第三章 caxa三维图形的几何变换

3.3.5旋转变换
3.4投影变换 3.5图形裁剪技术 3.5.1点的裁剪 3.5.2线段的裁剪 3.6数控加工技术概述
3、二维组合变换
上述的几种变换可用统一的变换矩阵形式来实现，称 之基本变换。
但有些变换仅用一次基本变换是不够的，必须由两次 或多次基本变换组合才能实现。这种由多种基本变换组 合而成的变换称之为组合变换，相应的变换矩阵叫做组 合变换矩阵。
（4）将图形按顺时针方向旋转θ角，即作旋转 变换。其变换矩阵为：
（5）直线ax+by+c=0从原点反平移x=c/a，回到直线 原来的位置，即作平移变换。其变换矩阵为：
则图形对一般位置直线的对称变换矩阵T为：
总结：
二维图形几何变换矩阵可用T表示如下：
如果将矩阵T分成四块，则各部分的功能为：
对图形进行比例、对称、旋转、错切等变换。
[a31，a32]对图形进行平移变换， a31、 a32分别为x、y 方向的平移量。
a13 对图形进行投影变换 a23
2、复合变换
解决复合变换问题的一般步骤为： （1）任意点移至坐标原点 （2）实现基本图形变换 （3）反向移回任意点
复合变换是通过基本变换的组合而成的，由于矩阵 的乘法不适用于交换律，即：
（ xp，yp，zp）为投影直线的 向量。
该直线与xoy平面的交点坐标为（x2，y2，0）,则：
因此平行投影变换关系为：
投影变换矩阵
2、正投影---三视图
与二维图形的组合变换一样，可以通过对三维立体图形顺序进 行多种基本变换，来实现复杂的三维图形变换。
主视图：变换矩阵中坐标y＝0，其它坐 标不变：
T xoz =
3、错切变换
变换矩阵T=
式中，D、H是图形沿x方向的错切系数； B、I 是图形沿y方向的错切系数；C、F是图形沿z方 向的错切系数
4、平移变 换
变换矩阵T=
其中L、M、N分别是X、Y、Z方向的平移量
5、旋转变换
（1）绕z轴逆时针旋转θ角对应的变换矩阵为
（2）绕x轴逆时针旋转θ角对应的变换矩阵为
投影变换分类:
正平行
正交投影
正等测投影
平行 投影
投影
正轴测 投影
正二测 正三测
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斜平行 斜等测
投
投影
影
斜二测
一点透视
透视 投影
二点透视
三点透视
1、平行投影
投影直线的方向与向量 的方向一致，投
影平面为xoy平面，设对 象形体上一点的坐标为 （x1，y1，z1），求得过 该点与投影方向一致的 直线的参数方程为
俯视图 令z＝0，绕x顺时针旋转90°， 再在负z方向平移，其变换矩阵为：
左视图：令x＝0，绕z轴逆时针转90°，再沿负x方向平移，变换矩阵为：
透视变换：
是通过视点将三维物体投影到投影面的变换。
a)一点透视
第三章 caxa三维图形的 几何变换
2020年4月23日星期四
1、四边形的四个顶点坐标为（10，20）、 （20 ，20）、（20，10）、（10，10），如果图形在x 方向上的比例变换为2，在y方向上的比例为0.5， 求变换后的各点坐标
2、四边形的四个顶点坐标为（0，10）、 （10，10 ）、（10，0）、（0，0），如果图形在x方向上的错 切变换为2，求变换后的各点坐标
回顾
1、计算机图形学 2、图形生成技术与算法 3、图形变换
（1）窗、视变换 视不变，窗变，图形相反变化 窗不变，视变，图形相同变化
（2）基本变换
授课大纲
基础
重点
3.1二维复合变换的实例 3.2对二维复合变换的一般规 律进行总结 3.3 三维图形的几何变换 3.3.1比例变换 3.3.2对称变换 3.3.3错切变换 3.3.4平移变换
设坐标P经过n次变换T1,T2,…,Tn到P*，则变换结果 为： P* = PT1T2…Tn = PT
式中，T = T1T2…Tn 为总的变换矩阵，组合变换 的目的是将一个变换序列表示为一个变换矩阵。
（1）绕任意点旋转变换
平面图形绕任意点C(x,y)旋转θ角，需要通过以下几 个步骤来实现： (1)将旋转中心平移到原点; (2)将图形绕坐标系原点旋转θ角; (3)将旋转中心平移回到原来位置。
（3）绕y轴逆时针旋转θ角对应的变换矩阵为
四、投影变换
将三维图形向二维平面上投影生成二维图形表示的过程 称为投影变换。
根据视点的远近，投影分为平行投影和透视投影。当投 影中心(观察点)与投影平面之间的距离为无穷远时，为平 行投影，否则为透视投影。
透视投影的图形与眼睛观察景物的原理及效果是一致的 ，因而常用于图形的真实效果显示。由于平行投影后直 线间的平行关系不变，因而它常用于三维图形交互和生 成工程图的视图。
例二：平面图形对一般位置直线ax+by+c=0的对称变换。
（1）将平面图形与直线 ax+by+c=0一起向左平移x=c/a，使 该直线通过原点，即作平移变换。
（2）将直线与平面图形一起按逆时针反向旋转 θ=arctan(-b/a)，使直线与轴重合。即作旋转变 换。
（3）将旋转之后的图形对y轴作对称变换，相当于 对y轴进行对称变换。其变换矩阵为：
3、自己推导出对y=x和y=-x线的对称变换矩阵
（1）将直线y=x按逆时针方 向旋转45度，使直线与y轴重 合。即作旋转变换。
（2）将旋转之后的图形对y轴作对称变换。其变换 矩阵为：
（3）将图形按顺时针方向旋转45角，即作旋转 变换。其变换矩阵为：
则关于直线y=x的对称变换矩阵T为： 同理，可求出关于直线y=-x的对称变换矩阵T为：
[A][B] ≠[B][A]
因此，组合的顺序一般是不能颠倒的，顺序不同， 则变换的结果亦不同，如图所示。
先平移后旋转
先旋转后平移
勇于开始，才能找到成 功的路
三、三维图形的几何变换
三维图形的变换是二维图形变换的简单扩展，变换 的原理还是把齐次坐标点(x,y,z,1)通过变换矩阵变换 成新的齐次坐标点(x’,y’,z’,1)，即
其中T为三维基本(齐次)变换矩阵：
T＝
齐次变换矩阵：
缩放 旋转 错切
平移
整体缩放 透视变换
1、比例变换
变换矩阵T=
式中，A、E、J分别为x,y,z三个坐标方向的比例 因子
2、对称变换
相对于xoy平面的对称变换矩阵为
T xoy =
相对于yoz平面的对称变换矩阵为
T yoz=
相对于xoz平面的对称变换矩阵为