南开大学数学期末考试试题
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一、（11
分）求定积分
0⎰.
二、（12
分）设2
2222322()0(,)0,0x y x y f x y x y ⎧++>⎪=⎨⎪+=⎩
，讨论(,)f x y 在(0,0)点是否连续？偏导数'(0,0)x f ，'(0,0)y f 是否存在？如果存在，讨论),(y x f 在(0,0)点是否可微？
三、（12分）设2
(,)x z y f xy y
=，f 具有连续二阶偏导数，试求z x ∂∂，2z
x y ∂∂∂。
四、（10分）求曲面222225x y z ++=在点(1,1,1)处的切平面及法线方程。 五、（2×9＝18分）求下列二重积分： （1）D
xydxdy ⎰⎰，其中D 是由2
(0),20y x x y x y =≥=-=和所围成的区域；
（2
）
D
dxdy ⎰⎰，其中D
2=和坐标轴所围成的区域。
六、（10分）求函数(,)f x y x y =+在条件22224x y +≤下的最大值，最小值。 七、（10分）求三重积分2
I z dxdydz Ω
=⎰⎰⎰，其中Ω是由平面1x y z ++=与三个坐标面所
围成的区域。
八、（10分）设∑是三个坐标面和22y
x z +
+=围成的四面体的表面，求曲面积分⎰⎰∑
xyzdS 九、（7分）设()f x 连续，且恒大于零，
222
22
()
()
22
2
()
()()(),(),()()t D t t
t
D t f x y z dV
f x y dxdy F t G t f x y dxdy
f x dx
Ω-+++=
=
+⎰⎰⎰
⎰⎰
⎰⎰
⎰
其中
},|),,{()(2222t z y x z y x t ≤++=Ω}.|),{()(222t y x y x t D ≤+=
（1） 讨论)(t F 在区间),0(+∞内的单调性。 （2） 证明当0>t ,时)(2
)(t G t F π
>
.
一、（10
分）求定积分
⎰。
二、（12分）设2222
221cos ,0(,)0,0
xy x y x y f x y x y ⎧
+>⎪+=⎨
⎪+=⎩
，讨论(,)f x y 在(0,0)点是否连
续？偏导数'(0,0)x f ，'(0,0)y f 是否存在？如果存在，讨论)
,(y x f 在(0,0)点是否可微？
三、（10分）设2
2
(,)y z x f xy x =，f 具有连续二阶偏导数，试求z x ∂∂，2z x y
∂∂∂。
四、（10分）求曲面22224x y z ++=在点(1,1,1)处的切平面及法线方程。
五、（10分）求函数(,)23f x y x y =-在圆域{
}
22
(,)13D x y x y =+≤上的最大值，最小值。
六、（13分）求三重积分2
2
2
()I x y z dxdydz Ω
=++⎰⎰⎰，其中222
222:,0x y z z c a b c Ω+≤≤≤。
七、（2918⨯=分）求下列二重积分： （1）
()D
x y dxdy +⎰⎰，其中:2D x y +≤；
（2）
x
x y
D
e
dxdy +⎰⎰，其中:01,01D x x y ≤≤≤+≤。
八、（10分）设∑是三个坐标面和
12x
y z ++=围成的四面体的表面，求曲面积分⎰⎰∑
xyzdS 。 九、（7分）设()0f x >在[],a b 上连续，
()b
a
f x dx A =⎰
，证明：
()1
()()()()
b
b
f x a
a
f x e dx dx b a b a A f x ⋅≥--+⎰
⎰
。
2009年
一、（13
分）讨论函数()()()()
22
(,0,0(,)0,,0,0x y x y f x y x y ⎧+≠⎪=⎨
⎪=⎩
在()0,0点是
否连续？偏导数)0,0(),0,0('
'
y x f f 是否存在？以及在()0,0点是否可微？
二、（12分）设f x y xy f x z ),,(3
=具有连续的二阶偏导数，试求y
x z
y z ∂∂∂∂∂2,
。 三、（12分）在曲面163222=++z y x 上求一点，使曲面在此点的切平面与下列直线平行：
,8
15643:
1+=-=-z y x l z y x l ==:2
四、（11分）求2(4)z x y x y =--在}0,,6|),{(≥≤+=y x y x y x D 上的最大值，最小值。 五、（10分）计算⎰⎰-D dxdy x
y ,||2
其中10,10:≤≤≤≤y x D
六、（12分）计算
⎰⎰⎰
Ω
++,)(2
dV z y x 其中Ω是2222R z y x ≤++的球体。 七、（12分）计算曲面积分⎰⎰∑
+-=
dxdy z
xdzdx ydydz I 2
，其中∑为锥面2
2y x z +=
在平面2=z 及3=z 之间的内侧。
八、（12分）设∑是单位球面12
2
2
=++z y x 的外侧，求曲面积分
⎰⎰
∑
++++=2
/3222)33(z y x zdxdy ydxdz xdydz I
九、（6分）计算
⎰+--+L
y x dy
y x dx y x 22)()(，其中L 是沿x y cos π=由(),A ππ-到 (),B ππ--的曲线段。