f x ax x x =-+在()0,+∞上存在极大值点2

'()3210f x ax x ⇔=-+=有正数根 014120

000320

6a a a a a a >⎧⎪=->⎪⇔<⇒<<<⎨⎪>⎪⎩

或或.

例5. （2012新课标）设点P 在曲线12

x

y e =上，点Q 在曲线ln(2)y x =上，则PQ 最小值为（ A ）

A.1ln2-

B.

ln 2)- C. 1ln2+

ln 2)+

解：此题属于选修2-1圆锥曲线与方程和选修2-2导数及其应用两章的综合题，主要考察利用导数判断用函数表示的曲线之间两点距离的最值问题，首先要利用两函数图形的位置关系把问题转化为一条曲线上的点到直线的距离，然后利用函数的导数及单调性求函数最值。此题比较难，一方面，函数的反函数问题课本上轻描淡写，根本没有让学生掌握求函数反函数的方法，另一方面函数12

x

y e =

与函数ln(2)y x =互为反函数，学生不会判断，他们的图像关系也不知道利用，所以很多学生感觉难的原因就在这里，此题应该属于超纲！ 函数12

x

y e =

与函数ln(2)y x =互为反函数，图象关于y x =对称 函数12x y e =上的点1(,)2x P x e 到直线y

x =的距离为d =

设函数min min 11()()1()1ln 222x x g x e x g x e g x d '=

-⇒=-⇒=-⇒=