定理2设G为一个至少具有三个结点连通平面图,则G中必

定理2 设G为一个至少 具有三个结点的连通 平面图，则G中必有一 个结点u，使得 deg(u)≤5。
证明 设G=<V,E> ， |V|=v，|E|=e，若 G的每 一个结点u都有deg(u)≥6， 但因 deg(vi)=2e 故 2e＞6v，所以 e≥3v＞ 3v―6，与欧拉定理矛盾。
v
i=1
定ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ3 任意平面图G 最多是5-色的。
若deg(u)=5，设与u邻 接的结点，按逆时针 排列为v1,v2,v3,v4,v5, 它 们分别着不同的颜色 C1,C2,C3,C4,C5。
令H为G―{u}中所有着 C1与C3色的结点集合， F为G―{u} 中着C2与 C4的所有结点的集合。
Ⅰ：若v1与v3属于结点集H 所导出子图的两个不同的 连通分支中，将v1所在分 图中的C1,C3两种颜色对调， 并不影响图G―{u}的正常 着色，然后在u上着C1色， 即得图G是五色的。
因此在包含v2的连通 分支中将C2和C4颜色 对调并不会影响G―{u} 的正常着色，那样，点 v2与v4都着了C4色，故 对u着C2色。即可得到 五色图G。
证明 给定平面图 G=<V,E>，对结点数v 用归纳法。 a）当v=1，2，3，4， 5时显然成立。
b）设v=k时成立，现 考察v=k＋1，由定理2 可知，必存在结点u， 使deg(u)≤5,在图G中删 去u，得到G―{u}，
由归纳假设知此时定 理成立。现将u加入到 G―{u}中，若deg(u)<5， 则与u邻接的结点数不 超过4，故必可对u正 常着色，得到一个最 多是五色的图G。
Ⅱ：若v1与v3 属于结点 集 H所导出子图的同 一个连通分支中，那 么从v1到v3 必有一条路 P，P上的各个结点都 是着C1或C3色。
路P与边(u, v1)、(u, v3) 一起构成了一条回路L, 它包围了v2或v4 ，但不 能同时包围v2和v4 ，故 v2和v4分别属于结点集 F所导出子图的两个不 同连通分支中。