导数概念的引入方式探索

导数概念的引入方式探索

作者：赵金荣

来源：《科学与财富》2017年第36期

摘要：数学本身是人类抽象思维的产物，它的抽象性决定了数学本身就是一种文化，是人类璀璨文明的重要组成部分。文章从导数概念的历史文化背景引入，展现了从具体到抽象、归纳概括的数学方法，从两个方面展示了在引入数学概念的同时进行数学文化教育的一些感触。数学文化的特性是传统性、渗透性、哲学性、美学性和自我完善性等的统一，在数学概念教授的同时，加入数学文化教育，既能帮助学生形成正确的数学观，又能提高学生的数学的整体素质。

关键词：导数；瞬时速度；极限

欧拉曾经说过：“今天人们所知道的数的性质，几乎都是由观察发现的，并且早在用严格确认其真实性之前就被发现了。”因此，观察人们认识世界的一个重要途径，要了解和熟悉周围环境首先靠观察，要探索和发现大自然的奥秘，同样也需要通过观察进行。而数学知识正是人类通过观察周围的世界，发现规律后，用抽象的数学概念表示出来，然后再用于指导生产和科学研究。微积分学的重要概念之一就是导数与微分，这些概念经过几个世纪的数学巨匠的雕琢，已经成长为数学界一棵枝繁叶茂的参天大树。但是，随着现代数学内容的不断发展，这些先进的思想也逐渐渗透进入了经典微积分的精髓之中，从而给微积分的研究注入了勃勃生机。在给学生讲解微积分的重要概念之一-导数时，使用恰当的引入方式有助于帮助学生对这个概念的理解，从而接受，然后使用导数解决问题.

在这篇文章中，会就如何引入和讲解导数的概念以及如何求函数的导数进行一些探索。在引入导数概念之前，先从给学生介绍促使微积分产生的四大类问题入手，也就是，求做变速运动的瞬时速度的问题；求曲线的切线问题，求函数的最值问题和求曲线的长度等问题。这些问题的产生是社会的发展给数学提出的需要急需解决的问题。为了解决这些问题，十七世纪的很多著名的数学家、天文学、物理学家等做了大量研究，提出了许多很有有用的理论。在这些大家们研究结果的基础上，在十七世纪下半叶，英国伟大的物理学家和数学家牛顿，德国的政治家、数学家莱布尼茨分别独立地从不同的角度创立了微积分，使得问题得以解决。牛顿的微积分偏重于运动学，莱布尼茨则偏重于几何。尽管数学界因为谁首先创建微积分争论了近百年，但我们一般会认为是这两位大家各自独立地创立了微积分。接下来就需要使用典型的问题重现引入导数的概念。使用的引例一般会根据学生所学专业的不同略有改变，不过使用频率最大的是作变速直线运动的瞬时速度问题和如何求得曲线切线的问题。

一、导数概念的引例之一从分折物理学上大家熟知的瞬时速度计算方法人手，讲清导数的定义。以自由落体运动为例，使用物理给出的在忽略空气阻力的情况下，自由落体物体的运

动规律，求得物体下落2秒时的速度。在忽略空气阻力的情况下，自由落体的运动规律表示为h=1/2gt2。要得到当t=2秒时物体的瞬时速度，在引入导数之前，很难做到，但是我们可以求得一个小的时间段内物体的平均速度近似代替，也就是 v=△s/△t=[1/2g（2+△t）2-1/2g（2）2]/△t。可以看到，当取得时间间隔△t越小，得到的平均速度v就越接近2秒时的速度。所以，根据极限的定义，可以规定：当△t→0时，平均速度v的极限就t=2秒时的瞬时速度，记作 v=lim△t→0 v= lim△t→0（△s/△t）= lim△t→0 （[1/2g（2+△t）2-1/2g（2）2]/△t）.在这个分析过程中，我们得到了一个特殊的极限lim△t→0 （△s/△t）。

二、导数概念引例之二—求曲线y=f（x）上一点（x0，f（x0））的切线方程。我们知道要得到直线的方程，仅知道直线上的一个点是不够的，还需要知道直线的斜率，才能够使用直线的点斜式方程得到切线的方程。要得到曲线上点（x0，f（x0））的切线的斜率，直接方法不存在，但可以得到一个近似值，也就是过（x0，f（x0））点以及这条曲线上（x0，f

（x0））点附近另一个点（x0+△x，f（x0+△x））的割线的斜率△y/△x。要使得这个近似值的精确度不断增加，可以使得△x不断减小，也就是使得（x0+△x，f（x0+△x））不断沿着曲线向（x0，f（x0））不断接近。所以，可以推测出，当△x→0时，△y/△x与切线的斜率k 限接近，所以把k定义为△y/△x当△x→0时的极限值。

两个引例得到了具有共同特征的极限：函数的增量与自变量增量的比值当自变量增量趋向零时的极限。这样的极限在很多情况下存在，具有广泛的代表性。这类极限，由于有着广泛的代表性和实际意义，所以给这个极限一个名字—导数，由此，得到导数的定义。得到了定义后，可以在使用大家熟悉的函数的导数的求取反过来加以证明。由此，完成了从具体到抽象，又从抽象到具体的循环。这个过程不但利于学生理解导数的概念，同时又让学生在这些引例的推导过程中体会了微积分创始人的思维过程，同时又培养了学生的抽象逻辑思维能力，以及使用导数解决具体问题的分析能力。在这个过程中，还渗透了数学文化，让学生了解数学其实并不晦涩难懂，每个数学理论的给出都有其实际意义。

意大利物理学家伽利略曾经说过：数学是上帝用来描述宇宙的文字。作为基础学科的基础学科，数学在科学研究中的工具作用，大家都有目共睹。由此，数学课的教学在教育中的地位是其他学科所不能比拟的。但是在数学知识的传授过程中，其文化价值，很难通过文学、艺术的形式展示给出来，所以，历来，传统的数学教学，尤其是高等数学都以抽象、晦涩难懂的形象出现，从而让人望而生畏。这种做法违背了数学的教育目的。所以，在数学概念的教授过程中，有意识地把抽象的内容与文化进行融合，把抽象内容的学习变得有趣，接地气，从而消除学生在学习过程中的畏难情绪，应该被数学教育者关注。■

参考文献

[1] Calculus，James. Stewart，.7ed.Cengage，2012.

[2] 张景斌.中学数学教学教程[M]。北京；科学出版社，2000：12.