Logistic回归模型1

1 表示A与O的优势比； 2 表示B与O的优 势比； 3 表示AB与O的优势比。
（六）标准回归系数
用于比较各个自变量对模型贡献大小。
bi Si bi Si b 0.5513bi Si S / 3
' i
bi 为标准回归系数，bi为第i个自变量的回归系
数，Si为第i个自变量的标准差，S为Y的标准差。
P( y 1 | x) exp( 0 1 x1 2 x2 .... p x p ) Q( y 0 | x )
（3） （6）
对式(3)和式(6) 两边取自然对数得：
ln( P / Q ) 0 x
ln( P / Q ) 0 1 x1 2 x2 ...... p x p
bi 的绝对值越大，则该自变量对模型贡献越大。
二、logistic回归模型的参数估计与假设检验
（一）logistic回归模型的建立
Logistic回归分析的过程，就是要根据样本资 料，求出各自变量的回归系数 i 。由于logistic 回归是一种概率模型，通常用最大似然法 （maximun likelihood,ML）求回归系数的估计值
（1） （2）
Q( y 0 | x )
1 1 exp( 0 X )
式中， 0 为回归线的截距， 是与X有关的 参数，也称回归系数。
P( y 1 | x) exp( 0 X ) Q( y 0 | x )
（3）
当有多个X时， logistic回归模型：
Q( y 0 | x )
1 1 exp( 0 X )
Logistic回归模型概述
Logistic回归模型是一种概率模型，它是以某 一事件发生与否的概率P为因变量，以影响P的 因素为自变量建立的回归模型，分析某事件发 生的概率与自变量之间的关系，是一种非线性 回归模型。
Logistic回归模型适用的资料：
exp( 0 1 x1 2 x2 .... p x p ) 1 exp( 0 1 x1 2 x2 .... p x p )
P( y 1 | x)
（三） logit变换：
将S型曲线转化为直线
P( y 1 | x) exp( 0 X ) Q( y 0 | x )
式中， 0 为截距， j (j=1,2,…,p), 称偏回归系 数。
P( y 1 | x) exp( 0 1 x1 2 x2 .... p x p ) Q( y 0 | x )
（6）
式(1) 或 式(4)称为logistic回归模型。
exp( 0 X ) P ( y 1 | x) 1 exp( 0 X )
x=1时：D1=1, D2=0,D3=0 A血型；
x=2时：D1=0, D2=1,D3=0 B血型； x=3时：D1=0, D2=0,D3=1 AB血型； x=4时：D1=0, D2=0,D3=0 O血型；
分析时，将D1、 D2、D3放入logistic回归模 型同时分析，得3个参数： 1、 2、 3。
Logistic 回归模型
主讲：黄志碧
回归分析概述
1、根据自变量多少分 （1）简单回归（一个自变量） （2）多元回归（多个自变量） 2、根据Y的取值分 （1）确定型回归（多元线性回归） （2）概率型回归（Logistic回归） 3、根据回归图形分 线性回归（多元线性回归） 非线性回归（Logistic回归）
i (i=1,2,3,„,p)。
（二） logistic回归模型的假设检验 1、回归系数的假设检验
求得回归系数后，还要对回归系数进行检验， 目的是检验总体回归系数β是否为零。检验方法有：
1）、似然比检验（likelihiood ratio test）
（1） 检验引入的变量对模型有无贡献； （2）对模型回归系数进行整体检验。
（四） 优势比(odds ratio), 简记OR
暴露组的优势（比值）与非暴露组的优势（比值）
之比，称优势比（比值比）（OR）。OR用于说
明暴露某因素引起疾病或死亡的危险度大小。
P (1) /[1 P (1)] OR P (0) /[1 P (0)]
（9）
对式（9）两边取自然对数得：
因素（自变量）的取值有密切关系。 1、若 j 为正值， x j 增加使OR增大，x j 是 危险因素； 若 j 为负值， x j 增加使OR减少， x j 是保护 因素。
2、当暴露因素X为二水平时（X取0，1），
logistic 回归模型中X的系数
j
就是暴露与
非暴露优势比的对数值。
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如果暴露时X=a ,非暴露时X=b , 则：
P( y 1 | x) exp( 0 1 x1 2 x2 .... p x p ) 1 exp( 0 1 x1 2 x2 .... p x p )
（4） （5）
Q( y 0 | x )
1 1 exp( 0 1 x1 2 x2 .... p x p )
会使Y的预报值超出0,1之外，给结果解释带来困
难。
Logistic回归模型的应用
Logistic回归模型在流行病学、临床医学研究中有
广泛应用。只要事件的结局能表达为发生或不发生
两项分类的资料，一般都能用该模型进行分析。
常用于病因分析、预后因素分析、鉴别诊断、评 价治疗措施的好坏等等。 如：非传染性疾病的病因研究资料；影响治疗 效果的因素；影响恶性肿瘤复发或远处转移的因素； 药物剂量与动物死亡的关系，等等。
ln(OR)
OR e

（五） 的统计学意义
OR exp( ) e

ln(OR)
由上式可见， 的意义是：在其他自变量固定不 变的情况下，自变量的暴露水平每改变一个测量
单位所引起的优势比（OR）自然对数的改变量，
或引起优势比为增加前的exp( )倍。
j
与优势比OR有密切关系，同时与暴露
P1 /(1 P1 ) ln(OR ) ln( ) log itP1 log itP0 P0 /(1 P0 ) ( a ) ( b) (a b )
此时， 不能直接解释为优势比的对数值，
因为此时X改变“一个单位”没有实际意义。
比如：年龄从50岁变到51岁。
第一节 多元 logistic 回归模型基本概念
一、模型结构 (一)、 logistic分布函数
e F ( y) y 1 e
y的取值在－∞～＋∞之间，函数值F(y) 在0～1
之间取值，且呈单调上升的S型曲线。可以将这
y
一特征运用到流行病学和临床医学中描述事件发
生的概率与影响因素的关系。
（二） logistic回归模型
利用logistic分布函数的特征来表示在自变量X
的作用下出现阳性结果或阴性性结果的概率。
出现阳性结果的概率记为：
P( y=1|x)，
出现阴性结果的概率为:
Q( y=0|x),
注意：P+Q=1。
当只有一个自变量时，logistic回归模型：
exp( 0 X ) P ( y 1 | x) 1 exp( 0 X )
病因研究的方法
队列研究：
按是否暴露于某因素或不同的暴露水平分组，
观察各组的发病或死亡情况。可以直接计算相对 危险度（RR），说明暴露因素与发病或死亡的联 系强度。
病例－对照研究：
选某病患者做为病例组，以健康人或非该病患 者做为对照组，收集某些因素暴露的情况。
病例－对照研究类型
成组的病例－对照研究
3、当X为等级变量时（0、1、2….)，以最小
或最大等级为参照组，exp( )为增加一个等
级时的优势比， exp( k )为增加K个等级时
的优势比。 4、如果X为连续性变量，如年龄，则将X分
段或变为等级资料再分析。如60～64岁的人 OR为exp(5 )。
比55～59岁的人，有多大的可能性患冠心病，
配比的病例－对照研究
（1：1 ， 1：2 ，1：3，1：4）
计算优势比（Odds ratio, OR) ，说明危险因素 与疾病或死亡联系的强度。
的概率P与未发病的概率（1－P)之比：P/(1-P)，
优势(Odds):指暴露组或非暴露组发病（或死亡） 称为优势(Odds)。
病因研究资料分析方法
单因素分析：传统的经典的分析方法；
似然比检验（likelihiood ratio test）:
G 2 ln( L / L) 2ln L ln L
L 为方程中包含m（m<P）个自变量的对数
似然函数值； L 为增加一个自变量 Xi 后 的对数似然函数值。G 服从自由度为1的 X2 分布。若 L x 2 , 则可以认为在α检验水准下 ,1 有统计学意义， Xi可以引入方程，否则不能 引入方程。
受混杂因素的影响较大，可在设计时控制，或进 行分层分析。如分层较多，需要的样本含量较大， 有时难以做到。 多因素分析：logistic回归模型进行分析。
Logistic回归模型可分为
1、条件Logistic 回归模型
2、非条件Logistic回归模型。
前者适合于配对或配伍设计资料；后者适合于成 组设计资料。 因变量可以是：两项分类、无序多项分类、有序 多项分类等。
2）、Wald检验
ˆ 0 z ˆ SE ( )
3）、计分检验（score test）。
似然比检验最可靠， Wald检验和计分检验
一致。Wald检验未考虑因素的综合作用，当 因素间存在共线性时，所得结果不可靠。
2、logistic回归模型的拟合优度检验
检验logistic回归模型预测的理论频数分布 是否符合实际的理论频数分布。
（7） （8）
记logit(P) ln( P / Q)
log it ( P) 0 x
log it ( P ) 0 1 x1 2 x2 ...... p x p
这就是线性回归方程。 说明：(1) ln( P/Q)称为 logit（P）变换； (2) P/Q称为事件的优势，在流行病学中称 为比值(odds)。 因此，优势的对数值与影响因素之间呈线性关系。
常用的方法： （1）偏差检验（Deviation test）
多元线性回归模型
ˆ Y 0 1 X1 2 X 2 m X m
描述Y 与 X1, X2……Xm之间的线性关系。 Y:连续变量，呈正态分布。 最小二乘法求β 1， β 2„„ β m
Logistic 回归模型
exp( 0 X ) P ( y 1 | x) 1 exp( 0 X )
ln( OR ) ln( P(1) /[1 P(1)] ) log it[ P(1)] log it[ P(0)] P(0) /[1 P(0)]
（10）
P(1)─X取1时，为暴露组 ; P(0)─X取0时，为非暴露组。
log it ( P) 0 x
ln( OR ) log it[ P(1)] log it[ P(0)] (0 1) (0 0)
Logistic 回归模型用于因变量Y为分类的资料，
二项或多项分类的资料，Y也可以是计量资料，但
主要用于 Y为二项分类的资料(0,1资料)。
注意： Y为二项分类的资料不宜用线性回归模型来 进行分析，原因是： (1) 由于Y的取值仅为0或1，不符合正态分布和方
差齐性的假设；
(2) 用线性回归建立的方程来预报二分类资料，
5、当X为多项分类变量时，用1、2、3….k表 示k个不同的分类，分析时转为k-1个指示变 都有自己的系数。如血型、民族、职业、工 种等。 如血型变量X：A、B、AB、O，用1、2、
量或哑变量。每个指示变量都是二分类变量，
3、4分别表示。此时X仅为分类变量，不是
等级变量。
分析时，用D1、 D2、D3 表示血型