多裂纹扩展的扩展有限元法分析_石路杨

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岩
土
力
学
2014 年
张开型多裂纹的扩展过程。周小平等[10]采用扩展有 限元法模拟了压应力状态下多裂纹扩展过程，采用 罚函数法考虑裂纹面的摩擦，但没考虑裂纹的交叉 汇合，因此，完全可等同于单裂纹扩展。 本文采用扩展有限元法模拟多裂纹问题。为了 提高裂纹附近的精度，以便更准确地模拟裂纹扩展 路径，对裂纹附近区域的节点采用广义形函数，并 采用线增函数消除混合单元，这样在稍增加计算量 的情况下可有效地提高裂纹附近的精度。本文采用 砂浆法结合增广型 Lgrange 乘子法处理裂纹面的接 触条件，从而确保裂纹面上都能满足接触约束条件 和方便地求解控制方程。算例验证了本文方法的正 确性和有效性。 Fl r , , l 1, 2,3, 4
Analysis of multiple crack growth using extended finite element method
SHI Lu-yang，YU Tian-tang
（Department of Engineering Mechanics, Hohai University, Nanjing 210098, China）
4 m lk


m 1 k K m
nx

nt
N k ( x ) b
l 1
F
m
l
( x ) Fl
m
xk R
m
( x) （1）
J q ( x ) H f1 ( x ) H f1 ( xi )
（2）当 f1 ( x ) f1 ( xi ) 0 ，有
R ( x)
m
* iK m
3 小变形下的接触问题
考虑二维问题，能发生接触的两个裂纹面记为
[11]

Ni ( x )
wk.baidu.com（2）

(1) c
和 c(2) ， 在裂纹面上建立局部坐标系 （见图 2） 。
假设为小变形，设上、下裂纹面上接触点对的接触
(1) 应力为 pn 和 p ；接触点对的位移为( un ， u(1) )和 (2) ( un ， u(2) )。
r cos
r sin sin 2 2
r cos sin 2
（3）
式中： r 和 为裂尖局部极坐标。 裂纹交叉处的连接加强函数 J q ( x ) 可表示如 下 ： （1）当 f1 ( x ) f1 ( xi ) 0 ，有
[9]
n 1 jJ n

N j ( x )a n j H ( x) H x j
（4）
cq p N p ( x ) J q ( x ) N i ( x ) ui
q 1 pPq iI
J q ( x ) H f 2 ( x ) H f 2 ( xi )
（5）
式中： I 为离散域内所有节点集； ui 为节点位移；
式中： f1 ( x ) 和 f 2 ( x ) 分别为关于主裂纹（图 1 中有 两个裂尖的裂纹）和次裂纹（图 1 中只有一个裂尖 的裂纹）的符号距离函数。 在裂纹附近区域采用广义形函数可以有效地提 高裂纹附近的精度[12]，从而可更准确地模拟裂纹扩 展。考虑计算量和精度的提高，含加强节点的单元 节点采用一阶广义形函数，其余节点用传统有限元 的形函数，图 1 中灰色区域内节点采用一阶广义形 函数。一阶广义形函数矩阵为[12] 1 0 x xi 0 y yi N i i x xi 0 0 0 1 式中： i 为传统有限元形函数。 当裂纹面受压，就需要考虑裂纹面间的接触条 件，否则裂纹面间会发生嵌入现象。
（15）
满足 Coulomb 定律的弹性接触问题可以用下列 等式和不等式表示[13 14]： un ≥ 0, pn ≤ 0, un pn 0
－
式中： M 1 ( ) 标。
1 1 ； M 2 ( ) ； 为局部坐 2 2
Fig.1 图 1 加强节点及加强类型 Enriched nodes and enrichment types
2 多裂纹体的扩展有限元法
根据文献 [9] 中提出的含有交叉汇合单元的位 移场表达式，本文提出的多裂纹体的扩展有限元法 的位移逼近为 uh ( x )
nc
r sin 2
乘子相同，这样产生均匀力。不含裂尖点裂纹段，
裂纹面上接触点对的法向和切向相对位移为
(1) (2) un u n un
Lagrange 乘子线性变化，Lagrange 乘子插值可表示
为[15]
（7） （8）
u u(1) u(2)
h j M i ji
i 1
2
j n,
等于-1 ； Fl m ( x ) 为第 m 个裂尖的裂尖加强函数；
Rm ( x) J q ( x ) 为第 q 个裂纹交叉点的连接加强函数；
y yi 0
（6）
为第 m 个裂尖处的线增函数，该函数的引入是为了 消除裂尖加强函数引起的混合单元[11]。 线增函数 R m ( x ) 的定义为
对于各向同性弹性体，裂尖加强函数一般采用 下列裂尖分支函数 ：
[9]
第1期
n
石路杨等：多裂纹扩展的扩展有限元法分析
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在式（12）和式（13）中，接触压力必须是受

c(1)
c(2)
压的压力，即 n ≤ 0 。
4
增广型 Lagrange 乘子法求解接触 问题
接触力的虚功和约束方程依赖 Lagrange 乘子
1 引 言
岩体和混凝土是含有多微裂纹的缺陷体，在外 荷载作用下这些微裂纹将扩展、交叉汇合，形成大 的宏观裂缝，直至结构破坏。因此，研究多裂纹的 作用机制和扩展过程对分析岩体工程和混凝土结构 的破坏有重要的意义。 朱维申等 通过模型试验的方法研究了双轴压 缩载荷作用下闭合雁形裂纹的起裂、扩展和岩桥的 贯穿机制，得到了双轴压缩载荷作用下不同方位雁 形裂纹的开裂角、起裂载荷、岩桥贯通载荷及临界
型数值方法，其计算网格独立于结构的任何内部细 节，因此，扩展有限元法特别适合分析裂纹扩展问 题。Daux 等[8]建立了任意的分叉和交叉裂纹问题的 扩展有限元法。Budyn 等[9]提出了一种交叉裂纹的 加强函数，并采用扩展有限元法模拟了脆性材料中
收稿日期：2012-09-30 基金项目：国家自然科学基金项目(No. 51179063)；中央高校基本科研业务费(No. 2011B03014)。 第一作者简介：石路杨，女，1988 年生，博士研究生，主要从事计算力学与工程仿真方面的研究工作。E-mail: hhusly@126.com 通讯作者：余天堂，男，1971 年生，博士，教授，主要从事工程力学方面的研究工作。E-mail: tiantangyu@hhu.edu.cn
N i ( x ) 为节点形函数； nc 、 nt 和 nx 分别为裂纹数、
裂尖数和裂纹交叉点数； J n 为被第 n 条裂纹贯穿的 单元节点的集合（图 1 中标“□”和“◇”的节点） ；a n j 为相应的附加变量； K 为第 m 个裂尖所在单元节
* 点的集合 （图 1 中标“●”的节点） ，K m 为 K m 与其邻
[1]
失稳载荷等重要的断裂力学参数。黄醒春等[2]用位 移不连续数值算法求解任意多裂纹应力强度因子。 秦飞等[3]用边界元法模拟了多裂纹的扩展。Leonel 等[4]和 Singh 等[5]分别采用双重边界元法和增强的 无网格伽辽金法模拟多裂纹的交叉问题。 扩展有限元法[6
－ 7]
是一种分析不连续问题的新
* 近节点（与 K m 中结点共享单元的节点，图 1 中标 m “○”的节点）的集合； blk 为相应的附加变量； Pq 为
* m
第 q 个裂纹交叉点所在单元节点的集合（图 1 中标
“ ”的节点） ； cq p 为相应的附加变量； H ( x ) 为广义 Heaviside 函数，在裂纹一侧等于 1，在裂纹另一侧
( n 、 )插值。裂纹段的划分如图 3 所示，每个裂
纹线段上采用两个高斯积分点，根据裂纹与单元边
Fig.2 图 2 裂纹面局部坐标 Local coordinate on crack face
界交点、裂尖点、裂纹拐点和裂纹交叉点处值构造
Lagrange 乘子场的插值。 含裂尖点裂纹段， Lagrange
第 35 卷第 1 期 2014 年 1 月
表文章编号：1000－7598 (2014) 01－0263－10
岩 土 力 学 Rock and Soil Mechanics
Vol.35 Jan.
No. 1 2014
多裂纹扩展的扩展有限元法分析
石路杨，余天堂
（河海大学 工程力学系，南京 210098）
Abstract: The extended finite element method of multiple crack growth is presented. The crack junction is analyzed using the junction enrichment function; the generalized nodal shape functions are used in a cluster of nodes around the cracks, a ramp function is used to avoid the blending element problem. These techniques can effectively improve the accuracy of stresses in the vicinity of crack. The mortar method (segment-to-segment contact approach) in combination with the augmented Larange method is adopted to establish the contact conditions between crack faces. Thus the contact is modeled precisely; and it is convenient to solve the control equations. Several numerical examples are analyzed as follows: (1) computing the stress intensity factors of the cross crack, the proposed method can obtain higher accuracy; (2) simulating the growth and coalescence of multiple cracks, the numerical results are good in agreement with the experiments; it shows the reliability of the present method. Key words: multiple cracks; extended finite element method; generalized shape functions; contact conditions; mortar method; augmented Larange multipliers
摘
要：建立了求解多裂纹扩展的扩展有限元法。引入裂纹交叉汇合加强函数以分析多裂纹交叉汇合过程；在裂纹附近区域
使用广义形函数，并引入线增函数消除混合单元，可有效地提高裂纹附近的精度；用砂浆法（线段-线段接触法）结合增广 型 Lagrange 乘子法处理裂纹段的接触条件，可以精确地模拟裂纹面约束，并方便地求解控制方程。算例分析了两方面内容： （1）计算交叉裂纹体的应力强度因子，结果表明提出的方法精度高；（2）模拟多裂纹扩展及交叉汇合过程，模拟的裂纹扩 展路径与试验结果吻合得较好，表明了方法的可靠性。 关 键 词：多裂纹；扩展有限元法；广义形函数；接触条件；砂浆法；增广型 Lgrange 乘子 文献标识码：A 中图分类号：TU 457