第2章 线性时不变系统

n<0，y[n]=0
对于n 0，
k , 0 k n
因此，对于n
x[k ]h[n
0，
k]
0, 其余k值
y[n] n k 1 n1
k 0
1
因此对于全部n，就有
y[n] (1 n1 )u[n] 1
2.3连续时间LTI系统：卷积积分
（1）用单位冲激表示连续时间信号
（1）Representation of CT Signals in Terms of Shifted unit Impulses 输入信号可以用一串延时脉冲的线性组合来表示
第2章 线性时不变系统
Chapter 2 Linear Time-Invariant
Systems
第2章 线性时不变系统
2.1概述 2.2离散时间LTI系统：卷积和 2.3连续时间LTI系统：卷积积分 2.4LTI系统的性质 2.5用微分方程描述连续LTI系统 2.6用差分方程描述离散LTI系统 2.7小结
2.4 LTI系统的性质
有记忆和无记忆LTI系统 Memory:
y(t) x( )h(t )d
Memoryless: h(t ) 只在 t 时非零
CT : h(t) k (t)
DT : h[n] k[n]
y(t) kx(t)
y[n] kx[n]
2.4 LTI系统的性质
若k=1，这些系统就变成恒等（Identity）系统： 输出等于输入；单位冲激响应等于单位冲激 此时卷积和与卷积积分公式变成
2.4 LTI系统的性质
交换律性质的解释： An interpretation of commutative property
2.4 LTI系统的性质
卷积的代数性质导致的一 个结果就是LTI系统能够 以任何次序串联
2.4 LTI系统的性质
卷积的分配律性质 导致的一个结果就 是LTI系统的并联能 够融合成一个LTI系 统
2.1概述
（1）线性与时不变性（Linearity and Time-Invariance）： 很多物理过程都具有这两个性质 这些物理过程能用LTI系统表征 可以对LTI系统进行详细的分析：
能够将LTI系统的输入用一组基本信号的线性组合表示 根据该系统对基本信号的响应，利用叠加性质求得整个系统的输出
2.2离散时间LTI系统：卷积和
（1）用单位脉冲表示离散时间信号
（1）Representation of DT Signals in Terms of Shifted unit Samples 筛选性质
（sifting property）
2.2离散时间LTI系统：卷积和
2.2离散时间LTI系统：卷积和
2.2离散时间LTI系统：卷积和
LTI系统响应 的卷积和图示
2.2离散时间LTI系统：卷积和
例题：考虑一LTI系统，如图 所示，其单位脉冲响应为h[n]， 输入为x[n]，则输出
y[n] x[0]h[n 0] x[1]h[n 1] 0.5h[n] 2h[n 1]
2.2离散时间LTI系统：卷积和
x(t) eatu(t), a 0
h(t) u(t)
源自文库
t 0, x( )与h(t - )的乘积为零，
所以y(t) 0
对t 0有
x(
)h(t
)
ea , 0
0, 其余
t 值
y(t) t ea d 1 ea t 1 (1 eat )
0
a 0a
因此，对全部t，y(t)是
y(t)= 1 (1 eat )u(t) a
x[n] x[n]* [n] x(t) x(t) * (t)
上式其实就是DT和CT单位冲激函数的筛选性质
x[n] x[k][n k] k
x(t) x( ) (t )d
2.4 LTI系统的性质
（2）单位冲激响应（Unit impulse response） 一般信号可表示为延迟冲激的线性组合 LTI系统的单位冲激响应能完全表征LTI系统的特性
2.1概述
（3）离散时间情况下的卷积和 （4）连续时间情况下的卷积积分 （5）分析其它LTI系统的性质 （6）线性常系数微分方程描述的连续时间系统 （7）线性常系数差分方程描述的离散时间系统
2.4 LTI系统的性质
离散时间LTI系统用 卷积和表示
连续时间LTI系统用 卷积积分表示
LTI系统的特性可以 完全由其单位冲激响 应决定
2.4 LTI系统的性质
卷积的交换律性质 The Commutative Property of Convolution
2.4 LTI系统的性质
卷积的三个代数性质：交换律、结合律、分配律 Three algebraic properties of convolution
（2）离散时间LTI系统单位脉冲响应及卷积和表示 （2）The DT Unit Sample Response and the
Convolution Sum Representation of LTI Systems
2.2离散时间LTI系统：卷积和
2.2离散时间LTI系统：卷积和
LTI系统响应的卷积和表示：
卷积和计算的可视化
2.2离散时间LTI系统：卷积和
例题：已知输入x[n]和单位脉冲响应h[n]为 x[n] nu[n], 0 1 h[n] u[n]
由图可知，
对于n<0，x[k]和h[n-k]的非零部分
没有任何重合，所以对n<0而言，
x[k] h[n-k]对全部k值都为零，故
Integral Representation of LTI Systems
2.3连续时间LTI系统：卷积积分
卷积积分的图 解说明
2.3连续时间LTI系统：卷积积分
连续时间卷积积分的计算
2.3连续时间LTI系统：卷积积分
2.3连续时间LTI系统：卷积积分
举例：设某一LTI系统输入为 x(t)，其单位冲激响应为h(t)
2.3连续时间LTI系统：卷积积分
2.3连续时间LTI系统：卷积积分
2.3连续时间LTI系统：卷积积分
2.3连续时间LTI系统：卷积积分
（2）连续时间LTI系统的单位冲激响应及卷积积分表示 （2）The CT Unit Impulse Response and the Convolution