微积分3-5. 导数在经济学中的应用

单位。
C(x) C(x) 称为平均成本函数 x
C(x)
C(x) x
xC(x) C(x) x2
称为平均边际成本函数
例3.39 设某商品的成本函数为C(x) 100 10x x2 ，当产品
的生产量为 x 10 时的平均成本和边际成本分别为多少，并
说明边际成本的经济意义.
解 平均成本函数为C x C(x) 100 10 x,
定义
设某经济函数 y y
f (x) 在点 x0 可导，f (x)在(x0 , x0
x)
内的
平均变化率为
x
；在点 x0 处的瞬间变化率为
lim
x0
f
( x0
x) x
f
(x0 )
f
(x0 )
在经济学中称f (x0 ) 为 y f (x) 在点 x0 处的边际函数值。
设在点 x x0处，当自变量 x 从 x0 改变一个单位（即自变量的增
x x0
x0
x
L x表0 示产量为 时x0的边际利润，其经济意义是当产量为 x时0， 每增加（减少）一个产量，利润将增加（减少） L x0个单位.
由L x R x C x ，显然边际利润可由边际收益与边际成本决定. 即当 R x C x 时，L(x) 0；当 R x C x时，L(x) 0； 当 R x C x 时 ，L(x) 0
格弹性，并说明其经济意义·
解
由于需求弹性为 p
f
P P
Q
P 10 P
且
p4
2 3
1,
p5
1,
p6
3 2
1
当 求
P 时4 ， p4 0.667 为低弹性，此时，商品的价格上涨1%，需
量将下降0.667%，价格上涨对需求量的下降影响较小，因此降价销售将
得总收益减少，涨价销售则可使得总收益增加.
对增量(变化率)，
则函数的相对增量与自变量的相对增量之比
y
E x0, x0
x
y0 x
y x
x0 y0
x0
称为函数 y f (x) 在区间(x0 , x0 x) 内的平均相对变化率或弹性
y
当 x 0 时，E x0, x0 x 的极限
E x0, x0
x
y0 x
y x
x0 y0
Ey Ex
弹性（elasticity）, 物理学名词 , 指 一物体对外部力量的反应程度或敏感程度.
弹性是相对数之间的相互关系，即百分数变动的比
率，或者说它是一个量变动1%，引起另一个量变动百分之多
少（程度）的概念。
对于任何存在函数关系的经济变量之间，都可以建立 二者之间的弹性关系或进行弹性分析。
弹性系数表示弹性的大小(弹
例3.40 某产品的总成本函数C(x) 500 2x ，总收益函数 R(x) 10x 0.01x2，求当产量分别为 400, 500时的总利润和边际利润，
并说明边际利润的经济意义。
解 由于利润函数为
L x R(x) C(x) 8x 0.01x2 500
所以当产量 x 400,500时的利润分别为
性)
弹性
因变量变动的比率 自变量变动的比率
14
利用函数与自变量的相对改变量之比研究经济变量对 另一个经济变量变化的反应程度的方法称为弹性分析.
定义 设 y f (x) 在点 x0 量的相对增量(变化率)，y
y0
处可导，且 x0 0,
f x0 x f x0 f x0
x 为自变 x0 为函数的相
感谢下 载
第三章 导数与微 分
§3.1 导数的概念
§3.2 式 §3.3 数§3.4
求导法则与求导公 隐函数的导数 高阶导 微分
§3.5 导数在经济学中的应用
§3.5 导数在经济学中的应用
一 边际与边际分析
“边际”(Margin)一词的一般含义是指事物在时间或空 间上的边缘或界限，它是反映事物数量的一个概念。在经济 上，边际量是指生产、交换、分配和消费在一定条件下的最 后增加量.研究这个增量的性质和作用，构成了边际分析的基 本内容。西方经济学认为，边际量或增量分析，比总量分析 和平均量分析，能更精确地描述经济变量之间的函数关系。
（lxim点0 弹x y性）
x
有量刚 研究变量绝对量之间的关系
无量刚
是某一变量的相对变化引起 另一变量的相对变化的度量
例3.41 求 y
100e3x 的弹性函数
Ey Ex
以及弹性
Ey Ex
x2
f (x) 0
解 因为 y 300e3x ，于是
Ey Ex
300e3
x
x 100e3x
3x
f (x) 0
若需求函数 Q f (P) 可导，则称 .
EQ f (P) P
Ep
f (P)
为该商品的需求价格弹性，简称需求弹性，记为 P
由于需求函数通常是单调减少函数，即 f '(P) 0 因此需求弹性一般为负值.
若价格为 P0处的需求弹性记为 PP0 ,价格弹性的经济意义是当某商品价格 为 P0 时，价格每上涨（下降）1%，需求量将下降（上涨）个 p0 百分点.
x1
x1
由此可知有关边际的经济意义是：经济函数 f (x) 在点x x0 处当自变 量 x 增加（减少）一个单位时，函数y 近似增加（减少）f (x0 ) 个单
位。
例3.38 设函数 y x2 ，求y 在 x 5 时的边际函数值
解
因为
y 2x，所以
y x5
10
若函数 y x2具有经济意义，则 y 10 表明：当 x 5 时，x 每改变一个单位（增加或减少一个单x位5），y 改变十个单位（增加
量 x 0 时的成本 C0 C(0) 为固定成本，C1(x) C(x) C0 为可
变成本。
C(x) lim C lim C(x x) C(x) 称为边际成本函数
x x0
x0
x
C(x0 )表示产量为 x0 时的边际成本，其经济意义是当产量为 x0 时，每增加（减少）一个单位产量，总成本将增加（减少）个C(x0 )
量 x 1）时函数的增量 y 的准确值为y
，由微分近似公
x x0
式知，y 的近似值为
x1
y xx0 f x0 1 f x0 dy f x x xx0 f x0
x1
x1
当x 1时，标志着自变量x 从 x0 减少一个单位，而
y xx0 dy f x x xx0 f x0
Ey lim y x f (x) x
Ex x0 x y
y
为函数 y f (x)在区间(a,b)内的相对变化率或弹性函数.
相关概念的比较
绝对改变量： x, y
相对改变量： x , y
xy
平均变化率： y x
平均相对变化率： （y y弧弹性）
x x
变化率：（边际函数） 相对变化率： y
y lim x0 x
设 x 为产品的销售量，则 P=P(x) 称为产品的销售价 格R函 数R(,x) x P(x) 称为总收益函数
R(x) lim R lim R(x x) R(x) 称为边际收益函数
x x0
x0
x
R x0 表示销售量为 x 时的边际收益，其经济意义是当
销售量为 x0 时，每增加（减少）一个销售量，总收益将增
由商品需求弹性的定义知：
（1）当 p0 1（即 p0 1）时称为单位弹性，此时商品需求量变化
的幅度等于价格变化的幅度.
（2）当 p0
1（即
. p0
1）时称为高弹性，此时商品需求量变化
的幅度大于价格变化的幅度，价格的变动对需求量影响较大
（3）当 p0 1（即 p0 1）时称为低弹性，此时商品需求量变化
得总收益增加，价格下降可使得总收益减少。
（2）当 p0
1时，称边际收益 dR 0，此时商品的价格上涨可使 dP
得总收益减少，价格下降可使得总收益增加。
（3）当 p0
1时，称边际收益 dR 0，此时商品涨价或降价对总 dP
收益没有明显的影响。
例3.42 设某商品的需求函数为Q 1000 100P，求P=4,5,6时的需求价
加（减少） R x0 个单位。
例.某商品销售量 x与价格 P之间的函数P关10 0.01x
为
。求当销售量分别为400，500，
600时的总收益和边际收益，并说明边际收益的经济意义
解 因为总收益函数为 R(x) x P(x) 10x 0.01x2 所以，当销售量 x 400,500, 600 时的总收益分别为
所以
Ey Ex
x2 6
弹性的实际意义是在x 2 处当自变量改变1％时，
的函数值改变6％
弹性在经济学中常应用于研究需求量与价格之间的变化关系. 需求是指在一定价格条件下，消费者愿意购买并且有支付能力 购买的商品量. 商品的需求量一般与价格有关，描述需求量与价格关系的函数 称为需求函数.
设则需求P 函表数示表某示商为品的价格，Q 表示某商品的市场需求量， Q f (P)
xx
则当 x 10 时的平均成本为C 10 30 又由边际成本函数为C x 10 2x 则当 x 10时的边际成本为C10 30
边际成本的经济意义是：当产品的产量为10时，每多生产或少
生产一个单位，总成本将增加或减少３0个单位.
（2）总收益函数与边际收益
总收益（收入）是指生产者出售一定数量的产品所获得的全部收入. 平均收益是指生产者出售一定数量的产品，平均每售出单位产品所获得 的收入，也就是单位产品的售价. 边际收益是指总收益的变化率. 总收益、平均收益和边际收益都是销售量的函数.
R400 2400, R500 2500, R600 2400
又由于边际收益函数为 R(x) 10 0.02x 所以，当销售量 x 400, 500, 600时的边际收益分别为
R(400) 2, R(500) 0, R(600) 2,
边际收益的经济意义是：当销售量分别为400，500， 600时，每增加（减少）一个销售量，总收益将增加（减少） 2、0、－2个单位.
（3）利润函数与边际利润
利润是指生产者出售一定数量的产品所获得的净收入.一般情况下，
总利润函数 L(x)等于总收益函数 R(x)与总成本函数 C(x)的差，
边际利润是指利润的变化率
L x R(x) C(x) 称为总利润函数
L x lim L lim L(x x) L(x) 称为边际利润函数
L400 1100, L500 1000
又由于边际利润函数为
L(x) 8 0.02x
所以当产量 x 400,500时的边际利润分别为 L(400) 0, L(500) 2
边际利润的经济意义是：当产量分别为400，500时，每增加（减少）
一个销售量，利润将增加（减少）0、－2个单位.
二 弹性
的幅度小于价格变化的幅度，价格的变动对需求量影响不大
一般地，设商品的需求函数Q f (P)可导，总收益函数为R P f (P)
则由边际收益
dR dP
f
P
P
f P
f
P
1
f
P
f
P
P
f P1 p f P 1 p .
dR
（1）当 p0
1时，称边际收益 0，此时商品的价格上涨可使 dP
或
减少十个单位），
（1）总成本函数与边际成本
某产品的总成本是指生产一定数量的产品所需的全部资源投入费用的总和， 它由固定成本与可变成本组成. 平均成本是指生产一定数量的产品，平均每单位产品的成本. 边际成本是指总成本的变化率. 总成本、平均成本和边际成本都是产量的函数.
设产品的产量为 x 单位时，称 C C(x)为该产品的总成本函数，产
当 P 5时， p5 1 为单位弹性，此时，商品的价格上涨1%，需
求量将同步下降1%，涨价或降价对总收益没有明显影响。
当 P 6 时， p6 1.5 1为高弹性，此时，商品的价格上涨1%，需求
量将下降1.5%，价格上涨对需求量的下降影响较大，因此降价销售将 得总收益增加，涨价销售则可使得总收益减少.
x x0
lim y x0 x0 x y0
f
( x0
)
x0 y0
x0
ห้องสมุดไป่ตู้称为函数 y f (x)在点 x x0 处的相对变化率，或相对导数，或弹性
弹性的经济意义是经济函数 y f (x) 在点 x x0 处当自变量 x改变1％时，
Ey
y
f (x)的函数值近似改变百分之 Ex
x x0
一般地，若函数 y f (x)在区间(a,b)内可导，且 f (x) 0则称