高中数学任意角和弧度制教案新人教A版必修

《任意角和弧度制》教案

【教学目标】

1.理解任意角的概念.

2.学会建立直角坐标系讨论任意角，判断象限角，掌握终边相同角的集合的书写.

3.了解弧度制，能进行弧度与角度的换算.

4.认识弧长公式，能进行简单应用.对弧长公式只要求了解，会进行简单应用，不必在应用方面加深.

5.了解角的集合与实数集建立了一一对应关系，培养学生学会用函数的观点分析、解决问题.

【导入新课】

复习初中学习过的知识：角的度量、圆心角的度数与弧的度数及弧长的关系

提出问题：

1．初中所学角的概念.

2．实际生活中出现一系列关于角的问题.

3.初中的角是如何度量的度量单位是什么

°的角是如何定义的弧长公式是什么

5.角的范围是什么如何分类的

新授课阶段

一、角的定义与范围的扩大

1．角的定义：一条射线绕着它的端点O，从起始位置OA旋转到终止

位置OB，形成

一个角α，点O是角的顶点，射线,

OA OB分别是角α的终边、始边.

说明：在不引起混淆的前提下，“角α”或“α

∠”可以简记为α．2．角的分类：

正角：按逆时针方向旋转形成的角叫做正角；

负角：按顺时针方向旋转形成的角叫做负角；

零角：如果一条射线没有做任何旋转，我们称它为零角.

说明：零角的始边和终边重合.

3．象限角：

在直角坐标系中，使角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负轴重合，则

（1）象限角：若角的终边（端点除外）在第几象限，我们就说这个角是第几象限角.

例如：30,390,330

-是第四象限角.

-都是第一象限角；300,60

（2）非象限角（也称象限间角、轴线角）：如角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限.例如：90,180,270等等.

说明：角的始边“与x轴的非负半轴重合”不能说成是“与x轴的正半轴重合”.因为

x轴的正半轴不包括原点，就不完全包括角的始边，角的始边是以角的

顶点为其端点的射线.

4．终边相同的角的集合：由特殊角30看出：所有与30角终边相同的角，连同30角自身在内，都可以写成30360k +⋅()k Z ∈的形式；反之，所有形如30360k +⋅()k Z ∈的角都与30角的终边相同.从而得出一般规律：

所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合

{}|360,S k k Z ββα==+⋅∈，

即：任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和. 说明：终边相同的角不一定相等，相等的角终边一定相同.

例1 在0与360范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它们是第几象限角

（1）120-；（2）640；（3）95012'-.

解：（1）120240360-=-，

所以，与120-角终边相同的角是240，它是第三象限角； （2）640280360=+，

所以，与640角终边相同的角是280角，它是第四象限角； （3）95012129483360''-=-⨯，

所以，95012'-角终边相同的角是12948'角，它是第二象限角. 例2 若3601575,k k Z α=⋅-∈，试判断角α所在象限. 解：∵3601575(5)360225,k k α=⋅-=-⋅+ (5)k Z -∈ ∴α与225终边相同， 所以，α在第三象限.

例3

写出下列各边相同的角的集合S ，并把S 中适合不等式

360720β-≤≤的元素β

写出来：（1）60；（2）21-；（3）36314'．

解：（1）{}|60360,S k k Z ββ==+⋅∈，

S 中适合360720β-≤≤的元素是

601360300,

60036060,

601360420.

-⨯=-+⨯=+⨯=

（2）{}|21360,S k k Z ββ==-+⋅∈， S 中适合360720β-≤≤的元素是

21036021,

211360339,212260699

-+⨯=--+⨯=-+⨯=

（3）{}|36314360,S k k Z ββ'==+⋅∈

S 中适合360720β-≤≤的元素是

36314236035646,

363141360314,

36314036036314.

''-⨯=-''-⨯=''+⨯=

例4 写出第一象限角的集合M ．

分析：（1）在360内第一象限角可表示为090α<<；

（2）与0,90终边相同的角分别为0360,90360,()k k k Z +⋅+⋅∈； （3）第一象限角的集合就是夹在这两个终边相同的角中间的角的集合，我们表示为：

{}|36090360,M k k k Z ββ=⋅<<+⋅∈．

学生讨论，归纳出第二、三、四象限角的集合的表示法：

{}|90360180360,P k k k Z ββ=+⋅<<+⋅∈； {}|90360180360,N k k k Z ββ=+⋅<<+⋅∈； {}|270360360360,Q k k k Z ββ=+⋅<<+⋅∈．

说明：区间角的集合的表示不唯一.

例 5 写出(0)y x x =±≥所夹区域内的角的集合.

解：当α终边落在(0)y x x =≥上时，角的集合为

{}|45360,k k Z αα=+⋅∈；

当α

终边落在

(0)y x x =-≥上时，角的集合为

{}|45360,k k Z αα=-+⋅∈；

所

以

，

按

逆

时

针

方

向

旋

转

有

集

合

：

{}|4536045360,S k k k Z αα=-+⋅<<+⋅∈．

二、弧度制与弧长公式 1.角度制与弧度制的换算：

∵360?=2?（rad ）， ∴180?=? rad. ∴ 1?=0.01745.180

rad rad π

≈

180157.305718'.rad π⎛⎫

=≈= ⎪⎝

⎭

2．弧长公式：α⋅=r l .

由公式：⇒=r

l

αα⋅=r l . 比公式180

r

n l π=

简单. 弧长等于弧所对的圆心角（的弧度数）的绝对值与半径的积 3．扇形面积公式 lR S 2

1=，其中l 是扇形弧长，R 是圆的半径.

注意几点：

1．

今后在具体运算时，“弧度”二字和单位符号“rad ”可以省略，

o

R S

l