(完整版)大一高等数学期末考试试卷及答案详解

大一高等数学期末考试试卷一、选择题（共12分）

1. （3分）若为连续函数,则的值为( ).

2,0,

(),0x e x f x a x x ⎧<=⎨+>⎩a (A)1 (B)2 (C)3 (D)-12. （3分）已知则的值为（ ）.

(3)2,f '=0(3)(3)

lim

2h f h f h →--(A)1 (B)3 (C)-1 (D)

1

2

3. （3分）定积分的值为（

）.

(A)0 (B)-2 (C)1 (D)2

4. （3分）若在处不连续,则在该点处( ).()f x 0x x =()f x (A)必不可导 (B)一定可导(C)可能可导 (D)必无极限 二、填空题（共12分）

1．（3分） 平面上过点，且在任意一点处的切线斜率为的曲线方(0,1)(,)x y 23x 程为 .

2. （3分） .

1

241(sin )x x x dx -+=⎰3. （3分） = .20

1

lim sin

x x x

→4. （3分） 的极大值为 .

3223y x x =-三、计算题（共42分）1.（6分）求2

ln(15)

lim

.

sin 3x x x x →+

2.（6分）设求y =.

y '3.（6分）求不定积分2ln(1).x x dx +⎰4.（6分）求其中3

(1),f x dx -⎰

,1,()1cos 1, 1.x x

x f x x

e x ⎧≤⎪

=+⎨⎪+>⎩

5.（6分）设函数由方程所确定,求()y f x =0

cos 0y x

t

e dt tdt +=⎰⎰.

dy 6.（6分）设求2()sin ,f x dx x C =+⎰(23).

f x dx +⎰7.（6分）求极限3lim 1.

2n

n n →∞

⎛

⎫+ ⎪⎝⎭四、解答题（共28分）

1.（7分）设且求(ln )1,f x x '=+(0)1,f =().

f x 2.（7分）求由曲线与轴所围成图形绕着轴旋转一

cos 2

2y x x π

π⎛⎫=-≤≤ ⎪⎝⎭x x 周所得旋转体的体积.

3.（7分）求曲线在拐点处的切线方程.3232419y x x x =-+-

4.（7分）求函数

上的最小值和最大值.y x =+[5,1]-五、证明题(6分)

设在区间上连续,证明

()f x ''[,]a b 1()[()()]()()().22b

b

a

a

b a f x dx f a f b x a x b f x dx -''=

++--⎰

⎰标准答案

一、 1 B; 2 C; 3 D; 4 A.二、 1

2

3 0;

4 0.

3

1;y x =+2

;3

三、 1 解 原式 5分

2

5lim

3x x x

x

→⋅=

1分

5

3

=2解

2分

2ln ln ln(1),2x

y x ==-+

4分

21221

x

y x '∴=-+

3 解 原式 3分

221

ln(1)(1)2

x d x =

++⎰

2分

222212[(1)ln(1)(1)]21x x x x dx x

=++-+⋅+⎰

1分

2221

[(1)ln(1)]2

x x x C =++-+4

解 令则

2分

1,x t -=

1分

3

2

1()()f x dx f t dt -=⎰⎰

1分

1

211(1)1cos t t

dt e dt t -=+++⎰⎰ 1分2

1

0[]t e t =++

1分

21e e =-+5

两边求导得

2分

cos 0,y

e

y x '⋅+= 1分

cos y x

y e

'=-

1分

cos sin 1

x

x =

-

2分

cos sin 1

x

dy dx x ∴=-6

解

2分

1

(23)(23)(22)2

f x dx f x d x +=

++⎰

⎰ 4分

21

sin(23)2

x C =++7

解 原式= 4分

2332

3lim 12n n n ⋅→∞

⎛⎫+

⎪⎝

⎭

=

2分

32

e 四、1 解 令则

3分

ln ,x

t =,()1,t t x e f t e '==+

=

2分

()(1)t f t e dt =+⎰.t t e C ++ 2分(0)1,0,f C =∴=

1分

().x f x x e ∴=+2

解

3分

222

cos x V xdx π

ππ-=⎰

2分

2202cos xdx π

π=⎰

2分

2

.2

π=

3

解

1分

23624,66,y x x y x '''=-+=-令得

1分

0,y ''= 1.x =当时, 当时,

2分

1x -∞<

<0;y ''<1x <<+∞0,y ''>为拐点,

1分

(1,3)∴该点处的切线为

2分

321(1).y

x =+-4解

2

分

1y '=-

=令得

1分

0,y '=3

.4

x =

2

分

35

(5)5 2.55,,(1)1,44y y y ⎛⎫-=-+≈-== ⎪⎝⎭最小值为最大值为

2分

∴

(5)5y -=-+

35

.44

y ⎛⎫= ⎪⎝⎭五、证明

1分

()()()()()()b

b

a

a

x a x b f x x a x b df x '''--=--⎰

⎰ 1分[()()()]()[2()b

b a a x a x b f x f x x a b dx ''=----+⎰ 1分

[2()()b

a x a

b df x =--+⎰