数值分析 第二章 插值

lk1(xk ) lk1(xk1)=0 lk (xk1) lk (xk1)=0 lk1(xk1) lk1(xk ) 0
注：
（1）Ln (x) 次数 n 。
（2）记 n1(x) (x x0 )L (x ，xk )L (x xn )
则 ， ' n1
( xk
)
(
xk
x0 )L
( xk
xk1)(xk
)(x xk1) )(xk1 xk1)
lk
(x)
(x ( xk
xk1)(x xk1) xk1)(xk xk 1)
lk 1 ( x)
(x (xk +1
xk1)(x xk ) xk1)(xk 1 xk
)
lk1(x) : lk (x) : lk1(x) :
lk1(xk1) 1, lk (xk ) 1, lk1(xk1) 1,
因此，Pn(x) 由a0, a1,…, an唯一确定。
定理2.1 对于给定的互异节点 x0 … xn, 满足 插值条件 Pn (xi ) yi , i 0, ... , n 的 n 阶插值 多项式Pn(x)存在且唯一。
插值多项式的构造：
插值多项式的存在唯一性说明，满足插值条件的 多项式存在，并且插值多项式与构造方法无关。
通过解方程组(2.2.2)求得插值多项式 Pn 的 x方 法
并不可取.这是因为当n较大时解方程组的计算量 较大，而且方程组系数矩阵的条件数一般较大 （可能是病态方程组）,当阶数n越高时， 病态越重。
怎样可以不通过求解方程 组而获得插值多项式呢?
在n次多项式空间Pn中找一组合适的基函数
0 x,1 x,使,L n x
yk xk
x xk
lk (x) : lk (xk ) 1, lk (xk1) 0 lk1(x) : lk1(xk1) 1, lk1(xk ) 0
3．抛物插值(n=2)
p2(x) f(x)
已知 yk1 f (xk1), yk f (xk ), yk1 f (xk1)，
f(x)
求 L2 (x),使得L2 (x j ) y j ( j k 1, k, k 1)
0.00538
R%10
利用x0, x1 作为插值节点的实际误差 0.01001
利用x1, x2作为插值节点的实际误差 0.00596
n=2
L2
(x)
(x
(
6
4
4
)( x
)(
6
3
)
3
)
1 2
(x
(
4
6
6
)( x
)(
4
3
)
3
)
1 2
(
x
6
)(
y0, y1,L , yn (yi f (xi )) ,
试构造一个次数不超过n的插值多项式 Ln (x) a0 a1x L anxn, 使之满足插值条件: Ln (xi ) yi (i 0,1,L , n)
定义2.2 若n次多项式 lj (x) ( j 0,1,L , n) 在 n 1个节点
因为x x0, x1,L , xn 时: Pn xi f xi ; 即Rn xi 0
Rn x K x n1(x)
构造(固定 x )
Qt f t Pn t K xn1(t)
t x, x0 , , xi , , xn Qt 0
由Roll定理, 知存在
Q(n1) () f n1 K xn 1! 0
利用g(x)来求f(x) 在y点的近似值，则称y为插值点。
插值函数的类型有很多种,最常用的插值函数 是 代数多项式。
用代数多项式作插值函数的插值称为代数插值，即选取次
数不超过n的多项式 Pn(x) ，使得
Pn xi yi i 0,1,L , n
(2.1.2)
代
❖ 一、插值多项式的存在唯一性？
/ 4
6 /
6
1 2
sin 500
5
L1( 18
)
0.77614
sin 50 = 0.7660444…
R1(x)
f
(2) (x 2!
)
(x
6
)(x
4
),
1 2
sin x
3, 2
5 0.01319 R1( 18 ) 0.00762
利用
x1
4
,
x2
3
计算得：sin 50 0.76008,
x0 x1 L xn 上满足条件
1, l j (xk ) 0,
k j k j ( j, k 0,1,L , n)
则称这 n 1 个 n 次多项式 l0 (x),l1(x),L ,ln (x) 为节点
x0, x1,L , xn上的 n 次插值基函数。
n
由定理2.1得： Ln (x) yklk (x) k 1
Pn x a00 x a11 x L ann x
不同的基函数的选取导致不同的插值方法.
Lagrange插 值
Newton插 值
Hermite插值
二、拉格朗日(Lagrange)插值
1．n次拉格朗日插值多项式
设连续函数 y 在f (x) 上[对a,给b] 定的 个不n同节1 点
上分别a取 x函0 数x1值 L xn b
yk 1
(x ( xk 1
xk xk
)(x xk1) )(xk1 xk1)
yk
(x ( xk
xk1)(x xk1) xk1)(xk xk1)
+
yk 1
(x (xk +1
xk1)(x xk ) xk1)(xk 1 xk
)
=ax2
bx
c
lk 1 ( x)
(x ( xk 1
xk xk
Lagrange 插值虽然易算，但若要增加一个节点时， 全部基函数li(x) 都需要重新计算。
能否重新在 Pn x span 1, x,xn 中寻找新的
基函数 ？希望每加一个节点时，只附加一项上去即可。
设 Nn (x) A0 A1(x x0 ) A2 (x x0 )(x x1) L An (x x0)L (x xn1)
求 L1(x) a0 a1x ,使得L1(xk ) yk , L1(xk1) yk1
yklk (x) yk1lk1(x)
x xk1 xk xk1
yk
x xk xk1 xk
yk 1
f(x) (xk+1 ,yk+1)
(xk ,yk) P1(x)
xk
xk+1
yk
yk 1 xk 1
1
a0
1
a0
x0a1 x1a1
x0nan x1nan
y0 y1
1 a0 xna1 xnnan yn
（2.2.1）
此方程组的系数行列式为
1 x0 D 1 x1
1 xn
x02 x12
x
2 n
x0n
x1n
( xi x j )
0 jin
xnn
范得蒙行列式的转置！
当 xi x j (i j) 时， D 0，
x
4
)
3
(
3
6
)(
3
4
)
2
sin 500
L2
(
5
18
)
0.76543
R2( x)
cos x
3!
(
x
6
)(
x
4
)(
x
3
)
;
1 2
cos
x
3 2
0.00044
R2
5
18
0.00077
2次插值的实际误差 0.00061
三、牛顿插值（Newton’s Interpolation）
回顾：Lagrange 插值的优缺点： 优点：具有严格的规律性,便于记忆。 缺点：计算量大、不具有承袭性。
lk (x)
(x x0 )(x x1)L (x xk1)(x xk1)L (x xn ) (xk x0 )(xk x1)L (xk xk1)(xk xk1)L (xk xn )
n j0
x xj xk x j
jk
2．线性插值 (n=1)
已知 yk f (xk ), yk1 f (xk1)，
如何构造插值函数才能达到预期的效果呢？
一般插值多项式的构造方法
，
用于插值的简单函数元素集 + 线性组合结构 → 插值多项式
(集合)
(结构)
简单函数元素集是指构成多项式的基函数集合，例如
自然形式、（2.2.1）的、 自然基底 1, x, x2,L , xn ,
若求自然形式(2.2.1)的插值多项式问题，只要求 解线性方程组（2.2.2）计算出多项式系数即可。
,由此构造一个简单易算的近似函数 g(x) f(x)，满足条件
g xi yi i 0,1,L ,n
(2.1.1)
这个问题称为“插值问题”
这里g(x) 称为f(x) 的插值函数; 节点 x0, x1,L , xn 称为插值节点;
条件(2.1.1)称为插值条件; 区间 a, b 称为插值区间。如果
)(
x
x1
)(
x
x2
),
(x0, x2 )
例：已知
sin
6
1 2
,
sin
4
1 2
,
sin
3
3 2
分别利用 1次、2次 Lagrange 插值计算 sin 50，并估计误差。
解：n = 1 分别利用x0, x1 以及 x1, x2 计算
利用
x0
6
,
x1
4
L1
(
x)
x /
/ 6
4 /
4
1 2
x /
xk1)L
( xk
xn )
所以
lk
(x)
(x
n1 ( x) xk )n' 1(xk
)
,
Ln (x)
n k 0
yk
n1 ( x) (x xk )n' 1(xk )
4 、插值余项
定理2.2 设 f (n) (x) 在[a , b]上连续，f (n1) (x) 在（a , b） 内存在, 则在[a , b]上的n+1个互异的节点 a x0 x1 L xn b ，对 f (x) 所作的n次
伟大的数学家：拉格朗日（Lagrange）、牛顿 Newton）、埃尔米特（Hermite）等人分别给出了 不同的解决方法。
二、插值问题的定义
定义2.1 当函数 y = f(x) 非常复杂或未知时，设在区间 a,b
上一系列节点 x0 , x1,L xn处测得函数值 y0 f x0 ,L yn f xn
xk-1 xk
xk+1
易知 L2 (x)是通过(xk1, yk1), (xk , yk ), (xk1, yk1)三点的二次曲线
因过三点的二次曲线为抛物线，故称为抛物插值。
用基函数方法求L2 (x)步骤如下：设基函数为lk1(x), lk (x), lk1(x),
则 L2 (x) yk1lk1(x) yklk (x) yk1lk1(x)
§1 引 言
一、引例
已经测得在某处海洋不同深度处的水温如下：
深度（M） 466 741 950 1422 1634 水温（oC）7.04 4.28 3.40 2.54 2.13
根据这些数据，希望合理地估计出其它深度（如 500米，600米，1000米…）处的水温.
这就是本章要讨论的“插值问题”
插值法是一种古老的数学方法。早在1000 多年前，我国历法上已经记载了应用一次插值 和二次插值的实例。
插值多项式一般仅用来估计插值区间内点的函数值（即内
插），用它来计算插值区间外点的函数值（即外插）时， 误差可能很大。
Rn (x) 也称为Lagrange插值多项式的插值余项。
当n = 1时，R1(x)
f
(
2
)
(
x
x0
)(
x
x1
),
(x0, x1)
当n = 2时，R2 (x)
f
(
6
)
(
x
x0
数 ❖ 二、插值多项式的常用构造方法？
插 值
❖ 三、插值多项式的误差如何估计？
§2 一般多项式 插 值
一、插值多项式的存在唯一性
设所要构造的插值多项式为：
Pn ( x) a0 a1 x a2 x2 an xn
由插值条件 Pn (xi ) yi (i 得0, 1到,L如, n下) 线性代数方程组：
lk x 的表达式推导：
根据 lk x的定义，xk 以外所有的结点都是 lk x的根，
因此，令
n
lk (x) (x x0 )(x x1)L (x xk1)(x xk1)L (x xn ) (x xj ) j0 jk
又由 lk xk ，得1 ：
1
( xk x0 )( xk x1 ) ( xk xk1 )( xk xk1 ) ( xk xn )
注： 通常不能确定 , 而是估计 f (n1)(x) Mn1，x(a,b)，
将
Mn (n
1
1)!
n
1
(
x)
作为误差估计上限。通常取
M n1
max | axb
f
(n1) (x) |。
当 f(x) 为任一个次数 n 的多项式 时， f (n1)( x) 0 ，可知
Rn( x) 0 ，即插值多项式对于次数 n 的多项式是精确的。
Lagrange插值多项式 Ln x有误差估计
Rn (x)
f (x) Ln (x)
f (n1) ( )
(n 1) !
n1
(
x)
Rolle’s Theorem的推论: 若(x) 充分光滑，且 (x0 ) (xn ) 0 存在 (a, b) 使得 (n)( ) 0
证明: f x Pn x Rn x