第5章 随机型时间序列预测方法-思考与练习

第5章 随机型时间序列预测方法

思考与练习（参考答案）

1.写出平稳时间序列的三个基本模型的基本形式及算子表达式。如何求它们的平稳域或可逆域？

解：(1)自回归模型(AR)的基本模型为：

1122n n n p n p n

X X X X ϕϕϕε---=++++

算子表达式为：()p n n B X εΦ=，其中)1()(221p p p B B B B ϕϕϕ----=Φ

令多项式方程()0p λΦ=，求出它的p 个特征根p λλλ,,,21 。若这p 个特征根都在单位圆外，即1,1,2,...,i i p λ>=，则称AR()p 模型是稳定的或平稳的。

(2)移动平均模型(MA)的基本模型为：1122n n n n q n q X εθεθεθε---=---- 算子形式：()n q n X B ε=Θ ，其中q q q B B B B θθθ----=Θ 2211)(

令多项式方程()0q λΘ=为MA()q 模型的特征方程，求出它的q 个特征根。若MA()q 的特征根都在单位圆外，则称此MA()q 模型是可逆的。

(3)自回归移动平均模型(ARMA)的基本模型为:

1111...n n p n p n n q n q X X X ϕϕεθεθε-------=---

算子形式：()()p n q n B X B εΦ=Θ

若特征方程()0λΦ=的所有跟都在单位圆外，那么，

()()p n q n B X B εΦ=Θ就定义一个平稳模型。与此类似，要是过程是可逆的，()0λΘ=的根必须都在单位圆外。

2. 从当前系统的扰动对序列的影响看，AR(p)序列与MA(q)序列有何差异？

答：对于任意的平稳AR()p 模型n X 都可由过去各期的误差来线性表示，而对于可逆的

MA()q 模型，n ε表示为过去各期数据n k X -的线性组合。

3. 把下面各式写成算子表达式：

（1）t t t X X ε+=-15.0，

（2）1217.05.03.0---+++=t t t t t X X X εε， （3）1145.0---=-t t t t X X εε。

答：（1）()p t t B X εΦ=，其中1()10.5B B Φ=-

(2)()()p t q t B X B εΦ=Θ，其中2

2()10.30.5B B B Φ=--,1()10.7B B Θ=+ (3)()()p t q t B X B εΦ=Θ，其中1()1B B Φ=-，1()10.45B B Θ=-

4.判别第3 题中的模型是否满足可逆性和平稳性条件。

答：（1）平稳（2）平稳且可逆（3）不平稳可逆

5.试述三个基本随机型时间序列的自相关函数及偏相关函数的特性。

答：

6.简述对模型进行检验的基本思想。

答：假定}{n X 被估计为ARIMA(,,)p d q 序列，即n q n d p B X B ε)()(Θ=∇Φ，且模型是平

稳的和可逆的，那么n d

p q n X B B ∇ΦΘ=-)()(1ε就应当为白噪声序列。因此若能从样本序列

12,,,N x x x 求得n ε的一段样本值12ˆˆˆ,,,N ε

εε ，便可以对“n ε是白噪声序列”这一命题进行数理统计中的假设检验。如果肯定这一命题，就认为估计模型拟合得较好；否则模型拟合得不好。

7. 设有如下数据：

10，15，19，23，27.5，33，38，43，47.5，53，58.7，63.4，

68.6，74.5，80.4，86.1，91.8，98.5，105.5，112，118.5

已知此数据序列为ARIMA(1,1,0)模型序列，试建立此序列模型，并对第22期数据进行预测。

答：按照5.6节引例解法对数据序列进行处理，最终得到预测模型为：

121.7400.74 5.497n n n n X X X ε---++=，得到第22期预测值为124.7

8. 设有如下AR(2)过程：t t t t X X X ε+-=--215.0，)5.0,0(~N t ε。 （1）写出该过程的Yule-Walke 方程，并由此解出1ρ和2ρ；

（2）求t X 的方差。

答：（1）由t t t t X X X ε+-=--215.0，知1ϕ=1，2ϕ=-0.5 所以Yule-Walke 方程为：

112110.50.5

ρρρρ=-⎧⎨

=-⎩，则有123ρ=，21

6ρ= （2）由AR(2)模型参数矩估计，得2εσ0ˆγ=11ˆˆ(1ϕ

ρ-22ˆˆ)ϕρ-，2εσ=0.5 0ˆγ=

2

1122ˆˆˆˆ(1)εσϕ

ρϕρ--=1.2 9. 以下是三个序列的自相关和偏相关函数，试对它们各自识别出一个模型。

答：序列1为AR(1)模型，序列2为MA(1)模型，序列3为MA(2)模型（参考5.3.2节模型识别）。

10. 试判别下列时间序列的类型。

答：第一个为AR(1)模型。

第二个为MA(2)模型。

第三个为AR(1)模型。

第四个为AR(2)模型。

第五个为MA(2)模型。

第六个为白噪声序列。

11.某市1995-2003 年各月的工业生产总值表如下，试对1995-2002 年数据建模，2003 年的数据留做检验模型的预测结果。提示：首先做出工业生产总值的时序图，通过时序图判断数据是否具有明显的周期性或平稳性。

表某市1995-2003 年各月的工业生产总值