第十一章-无穷级数(习题及解答)

(1) ；答：发散.(2) ；答：收敛.
解：
(3) ；答：收敛.(4) ．答：收敛.
解：
3.用根值法判定下列级数的敛散性：
(1) ；答：收敛. (2) ；答：收敛.
解： 解：
(3) ；答：收敛.
解：
(4) 其中 ， 均为正数．
答：当 时收敛，当 时发散，当 时不能判断．
§11.3一般项级数收敛判别法
(1) ；
解：
答：
(2) ；
解：
答：
(3) ；
解：
答：
(4*) ；
解：
答：
(5). ．
解：
答：
2.将函数 展开成 的幂级数．
解：
答：
3*.将函数 在 展开成幂级数．
解：
答：
4*.将函数 展开成 的幂级数.
解：
答：
§11.6 为周期的傅里叶级数
一、单项选择题
1.函数系
在区间 上正交； 在区间 上不正交；
级数(1)、(2)都收敛； 级数(1)、(2)都发散；
级数(1)收敛,级数(2)发散； 级数(1)发散,级数(2)收敛．答 .
5.下列级数中收敛的是( )．
； ；
； ．答 .
6*.若级数 ，则级数 ().
; ; ; .答 .
7.设 与 均为正项级数,若 ，则下列结论成立的是( ).
收敛, 发散； 发散, 收敛；
三、简答题
1.下列函数 的周期为 ，试将其展开为傅里叶级数．
(1) ；
解：
答：
(2) ；
解：
答：
2.将函数 展开为傅里叶级数．
解：
答：
3.将函数 展开成傅里叶级数．
解：
答：
4.将函数 展开成正弦级数．
解：
答：
5.将函数 展开成正弦级数和余弦级数．
解：
答：
§11.7一般周期函数的傅里叶级数
一、单项选择题
一、简答题
1.求下列幂级数的收敛域．
(1) ；答： (2Biblioteka Baidu ；答：
(3) ；答： ．(4) ；答： ．
(5) ;答： (6) ．答：
2.用逐项求导或逐项积分，求下列幂级数的和函数．
(1) ；答： ．
解：
(2) ．答： ．
解：
3*.求级数 的和．答：
解：
§11.5函数展开成幂级数
一、单项选择题
1.函数 展开成 的幂级数是( )．
； ；
； ．答 .
2.如果 的麦克劳林展开式为 ，则 是( )．
； ； ； ．答 .
3.如果 在 的泰勒级数为 ，则 是( )．
； ； ； ．答 .
4.函数 展开成 的幂级数是( )．
； ；
； ．答 .
二、填空题
1.函数 的麦克劳林展开式为 ．答：
2.函数 的麦克劳林展开式为 ．答：
3.幂级数 的和函数是．答：
4.数项级数 的和为 答： .
5*.级数 的和为 答：3.
三、简答题
1．判定下列级数的敛散性
(1) 答：收敛.
解：
(2) 答：发散.
解：
(3) 答：发散.
解：
(4) 答：发散.
解：
(5) 答：收敛.
解：
§11.2正项级数收敛判别法、P—级数
一、单项选择题
1.级数 与 满足 ，则( )．
若 发散,则 发散； 若 收敛,则 收敛；
1.下列结论不正确的是( )．
；
；
； ．答 .
2. 是以 为周期的函数，则 的傅里叶级数为( )．
； ；
； ．答 .
3. 是以 为周期的函数，当 是偶函数时，其傅里叶级数为( )．
； ；
； ．答 .
4. 是以 为周期的函数，当 是奇函数时，其傅里叶级数为( )．
；
； ．答 .
二、填空题
1. 是以 为周期的函数, 的傅里叶级数为
4.若级数 收敛，其和 ，则下述结论成立的是()．
收敛； 收敛；
收敛； 收敛.答 .
5.若级数 收敛，其和 ，则级数 收敛于()．
； ； ； ．答 .
6.若级数 发散， 收敛则( )．
发散； 可能发散，也可能收敛；
发散； 发散.答 .
二、填空题
1.设 ，则 答： .
2.级数 的和为 ．答： .
3.级数 ，其和是．答： .
3.级数 的部分和 ，则 答： .
4.级数 是收敛还是发散 答：收敛.
5.若级数 收敛，则 的范围是 答： .
6.级数 是收敛还是发散 答：发散.
三、简答题
1.用比较法判定下列级数的敛散性：
(1) ；答：发散.(2) ；答：收敛.
(3) ；答：收敛.(4) .答 收敛; 发散.
2.用比值法判定下列级数的敛散性：
答：
2. 是以 为周期的偶函数, 的傅里叶级数为
答：
3. 是以 为周期的奇函数， 的傅里叶级数为
答：
4.设 是以 为周期的函数， ．又设 的傅里叶级数的和函数为 ，则 ， ．
答：
5.设 是以 为周期的函数， ，则 的傅里叶级数在 处收敛于 ．
答：
6.设 是以 为周期的函数， ，又设 是 的正弦级数的和函数，则 ．
与 都收敛,或 与 都发散. 不能判别.答 .
8.设正项级数 收敛，则( ).
极限 ； 极限 ；
极限 ； 无法判定.答
9.用比值法或根值法判定级数 发散，则 ( ).
可能发散； 一定发散；
可能收敛； 不能判定. 答
二、填空题
1.正项级数 收敛的充分必要条件是部分和 答：有上界.
2.设级数 收敛，则 的范围是 答： ．
在区间 上正交； 以上结论都不对．答 .
2.函数系
在区间 上正交； 在区间 上不正交；
不是周期函数； 以上结论都不对．答 .
3.下列结论不正确的是( )．
； ；
； ．答 .
4. 是以 为周期的函数，当 是奇函数时，其傅里叶系数为( )．
； ；
； ．答 .
5. 是以 为周期的函数，当 是偶函数时，其傅里叶系数为( )．
4.函数 的麦克劳林级数为 ．答：
5.函数 的麦克劳林级数为 ．答：
6.函数 的麦克劳林级数为 ．答：
7.函数 在 处的泰勒级数 ．答：
8.函数 在 处的泰勒级数 ．答：
9.函数 展开成 的幂级数为 ．答：
10.函数 展开成 的幂级数为 ．答：
11.级数 的和等于 .答： .
三、简答题
1.将下列函数展开成 的幂级数，并求展开式成立的区间．
答：
三、简答题
1.设周期函数在一个周期内的表达式为 ，试将其展开为傅里叶级数．
解：
答：
2.设周期函数在一个周期内的表达式为 ，试将其展开为傅里叶级数．
解：
答：
3*.将函数 分别展开成正弦级数和余弦级数．
解：
答：
(1) ；答：
解：
(2) ；答：
解：
(3) ；答：
解：
(4) ；答：
解：
(5) ；答：
解：
(6) 答：
解：
§11.4幂级数收敛判别法
一、单项选择题
1.幂级数 的收敛区间是( )．
； ； ； ．答 .
2.幂级数 的收敛区间是( )．
； ； ； ．答 .
3.幂级数 的收敛半径是( ).
； ； ； ．答 .
若 与 都收敛,则 收敛.
若 收敛,则 与 都收敛.
若正项级数 发散,则 .
若 ,且 发散,则 发散.答 .
二、填空题
1.级数 绝对收敛，则 的取值范围是．答：
2.级数 条件收敛，则 的取值范围是．答：
3.级数 收敛，则 是条件收敛还是绝对收敛．
答：绝对
三、简答题
1.判定下列级数的敛散性，若收敛，是条件收敛还是绝对收敛？
第十一章无穷级数
§11.1级数的概念、性质
一、单项选择题
1.若级数 收敛( 为常数)，则 满足条件是( )．
； ； ； ．答 ．
2.下列结论正确的是( )．
若 ，则 收敛； 若 ，则 收敛；
若 收敛，则 ； 若 发散，则 .答 ．
3.若级数 与 分别收敛于 ，则下述结论中不成立的是()．
； ；
； ．答 .
； ；
； ．答 .
二、填空题
1. 是以 为周期的函数， 傅里叶级数为 ．
答： 其中
2. 是以 为周期的偶函数， 傅里叶级数为 ．
答：
3. 是以 为周期的奇函数， 傅里叶级数为 ．
答：
4.在 的傅里叶级数中， 的系数为．答：
5.在 的傅里叶级数中， 的系数为．答：
6.在 的傅里叶级数中， 的系数为．答：
（A）(C)
（B）(D)
4.若级数 在 处是收敛的，则此级数在 处( ).
发散； 条件收敛； 绝对收敛； 收敛性不能确定．答 .
5.若级数 在 处是收敛的，则此级数在 处( ).
发散； 条件收敛； 绝对收敛； 收敛性不能确定．答 .
6．若幂级数 在 处条件收敛，则级数 ( ).
条件收敛； 绝对收敛； 发散； 敛散性不能确定.答 .
3.下列级数中，条件收敛的是( )．
； ；
； ．答 .
4.设 为常数，则级数 ( ).
绝对收敛； 条件收敛；
发散； 敛散性与 的取值有关．答 .
5.设 ，则级数( ).
与 都收敛. 与 都发散.
收敛， 发散. 发散， 收敛.答 .
6.设 ,则下列级数中肯定收敛的是( ).
. . . .答 .
7.下列命题中正确的是( ).
一、单项选择题
1.级数 与 满足 ,则( )．
若 收敛,则 发散； 若 发散,则 发散；
若 收敛,则 发散； 若 收敛,则 未必收敛．答 .
2.下列结论正确的是( )．
收敛，必条件收敛； 收敛，必绝对收敛；
发散，则 必条件收敛；
收敛，则 收敛．答 .
2.下列级数中，绝对收敛的是( )．
; ；
； ．答 .
二、填空题
1.幂级数 的收敛域是．答：
2.幂级数 的收敛域是 ．答：
3.幂级数 的收敛半径 ，和函数是．
答：
4.幂级数 的收敛半径 ，和函数是．
答：
5.设 的收敛半径为 ，则 的收敛半径为．答：
6.设幂级数 的收敛半径为 ，则 的收敛半径为．答：
7.幂级数 的收敛域是.答：
8.幂级数 在处 条件收敛，则其收敛域为.答： .
若 收敛,则 发散； 若 发散，则 发散.答 .
2.若 ，则下列级数中肯定收敛的是( )．
； ；
； ．答 .
3.设级数(1) 与(2) ，则( )．
级数(1)、(2)都收敛； 级数(1)、(2)都发散；
级数(1)收敛，级数(2)发散； 级数(1)发散，级数(2)收敛．答 .
4.设级数(1) 与(2) ,则( ).