椭圆课件 PPT

e
c a
(0 e 1)
长轴长 | A A | 2a,短轴长 | B B | 2b
12
12
e

c a
(0 e 1)
| MF | a ex ,| MF | a ex
1
0
2
0
| MF1 | a ey0,| MF2 | a ey0
练一练
已知椭圆的方程为
，则a=__5_,b=__4__,
x2 y2 1(a b 0) a2 b2
y2 x2 1(a b 0)
a2 b2
准线 对称轴 长短轴 离心率 焦半径
x a2 c
关于x轴、y轴、原点对称
a2 y
c 关于x轴、y轴、原点对称
长轴长 | A A | 2a,短轴长 | B B | 2b
12
12
② 设点：设p(x,y)是椭圆上的任意一点， ∵F1F2=2c，则F1（-c,o）, F2（c,o）;
③根据条件PF1+PF2=2a得
(x c)2 y2 (x c)2 y2 2a
(1) ③ 化简：（方法一：两边平方）
④ （a2-c2）x2+a2y2=a2(a2-c2)
问①能否美化结论的形象？
通过实践画一画，我们了解了椭圆图形， 那么椭圆的标准方程及其图像又是怎样的呢？
焦点在x轴上：
焦点在y轴上：
注意！
对于 Ax2 By2 C ，只要A、B、C同号
就是椭圆方程，可化为
x2
y2

1
C
B
A
A
椭圆Biblioteka Baidu程推导
① 建立适当的直角坐标系：
以直线F1F2为X轴，线段F1F2垂直平分线为y轴，建立如图所示的 坐标系。
两边取倒数化简得
（x c)2 y2 (x c)2 y2 2xc （1）
a
（x c)2 y2
xc
（1）+（2）得：
= a +a
（3）
对（3）两边平方可得椭圆的标准方程。
几何性质
椭圆方程
图形特征
x2 y2 1(a b 0)
a2 b2
B 2
M(x , y )
交于A、B两点，为中点，M为AB中点，OM的斜率为0.25，椭圆的
短轴长为2，求椭圆方程。
解：由题意，设椭圆方程为
x2 a2
y2
1，
x y 1 0

由
x2 a2

y2
1
，
得 1 a2 x2 2a2x 0 ，
xM

x1
x2 2
1a2 a2
,
yM
1xM
1 1a2
,
kOM
yM xM

1 a2
1,a2 4
4,
x2 y2 1 4
总结
一、 |MF1|+|MF2|>|F1F2| 椭圆
|MF1|+|MF2|=|F1F2| 线段 |MF1|+|MF2|<|F1F2| 不存在
二、 无论焦点在x轴还是y轴上，椭圆的离
心率总是小于1，焦距都为2c。
x2 a2

y2 a2 5
1
.
由点(－3,2)在椭圆上知 9 4 1，所以 a ＝2 15.所以所
a2 a2 5
求椭圆的标准方程为 x2 y2 1
15 10
求解标准方程的基本方法：
四、与直线相结合的问题，求椭圆的标准方程。
例： 已知中心在原点，焦点在轴上的椭圆与直线 x+y-1=0线
椭圆及标准方程
主讲人:刘淑芬
想一想
生活中或是
自然界中有哪些 常见的椭圆图形？
观察以下几组图片
我们了解了生活中的椭圆后，再进一步学习数 学中的椭圆及其标准方程
椭圆
定义
标准方程 求解方程
椭圆定义：
第一定义：
平面内于两定点F1、F2距离之和等于 常数（大于F1F2 ）的点的轨迹叫做椭圆。 这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距 离叫做椭圆的焦距。
椭圆第二定义（准线定义）
平面上到定点距离与到定直线间距离之比 为常数的点的集合（定点不在定直线上，该 常数为小于1的正数）（该定点为椭圆的焦点， 该直线称为椭圆的准线）。
动手实践 画一画
1、取一条长度一致的细绳（设为2a>0）. 2、两端固定在铺在桌面上的白纸上的两 定点F1、F2处，(|F1F2|<2a). 3、笔尖将细绳拉紧，在纸上慢慢移动。 4、看看能得到什么样的图形？
c=___3 _,焦点坐标为：_____3_，_0___,焦距___6________。
求解标准方程的基本方法：
一、已知椭圆焦点的位置，求椭圆的标准方程。
例1：已知椭圆的焦点是F1(0，－1)、F2(0,1)，P 是椭圆上一点，并且PF1＋PF2＝2F1F2，求椭 圆的标准方程。
解：由PF1＋PF2＝2F1F2＝2×2＝4，得 2a＝4. 又c＝1，所以b2＝3.
00
A 1
F 1
O
F 2
B 1
A 2
x
范围
| x | a,| y | b
几何 性质
顶点
(a,0), (0,b)
焦点
(c,0)
y2 x2 1(a b 0)
a2 b2
A 2
FM
o2
B
1F
B2
x
1
A
1
x b，y a
b，0，0， a
0， c
续表
椭圆方程
三、 无论焦点在x轴还是y轴上，椭圆的离
心率总是小于1，焦距都为2c。
课后习题
配套练习：第一课时
所以椭圆的标准方程是 y2 x 2 1 43
求解标准方程的基本方法：
二、未知椭圆焦点的位置，求椭圆的标准方程。
例：1. 椭圆的一个顶点 A2, 0 为，其长轴长
是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程．
解：（1）当 A2,0 为长轴端点时，a=2，b=1，
椭圆的标准方程为： x 2 y2 1 ；
y
P x
F1 O F2
∵a>c>0,∴a2-c2>0,令a2-c2=b2 则：b2x2+a2x2=a2b2
问②由直线方程的截距式是否可以得到启发？
∴椭圆方程为： x2
a2

y2 b2
1
（法二：分母有理化）对（1）进行分子有理化得：
4xc
2a
(x c)2 y2 (x c)2 y2
41
（2）当A2, 0 为短轴端点时，b=2，a=4，
椭圆的标准方程为：x2 y 2 1 4 16
求解标准方程的基本方法：
三、椭圆的焦点位置由其它方程间接给出，求椭圆的标准方程。
例．求过点(－3,2)且与椭圆 同焦点的椭圆的标准方程．
x2 y2 1 94
有相
解：因为
c 2 ＝9－4＝5，所以设所求椭圆的标准方程为