三种目标函数的几何意义

三种目标函数的几何意义

一、 教学目标：

知识目标：1. 了解线性规划意义，并会简单的运用；

2. 能解决一些非线性目标函数的最值问题。

能力目标：提高学生的作图能力、分析能力，培养学生运动变化的数学思维。 情感目标：通过自主学习、合作学习培养学生的团队合作精神。 二、教学重点：三种目标函数的几何意义。

教学难点：非线性函数最值问题。

三、教学工具：powerpoint 课件、几何画板 四、教学过程：

我们已经学习过线性规划的有关知识，请看下面的问题：

【问题】求y x z +=2的最大值，使x ，y 满足约束条件：⎪⎩

⎪

⎨⎧-≥≤+≤11y y x x y 。

（学生自行解答，教师巡视并作个别辅导。在大部分学生完成后，提问学生：） 1. 题目中给出的是关于x ，y 的代数表达式，做题时依据什么能转化为图形？

2. 要正确解答问题，首先要弄清楚z 的意义，你能给大家分享一下你的想法吗？其他同学

还有没有不同想法？

3. 在得出z 的最值时，要说清x 与y 的取值，那么x 与y 应该在什么范围内取值呢？不等

式组表示的区域我们在线性规划里面称作什么？

（多媒体给学生演示z 的变化过程，让学生体会“运动变化”的数学思想。然后给出上述问题的详细解答过程）

【变式1】在上述问题中，如果把目标函数改写成y x z 32+=，那么z 的几何意义又是什么呢？如果改成y x z -=2呢？

上述题目和变式1中提到的目标函数为直线型：By Ax z +=，即y A B x z B z B

=-

+，为直线在y 轴上的截距。z 的几何意义就是直线在y 轴上截距的B 倍。至于z 与截距是否同时

取到最值，还要看B 的符号。

【变式2】如果把题目中目标函数改写成2

3

++=x y z ，那么z 的几何意义会是什么？最值如何呢？如果是改写成x

y z 2

+=

，最值又如何？ 学生分组探究，寻找解决问题的方法。找学生分享自己的想法。 （多媒体演示，z 的变化过程）

在解决变式2中两个函数最值时，不同之处是什么？

（当定点与区域内的点连线斜率都存在时，z 有最值；当定点与区域内的点连线斜率有不存在情况时，z 没有最值，但可以把z 的取值范围写出来。） 变式2中提到的目标函数形如a

x b

y z --=

,z 的几何意义是：平面区域内的动点（x ，y ）与定点（a ，b ）连线的斜率。这里要注意当有斜率不存在的情况改如何表示.

【变式3】如果把题目中目标函数改写成2

2

y x z +=,那么z 的几何意义又会是什么？最值怎么确定？如果改成442

2

+++=y y x z 呢？

在解决变式3中两个函数最值时，不同之处又是什么？

（当定点在区域内时，最小值为0，最大值在区域某个顶点处取到；当定点不在区域内时，最大值在区域某个顶点处取到，最小值可能在顶点处也可能在边界上某点取到。） 变式3中提到的目标函数形如：2

2

)()(b y a x z -+-=，z 的几何意义是：平面区域内的动点（x ，y ）与定点（a ，b ）的距离的平方。

1. 2. 3. 08全国I

13.若x ，y 满足约束条件⎪⎩

⎪

⎨⎧≤≤≥+-≥+30030x y x y x ，则z=2x-y 的最大值为 。

09天津

2.设变量x ，y 满足约束条件⎪⎩

⎪

⎨⎧≤--≥-≥+3213y x y x y x ，则z=2x+3y 的最大值为（ ）

A ．6 B.7 C.8 D.23 08福建

8.若实数x ，y 满足⎩⎨

⎧>≤+-0

01x y x ，则x y

的取值范围是（ ）

A ．（0，1） B.（0，1] C.（1，+∞） D.[1, +∞）

08北京

5.若实数x ，y 满足⎪⎩

⎪⎨⎧≥≥+≥+-0001x y x y x ，则z=y

x 23+的最小值是（ ）

A ．0 B.2 C.3 D.9 09陕西

11.若x ，y 满足约束条件⎪⎩

⎪

⎨⎧≤--≥-≥+2211y x y x y x ，目标函数z=ax+2y 仅在点（1，0）处取得最小值，

则a 的取值范围是（ ） A ．（-1，2） B.（-4，2） C.（-4，0] D.(-2,4)