大学概率论某些常用分布的数学期望与方差 (1)

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vk ( X ) E( X k ).
若 X为离散随机变量，则 vk ( X ) xik p(xi ).
i
若 X为连续随机变量，
则 vk ( X )
xk f (x)dx.

特别，一阶原点矩就是数学期望：v1( X ) E( X ).
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i
若 X 为连续随机变量，则
k (X )

[x

E(X
)]k
f
(x)dx.

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§3.6 原点矩与中心矩
一阶中心矩恒等于零： 1( X ) 0. 二阶中心矩就是方差： 2 ( X ) D( X ).
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由组合数的性质可知
n1
n1
C C k
n1k
M 1 N M

C C C , k
( n1)k
n1
M 1 ( N 1)(M 1) N 1
k 0
k 0
所以有
E(X
)
M
Cn1 N 1
CnN

nM N
.
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§3.5 某些常用分布的数学期望与方差
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§3.5 某些常用分布的数学期望与方差
均匀分布
设随机变量 X 在区间 a ,b 上服从均匀分布，则
E( X )
b x dx aba
a b. 2
均匀分布的数学期望正是随机变量分布区间的中点值.
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§3.5 某些常用分布的数学期望与方差
续表方差

q p2
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§3.5 某些常用分布的数学期望与方差
续表
分布名称及记号
概率函数或概率密度
数学期望
方差
均匀分布
f
(x)

b
1
a
,
a xb;
ab
(b a)2
U (a ,b)
0 , 其它
2
12
指数分布
ex , x 0 ;
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第三章随机变量的数字特征
§3.6 原点矩与中心矩
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§3.6 原点矩与中心矩
原点矩
[定义1] 随机变量X 的 k 次幂的数学期望（k 为正整数）
叫做随机变量X 的 k 阶原点矩. 记作：vk ( X ), 即

(k
k 0
1) k
k!

e

k 1
k1
(k 1)!
k 0
k
k!
e ( e e ) ( 1).
所以
D( X ) ( 1) 2 .
泊松分布的方差等于数学期望.
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2
2
,
所以
D(X )

2
2

( 1 )2

1
2
,
(X) 1.
指数分布的标准差与数学期望相等.
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§3.5 某些常用分布的数学期望与方差
常用分布及其数学期望与方差
分布名称及记号概率函数或概率密度
“0 1” p(x) pxq1x , x 0 ,1
由此得所以
E(X 2) np(n 1) p 1 np(np q),
D( X ) np(np q) (np)2 npq.
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§3.5 某些常用分布的数学期望与方差
泊松分布
设随机变量X 服从泊松分布P() , 则
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§3.6 原点矩与中心矩
原点距与中心矩的一些关系
记 k k ( X ), vk vk ( X ). (1) 2 v2 v12,
续表
分布名称及记号
概率函数或概率密度
数学期望
方差
超几何分布
p(x)
CMx
Cnx N M
CnN
,
nM nM (N M )(N n)
x 0 ,1,min(n , M ) N
N 2 (N 1)
H (n ,M
, N ) (n , M , N为正整数;
n N ,M N)
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为了计算 D(X ) , 我们先计算 E( X 2 )
E( X 2 ) b x2 dx a2 ab b2 .
aba
3
所以
D(X )

a2
ab b2 3
a
2
b
2

(b a)2 . 12
均匀分布的方差与分布区间长度的平方成正比.
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§3.6 原点矩与中心矩
中心矩
[定义2] 随机变量X 的离差的k 次幂的数学期望(k为
正整数)叫做随机变量X 的 k阶中心矩.记作：k ( X ).
即
k ( X ) E{[ X E( X )]k}.
若 X 为离散随机变量，则
k ( X ) [xi E( X )]k p(xi );
E(X ) .
证： E( X ) m m e e m1 ,
m0 m!
m1 (m 1)!
设 k m 1, 得
E( X ) e k e e .
k0 k!
泊松分布的数学期望就是参数 .
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E(X ) p , D(X ) pq
E(X ) np , D(X ) npq
E(X ) , D(X )
E(X ) 1 ,

D(
X
)

1
2
E( X ) a b , D( X ) (b a)2
2
12
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§3.5 某些常用分布的数学期望与方差
为了计算 D(X ) , 我们先计算 E(X 2) :
E( X 2 ) x2 exdx, 0
置换积分变量x t , 得
E(
X
2
)

1
2
t 2 etdt
0

(3)
2
可知第一个和式等于
(M

1)
Cn2 N 2
:
E
(
X
2
)
M CnN
(M

1)
Cn2 N 2

Cn1 N 1
.
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§3.5 某些常用分布的数学期望与方差
由此得
E
(
X
2
)

M CnN
(M

1)
Cn2 N 2

Cn1 N 1
设 k m 1, 得
E( X 2 )

M CnN
n1
(k
k 0

1)
CkM
Cn1k
1 N M

M CnN

n1 k 0
k
CkM
Cn1k
1 N M

n1 k 0
CkM
Cn1k
1 N M
.
第二个和式等于
Cn1 N 1
,
与前面计算过程完全类似，

M
n(n 1)(M 1) N (N 1)

n N

所以
nM (nM n M N ) , N (N 1)
D(X ) nM (nM n M N ) (nM )2
N (N 1)NΒιβλιοθήκη D(X)nM
(N N
M 2(N
)( N 1)

n).
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§3.5 某些常用分布的数学期望与方差
指数分布
设随机变量X 服从指数分布 e() ,则
E( X ) x exdx, 0
置换积分变量x t , 得
E(
X
)

1

t etdt
0
(2)

1.

指数分布的数学期望等于其参数的倒数.
k
Ckn1
pk qn1k

n1
Ckn1
k 0
p
k
q
n1k

.
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§3.5 某些常用分布的数学期望与方差
与前面的过程完全类似，可知上式括弧中第一个和式等于(n 1) p ; 而第二个和式等于 ( p q)n1 1;
f (x)
e()
0 , x0
1

1
2
( 0)
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§3.5 某些常用分布的数学期望与方差
小结
熟悉常用分布的数学期望与方差
X ~ B(1, p) X ~ B(n , p)
X ~ P() X ~ e()
X ~ U (a ,b)
分布
(0 p 1, p q 1)
数学期望
p
二项分布 p(x) Cnx pxqnx ,
x 0 ,1 , , n
np
B(n , p) (0 p 1, p q 1)
方差 pq
npq
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§3.5 某些常用分布的数学期望与方差
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§3.5 某些常用分布的数学期望与方差
为了计算 D(X ) , 我们先计算 E(X 2) .
E( X 2 ) m2 m e e m m1 ,
m0 m!
m1 (m 1)!
设 k m 1, 得
E(X
2)

e
结束
§3.5 某些常用分布的数学期望与方差
思考题
设 X 表示10次独立重复射击命中目标的次数,每次射中目标的概率是0.4，则 X 2的数学期望 E(X 2) _____ 分析：由题知 X ~ B(10 ,0.4), 所以
E(X ) np 10 0.4 4, D(X ) npq 10 0.4 (1 0.4) 2.4 , E(X 2) D(X ) E2(X ) 2.4 42 18.4.
第三章随机变量的数字特征
§3.5 某些常用分布的数学期望与方差
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§3.5 某些常用分布的数学期望与方差
超几何分布
设随机变量 X ~ H (n, M , N ) ,则
证：
E(X ) nM .
N
E ( X
)

1 CnN
n
m
CmM
Cnm N M
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§3.5 某些常用分布的数学期望与方差
二项分布
设随机变量 X 服从二项分布B(n , p) ,则
E( X ) np .
n
n
证：E( X ) mCmn pmqnm mCmn pmqnm
m0 n
m1
np
Cm1 n1
pm1qnm.
m1
设k m 1, 得
n1
E( X ) np
Ckn1
p
k
q
n1k

np(q

p)n1
np
.
k 0
二项分布的数学期望等于参数 n 与 p的乘积.
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§3.5 某些常用分布的数学期望与方差
为了计算方差D( X ) , 我们先计算E(X 2) :
n
n
E( X 2 ) m2 Cmn pmqnm m2 Cmn pmqnm
m0
m1
n
np
m
Cm1 n1
pm1qnm.
m1
设 k m 1, 得
n1
E( X 2 ) np (k 1)Ckn1 pkqn1k
k 0

np

n1 k 0
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§3.5 某些常用分布的数学期望与方差
分布名称及记号
概率函数或概率密度
数学期望
泊松分布
p(x) x e
P()
x!

x 0 ,1,2, ( 0)
几何分布
p(x) pqx1 ,
1
G( p)
x 1 ,2 ,3 ,
p
(0 p 1, p q 1)
为了计算方差D( X ) , 我们先计算 E(X 2) :
E( X
2)
1 CnN
n
m2
m0
CmM
Cnm N M

1 CnN
n
m2 CmM
m1
Cnm N M

M CnN
n
m
Cm1 M 1
Cnm N M
,
m1
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§3.5 某些常用分布的数学期望与方差
m0

1 CnN
n
m CmM
m1
Cnm N M
设k m 1, 得

M CnN
n
Cm1 M 1
Cnm N M
.
m1
E(X )

M CnN
n1
CkM
1
Cn1k N M
.
k 0
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