非线性动力学(中科大课件)

2020/11/24
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太阳系是否稳定？
——N 体稳定性问题
微扰是否收敛？ 许多科学家宣称太阳系是稳定的，但并未给出其证
明。如 Dirichlet。 奥斯卡奖1890年授予 Poincare. 他证明了所有微扰
级数是发散的，因而研究稳定性必须使用新的方 法 ——定性方法：几何拓扑，微分拓扑。 力学的基本问题及基本方法必须彻底改变。 求解析 解并不解决问题。
非线性动力学
第一章
汪秉宏
中国科学技术大学
近代物理系
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第一章 引言
§1 Newton 力学及其发展 §2 非线性动力学的研究对象
§3 非线性动力系统模型 的建立
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§1 Newton 力学及其发展
力学的定性研究时期 （公元前－17世纪中叶） Archimedes， Galileo， Kepler 定量研究时期 （ 17世纪中叶－19世纪末） Newton，Lagrange, Hamilton
函数
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19世纪 Hamilton 方程
引进广义动量
Hamilton
ห้องสมุดไป่ตู้
函数
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Lagrange, Hamilton方 程均与Newton方程等价
力学的基本问题、基本方 法未变
结论：二百多年来牛顿力 学无实质性进展
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19世纪末、20世纪初发生的 对于牛顿力学的三大变革
非线性动力系统的定义： 一个动力系统，若其基本力学量的运动由非 线性方程描述，则称作非线性动力学系统。
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非线性动力系统
若一个动力系统由方程
描述，其中 也可以用系综概率密度 ρ(x) 的运动描述。
Liuvill 方程：是线性的。 两个方程等价。但两者
的基本力学量不同。
若以x为基本力学量，F为非线性时，则系统为非线
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§3 非线性动力系统模型的建立
实际系统往往包含巨大数目自由度 s～1023， 从中得出基本力学量及其遵循的方程
微观描述
μ为控制参量，表示外界的影响
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亚宏观描述
引进集体运动变量： 忽略连续系统运动的涨落，可由微观描 述得到
涨落耗散定理
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绝热消除法： 中心流形→ 惯性流形
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数值方法：计算机模拟
大大拓宽了力学的研究领域 发现了许多新的力学现象。如：混沌、
分岔、突变、结构稳定性转变
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§2 非线性动力学的研究对象
——非线性动力系统及各种特征系统的现象
a) 什么是非线性动力系统？
线性方程：量φ满足的方程 L(φ)=0
若 （i） φ是线性空间中一个元素（矢量） （ii） L(aφ＋bψ)=a • L(φ) ＋b • L(ψ)
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新力学的理论特点: 力学的基本问题
研究系统在相空间中的轨迹的几何性质。即： 研究相轨图(phase portrait)
例如：是否周期解？（用微扰法不能回答这 一问题） 给出级数展开式：
如何证明?
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新力学的理论特点
基本方法：
定性方法： 微分拓扑大范围分析 代数与群论
例： 考虑映射
设 f(x)>x 则xn+1> xn
lim
n
xn
即使 f 是非线性的，没有任何不同于
线性系统的有趣特征
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当 f(x)=r x(1-x) 时出现一系列 分岔、混沌等非线性现象。
非线性科学并不研究对于线性 关系的偏离，而必须研究质 的变化。
已知的特征非线性现象：
混沌、分岔、突变、自组织现象、耗 散结构，分形特征
性。
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考虑一对一变换
则非线性方程 有可能化为线性的
习题1：求G的显示表达式 有些系统，其相空间不是线性空间，这类系统必定
是非线性的。例如：刚体动力学方程，相空间为SO3 流形。称为运动(Kinetic)非线性。
F的非线性称为力学非线性。
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b) 什么是特征非线性现象？
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（17世纪）Newton方程：
基本问题：已知 的函数形式， 求上述方 程组的解析表达式。数学家可证明其存在性 及唯一性。
基本方法－微扰论：
存在收敛问题。在天体力学中取得很大成功， 能够精确预言天体的运动。
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18世纪： Lagrange 方程
Lagrange
涨落项
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宏观描述 在长时间后，绝大多数集体运动模式
由于耗散而衰减掉，可以考虑剩余运动模式。 设长时间后只剩下 x1 ,…, xm 的运动，则在 t→∞ 时有
Haken称之为随动原理(slaving principle). 代入前一方程，
消去 xj , j=m+1,…,n 得
xj , j=1,…,m 称作序参量（基本力学量）