解析几何中的最值求法

中学生数理
５ ） 两点的距离之和． 求 Ｂ关 于 直 线 ｙ＝ｚ的 对 称 点 Ｃ（ ５ ， １ ） ， 连 接 ＡＣ， 则 线 段 ＡＣ的 长 度 即为 所 求 ．
三、 图形 法
分析 ： 借助直线到直线的角的正切公式得 ：
ｔ ａ ｎ Ａ ＣＢ
筹 １ ３ ２ ＋ 上 ２ Ｅ 一 ＋ ≤ 、 Ｔ １
２ ０ １ ３年 第 ７期
解 析 几 何 中 的 最 值 求 法
■ 马 英 华
解 析 几 何 中最 值 的 求 法 灵 活 多 样 ， 贯穿各 章节 ， 也 是 高 考 易求 出 ＡＢ Ｏ为 ３ Ｏ 。 ， 此时， ＡＢ 的斜 率 为 ．
ｏ
，
重点考查的范 围， 而考生有时却无从下手． 下 面 就 如 何 找 到 突
工
将 所 求 问 题 用 图 形 示 意 出来 ， 再结合图形求解． 例 ３ 求
ｓｌ ｎ
当且仅 当 ｚ一＿ ＝ － ， 即ｚ 一√ ２ 时取等号．
七、 导 数 法
ａ ￣
—
： Ｎ．
ｃ咖
分析 ： 可将式子看成斜率公式 ， 表 示 点 Ａ（ Ｃ Ｏ Ｓ ａ ， ｓ ｉ ｎ ａ ） 与 点 Ｂ （ ２ ， Ｏ ） 连 线 的斜 率 ． 而 点 Ａ 在单 位 圆 上 ， 可 以画 出单 位 圆 ， 如
图 ３所 示 ．
所 求 最 值 的 函数 表 达 式 比较 复 杂 时 可 以使 用 导 数 研 究 ． 对 于 求 出 函数 关 系式 的题 目， 便 可 以通 过 求 导 研 究 最 值 ， 上 题 在 求 出正 切 值 后 便 可 以求 导数 来 求 最 值 ， 不再赘述． 作者单位 ： 河 南 省 宝 丰 县 第 一 高 级 中学
ａ。 ｏ
～ ＼ ０
’ 、 ’
＿ ～
Ｆ Ｊ
交 于 Ｐ， Ｑ两点 ， 且 Ｏ Ｐ上 Ｏ Ｑ（ ０为原 点） ， 若 椭 圆 的 离 心 率 在
图 １
，
］ 上 变 化 日 寸 ， 求 ， 椭 圆 长 轴 的 取 值 Ｐ Ｆ ｆ ：Ｉ Ｐ Ｍ｛ 一 ÷．
图 ３
为另一个几何量 ， 从 而较 容 易 地 求 出最 值 的方 法 ．
～
２
．
．
２
例 １ Ｐ为 椭 圆 ＋ 一１ 上 的动 点 ， 已 知 Ａ（ ２ ， １ ） ， Ｆ 为
右焦点． 求 Ｐ Ａ ｊ ＋÷ Ｉ ＰＦ 的最小值．
分析 ： 如图 １ ， 作 Ｐ Ｍ 垂直 右准线 于 Ｍ ， 由 椭 圆 第 二 定 义
ＡＢ 为 切 线 时 ， 并 且 斜 率 为 正 数 时斜 率 最 大 ， 由 图 形 很 容
ｙ ｙ ｚ 一０ ， 由韦达定理代人并化简得 口 ＋６ 一２ ａ 。 ｂ ．
，
｛ Ｐ Ａ ｌ ＋ 号ｌ Ｐ Ｆ ｌ
Ｉ Ｐ Ａ Ｉ ＋ ｌ Ｐ Ｍ Ｉ ≥ ｌ ＡＭ Ｉ一 ．
所 以 ＋ （ ÷ ） 。 （ ÷ ） ．
再利用ｆ 鱼１ 一１ 一 ｚ ，
２ ｃ ｏ ｓ ａ ＋４ ＋２ ｓ ｉ ｎ ａ 一７ ＋？ ， ｆ ｆ ｓ ｉ ｎ （ ａ ＋４ ５ 。 ） ≤７ ＋ ．
五、 函数 法
一
将 所 求 最值 中含 有 变 量 的 问 题 看 成 函 数 ， 借 助 函 数 求 解
／ 、 ●
最 值 的方 法 求 出 最值 ． 例 ５ 椭 圆 ＋ 一 １ （ 口 ＞ ＞ｏ ） 与 直 线 ｚ＋ｙ 一１ — ０相
破点谈一下个人的一些观点．
一
、
定 义 法
四、 参 数 法
、
力
利 用 圆锥 曲线 的定 义 ， 将 所 求 最 值 中 的 某 个 几 何 量 转 化
将 所 求 量 设 为 恰 当 的参 数 ， 从 而减 少量 的个 数 ， 并 能 轻 松 化 简求解 ．
例 ４ 已知 （ ｚ一 ３ ） ＋ （ ｚ一
可知 ： ．
４ ） 一４ ， 求－ ｚ ＋ 的 最 大 值 ． 分析 ： 若 将 ｚ或 消 去 ， 则 式 子 会 很 复杂 ， 不易求出 ， 这 时
可 以利 用 参 数 ： 设 ３ ７ —３ ＋２ ｃ ｏ ｓ ａ ， 一 ４ ＋２ ｓ ｉ ｎ ａ ， 则 ＋ ｙ ＝３ ＋
可 得 ．
二、 转 化 法 将所求问题适 当转化 ， 换 成另 一个 问题 ， 达 到 较 容 易 的
求解 ．
例
２
４ ＼
将 它 看 成 关 于 ｅ ２ 的 函 胀求 出 ｎ ∈ ， ］ ， 所 以
２ ａ ∈ｌ ， １ ．
六、 不 等 式 法 将 所 求 最 值 化 简 到一 定 程 度利 用 不 等 式 的方 法 求 解 ． 例 ６ 已知 Ａ（ Ｏ ， １ ） ， Ｂ（ ０ ， ２ ） ， Ｃ（ ｘ， Ｏ ） （ ｚ ＞Ｏ ） ， 当３ ２ 为 何 值 时， ＡＣ Ｂ最 大 ？
所以了 ５ ｌ Ｐ Ｆ ｌ — ｌ Ｐ Ｍ
—
分析： 设 Ｐ（ ｘ ， Ｙ ） ， Ｑ（ ｘ ｚ ， ｙ ｚ ） ， 由 直线 方 程 和 椭 圆方 程 得
匕 （ 口 ＋ｂ 。 ） ｚ 。 一２ ａ ｚ＋ ｎ 一ａ ｂ 一 ０ ， Ｏ Ｐ上 Ｏ Ｑ， 可得 ３ ２ １ ｚ ｚ ＋ 丫
￣ ／ （ 一 １ ） ＋（ 一５ ） 的 最 小 值 ．
分析 ： 直 接 求 函 数 的 最 小 值 较
难， 故将问题转 化 ， 因 为 其 形 式 和 两
／ 。 ０
图 ２
点间的距 离 公式 吻合 ， 便 转 化 为 点
（ ｚ， ｚ） 到Ａ（ 一３， ３ ） 的距 离 与 到 Ｂ（ １ ，