第五章多元函数积分教学教案

(A) I2d1rd1rzdz
0
0
0
(B) I2d1rd1rzdz
0
0
r
(C) I2d1dz1rdr
0
0r
(D)
I
1
d
z2d
z
zrdr
00
0
11
三重积分
2.曲z面 x2y2包含在 x2y2 圆 2x内 柱部 的那部分面 S积( )
( A )3( B )2( C )5( D )2 2
6、2d4d1r4sin dr
0
0
0
2 (1 2)
52
返回
22
三重积分
7. 直角坐标：
1
1x2
4x2y2
I dx dy f(x,y,z)dz
1 1x2
3(x2y2)
柱面坐标：
2 1
4r2
I d dr
f(rco ,rssin ,z)rdz
解 被积 z的 函 ,截 函 数 D (z ) 面 为 数 仅 圆 为
x2 y2 1z2,故采用＂截面法＂．
ezdv2 ezdv
上
1
20[
dxd]yezdz
D(z)
2 1(1z2)ezdz2. 0
10
三、练习题
一、选择题
三重积分
1. 计 算I zd,v其 中 为 z2x 2y2,z1
围成的立体,则正确的解法为( )和( ).
{x ,(y ,z )(x ,y ) D z,c 1 z c 2 }.
f(x,y,z)d vc2d z f(x,y,z)d xd y.
c1
D z
返回
6
三重积分
(2) 柱面坐标
x r cos ,
变换公式
y
r sin ,
dvrdrddz,
z Байду номын сангаас .
f(x, y,z)dv
f(rco ,rssin ,z)rdrddz.
16
四、解答 一 选择题
三重积分
(2)S 1(zx)2(zy)2dxd y
Dxy
Dxy
二、计算题
2dxdy 2 返回
1. 利用被积 x是 函奇 数函 ,积数 分区域关于
坐标面都,故 对积 称分0,为
xdxdyd0z.
返回
17
三重积分
2、xoy平面上曲线 y2 2x 绕 x轴旋转而成 的曲面为 y2z2 2x.
12
三重积分
二、计算下列三重积分:
1 球体 :x2y2z21,求三重积分
xdxdydz.
2 (y2z2)d,v其 中 是x由 o平 y 面上曲线
y2 2x绕x轴旋转而成的曲面面x与 5平 所围成的区域 .
3 设I (ey2siny3z2taxn3)dv,求 I .
x1 y1 z1
13
三重积分
椭 圆y 抛 2z2 物 2x与 面平 x5的 面交 线
y2 z2 10 x5 将向yoz面上投影得投影 Dy区 z: 域
y2 z2 10
返回
18
三重积分
(y2z2)d v
d
5
yd y2z2
z y2z2d
x
D yz
2
2d
0
0
105r2
r24rdr
250
3
返回
19
三重积分
3. I (ey2siny3z2tan x3)dv,
x1 y1 z1
由于被 siyn 积 3是 y的 函奇 数t函 axn 是 x 数 的， 奇
函数,积分区域关于三个面坐都标对称，
则 I(ey2siny3z2tanx3)dv 3 dv
x1
x 1
y1
y 1
z1
z 1
323 24.
返回
20
三重积分
二、典型例题
例1
三重积分
z 1x2 y2 所围成．
解 关 y面 o 于 ,f z ( x ,对 y ,z ) x 为 x 的 称
函,所 数以有 xd0 v.
(xz)dvzdv利用球面坐标
2d 4d1 rco sr2sin dr .
0
0
0
8
9
三重积分
例2 计算 ezd， v :x2y2z21.
4. zx2 y2 与 z 4 围成立体的体积为
4
V
dv
dxdy dz x2y2
Dx y
其中 D x:y x2y24,
2d2rd4rd z8.
0
0
r2
返回
21
三重积分
5 、 2 d 4sid n c1 ofx(rsin c o, s
0
0
0
rsin sin ,rco )sr2dr
返回
z
M
S
0
x
C (Advanced Mathematics)
P
y
三重积分
第五章 多元函数积分学—重积分
习题课(二)
二重积分的应用 三重积分
2
三重积分
一、复习
二重积分的应用 (求体积,曲面面积 )
三 重 积 分
定义,几 何 意 义
计算的基本方法
恰当选择坐标系 (直角 ,柱面 ,球面 )
计
算技巧
恰当选择投影法
, 截面法
利用对称性奇偶性简化 计算
3
三重积分
三重积分
2、三重积分的定义
n
f
(x,
y,
z)dv
lim
0 i1
f(i,i,i)vi.
3、三重积分的几何意义
当f(x,y,z)1时 ,f dv V 表示空间区域
的体积．
4、三重积分的性质
类似于二重积分的性质.
返回 5
三重积分
返回 7
三重积分
(3) 球面坐标
变 x r sin cos ,
换 公 式
y
r
s
in
s
in
,
z r cos .
dvr2sin drdd,
f(x,y,z)dxdydz
f (r s ic n o ,r ss isn i,r n c o ) r 2 s s id r n d d .
返回 8
直角坐标、柱面坐标与球面坐标系下的三 次积分,其中
:x 2 y 2 z2 4 ,z3 (x 2 y 2 ).
15
三重积分
8 求 zdx, d由 yd锥 x z2y2面 z2与
平面z h围成的闭区 . 域
9 求Izx2y2dxd,yd由 z 圆柱面
x2y22x与平 z0面 ,za,y0在第一卦 所围成的闭区域 .
4 求 zx2 y2与 z 4 围成立体的体积.
5 设 是由 z x2 y2和 z 1所围成,将
积分 f(x, y,z)dxdyd化z 为球面坐标系下
的累次积分.
14
三重积分
6 计算三重积分
I1dx1x2dy1x2y2(x2y2z2)d.z
1 1x2
x2y2
7 将三重积分 If(x,y,z)dv分别化为
5、三重积分的计算
(1) 直角坐标
: z 1 ( x , y ) z z 2 ( x , y ) y 1 ( x ; ) y y 2 ( x ) a x ; b .
f(x ,y ,z)d vb d xy 2 (x )d yz 2 (x ,y )f(x ,y ,z)d z .
a y 1 (x ) z 1 (x ,y )