数列极限的性质

定理(保序性) 设 lim f ( x) A, lim g( x) B.
x x0
x x0
若 0,x U 0( x0 ,),有f ( x) g( x),则A B.
定理1.4.2 若 lim f ( x) A,且A 0(或A 0), x x0
则 0,当x U 0( x0 ,)时, f ( x) 0(或f ( x) 0).
数列极限的性质
1.有界性 定理“收敛的数列必定有界”
注意：有界性是数列收敛的必要条件. 如：{(1)n1}发散. 推论：无界数列必定发散.
2.唯一性 定理“每个收敛的数列只有一个极限”
3.保号性定理
若 lim n
xn
A, 且A
0(或A
0), 则正整数N
0,
当n N时,都有xn 0(或xn 0).
2)给出了函数f (x)在x0附近的近似表达式
f (x) A,误差为(x).
2. 无穷大 定义：“若lim f (x) (或 )，
x
则称f(x)在这种趋向下为无穷大”
注意 无穷大是变量,不能与很大的数混淆;
3. 无穷小与无穷大的关系
定理 在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小; 恒不为零的无穷小的倒数为无穷大. 意义 关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷小的讨论.
练习：P20 1，2
作业：P20 3，4
1、定义：自变量各种趋向下函数极限的定义； 2、性质：唯一性、局部有界性、局部保号性、不等式性质、
左右极限、无穷小的性质:
3、计算：用定义、极限运算法则（1.5）、极限存在准则（1.6）
两个重要极限（1.6）、等价无穷小替换、左右极限、 罗比达法则；常用方法：（例1.5.1~1.5.9）。。。
注意 1)称函数为无穷小，必须指明自变量的趋向； 2)无穷小是变量,不能与很小的数混淆; 3)零是可以作为无穷小的唯一的数.
定理：无穷小与函数极限的关系:
定理 1.4.4 lim f ( x) A f ( x) A ( x), x x0
其中( x)是当 x x0时的无穷小.
意义： 1)将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷小);
x
lim f(x)=A
xx0
0,
0,当0
x x0
时,
f (x) A
*例1 证明 lim(2x 1) 0 x1
证明 对 0 要使 | f (x) 1| | (2x 1) 1|
只要2 | x 1| ，即| x 1|
2
故取
2
则，当0<|x-1|<时，恒有|(2x-1)-1|< 得证 .
故f (x)在0点连续。
y x2 1 x
例2 验证 lim x 不存在.
y
x0 x
1
证 lim x lim x x0 x x0 x
o
x
1
lim (1) 1 x 0
lim x lim x lim 1 1
x x x0
x0
x 0
左右极限存在但不相等, lim f ( x) 不存在. x0
过程的一个时刻,在此时刻以后 f ( x)有界”. 例如：“若 lim f (x) A,则存在常数M>0，及 0,
xx0
当x U 0 (x0, )时,有 | f (x) | M " （取 1可证）
3、局部保号性
定理1.4.2 若 lim f ( x) A,且A 0(或A 0), x x0
f (x)
A
f (x0 0)
f (x0 0)
A”
例1：设
f (x)
1 x,
x
2
1,
x0 x0
y y 1 x
证明lim f ( x) 1.
x0
1
解： lim f (x) 1，lim f (x) 1
o
x0
x0
即：f(0- )=f(0+ )=1,lim f (x) 1 x0
而lim f (x) 1 （f 0）， x0
1、定义：自变量各种趋向下函数极限的定义； 2、性质：唯一性、局部有界性、局部保号性、不等式性质、
左右极限、无穷小的性质:
3、计算：用定义、极限运算法则（1.5）、极限存在准则（1.6）
两个重要极限（1.6）、等价无穷小替换、左右极限、 罗比达法则；常用方法：（例1.5.1~1.5.9）。。。
4、应用：水平渐近线、铅直渐近线判断；几何意义；微积分的
A 2
|.
三、无穷小与无穷大
1.无穷小
定义：“若lim f (x) 0， x 则称f(x)在这种趋向下是无穷小” 例如:
lim sin x 0, 函数sin x是当x 0时的无穷小. x0
lim 1 0, x x
函数 1 是当x 时的无穷小. x
lim (1)n 0, n n
数列{(1)n }是当n 时的无穷小. n
Байду номын сангаас
3、自变量趋向无穷大时函数的极限
定义1.4.3:“设f(x)当|x|大于某一正数时有定义，
如果当|x|无限增大时，f(x) →A，则 lim f (x) A ” x
lim sin x = 0 x x
" X "定义 lim f ( x) A x
0,X 0,使当 x X时,恒有 f ( x) A .
推论：若数列{xn}从某项起有xn 0(或xn 0)，
且 lim n
xn
A, 那么A
0(或A
0).
1.4 函数极限
重点：1. 自变量各种趋向下函数极限的定义；
2. 唯一性、局部有界性、局部保号性； 3. 无穷小、无穷大的定义； 4. 无穷小与极限的关系； 5. 水平渐近线、铅直渐近线；
难点：函数极限的精确定义及证明。
理论基础；其它。。。
一、各种趋向下函数的极限
1.（定义 1.4.2） 设f (x)在U 0 (x0 )有定义，
lim f(x)=A
xx0
0,
0,当0
x x0
时,
f (x) A
|f(x)－A| ＜ ε
y
A
A
A
y f (x)
0 | x x0 | ( )
o
x0 x0 x0
则 0,当x U 0( x0 ,)时, f ( x) 0(或f ( x) 0).
定理1.4.3
若当x U 0 (x0, )时, f (x) 0(或f (x) 0),
且 lim f (x) A,则A 0(或A 0). 如：lim 1 A 0
xx0
x x
4、不等式性质（局部）（P21 TH1.5.6）
四、应用
定义 : 如果lim f ( x) c,则直线 y c是函数y f ( x) x
的图形的水平渐近线. lim x 1 1 x 2x 1 2
定义 : 如果 lim x x0
f ( x) ,则直线x
x0是函数y
f (x)
的图形的铅直渐近线.
例 lim 1 ? ? x? x 1 即：lim 1 x1 x 1
2.单侧极限
左极限 “设y=f(x)在（a，x0）内有定义，如果当x从左侧 无限接近于x0时，f(x) →A，则
lim f (x) A 或
xx0 0
f (x0 0) A”
( xx0 )
右极限“ lim f (x) A 或 xx0 0
f (x0 0) A”
( xx0 )
定理1.4.1
“lim xx0
几何解释:
y sin x x
A
X
X
两种情形:
lim f (x) A lim f (x) A
x
x
定理: lim f (x) A lim f ( x) A且 lim f ( x) A.
x
x
x
二、函数极限的性质 P18
1. 唯一性定理 “若lim f ( x)存在,则极限唯一”
2. 有界性定理 “若在某个过程下, f ( x)有极限,则存在
4、应用：水平渐近线、铅直渐近线判断；几何意义；微积分的
理论基础；其它。。。
证明：设 lim f(x)=A>0,取 A >0，
xx0
2
则 0,当x U 0 (x0, )时,有
|f(x)-A|< A 2
f(x)>A- A = A >0，得证.且有推论： 22
推论： 若 lim f (x) A, ( A 0), x x0
则
0,当x U 0 (x0, )时,|
f
(x) ||