差速器行星齿轮轴的力学分析

抗扭截面系数 W p 、极惯性矩 I p 表示了截面的几何性质，其大小与截面的形状和尺寸有关。
将式（ 5）代入式（ 2），得： τ max =
MT ， Mpa Wp
-------------------------------------------------------（6） ；
空心圆轴截面 （见图6） 对圆心的极惯性矩：I p =
辅助圆直径 d1 （单位： mm ） 、内花键齿根圆/大径的直径 d f 2 （单位： mm ） ；且通过
h ↑⇒ d1 ↑ ＜d 2 =φ92.0 ⇒ τ p ↓ （见图8、9、10）和 d f 2 ↓⇒ τ p ↓ 微量 ，可提高行星齿轮轴（内花键
空心箍）传递扭矩的效率，增强其抗扭能力。当然，前提条件是基于对行星齿轮轴上的十字阶梯轴、渐开 线花键进行必要的强度校核。
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问题的提出
汽车左、右驱动轮间的差速器，可分配两输出轴间的转矩，保证两输出轴有可能以不同的角速度转动，
并保证各种运动条件下的动力传递，避免轮胎与地面间的打滑。其结构形式较多，目前广泛采用对称式圆 锥行星齿轮差速器（见图 1） ，它由差速器左右壳、2 个半轴齿轮、4 个行星齿轮(少数汽车采用 3 个行星齿 轮，小型、微型汽车多采用 2 个行星齿轮)，十字轴结构的行星齿轮轴、半轴齿轮及行星齿轮垫片等组成。
根据静力平衡条件， 截面上任一点的切应力为： τp =
M Tρ Ip
-------------------------（1） ；
式中：τ p 为横截面上任一点的切应力， Mpa ；
M T 为横截面上的扭矩， N .mm ； I p 为截面对圆心的极惯性矩， mm 4 。 M Tρ max Ip
ρ为欲求应力的点到圆心的距离， mm ；
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差速器行星齿轮轴的力学分析——刘胜勇
图8 h' = 45.0 时，辅助圆直径
图9 h' = 46.0 时，辅助圆直径
图10 h' = 47.0 时，辅助圆直径
d1 ' =φ90.0＜d 2 =φ92.0
2.2 十字阶梯轴的强度分析
d1 ' =φ92.0 = d 2 =φ92.0
d1 ' =φ94.0＞d 2 =φ92.0
τp =
MT ≈ (1.24 × 10 −5 ～1.29 × 10 −5 ) × M T ； Wp
---------------------------------------------（11） ；
并且，若行星齿轮轴所传递的功率为 P （单位： kW ） 、转速为 n （单位： 位： N .mm ）： M T = 9.55 × 10 6
πD 4 πd 4 4 − ，mm 32 32
---------------------（7） ；
图 6 空心圆轴扭转变形横截面示意图
图 7 行星齿轮轴中 h 与 d1 关系示意图
对于行星齿轮轴内花键空心箍的抗扭分析，借鉴空心圆轴扭转变形时的横截面应力分析。由图3中 内花键空心箍扭转变形时薄弱环节位于直径 d1 的圆截面上， 且D=2 （据 d1＜d 2 知， ρ 88 ± 0.1 max = d1 =φ 、R = h = 44 ± 0.05 推算而来，见图7） 的依据” 1 ，取 d = d f 2 =φ70 0
同时， 根据 “当量轴径法 （把阶梯轴简化为一当量等径光轴） ” ， 有：d v =
∑d l ∑l
i
i i
； ----------------（16） ；
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差速器行星齿轮轴的力学分析——刘胜勇
' 式中（图 3 中 d 3 、 l3 、 d 4 、 l4 ） ： d i 为轴上第 i 段的直径； li 为轴上第 i 段的长度。
2.2.1 当 h = 45 ± 0.05mm 时： 基于十字轴万向节的设计、强度校核经验，结合行星齿轮轴的实际工况，可知：行星齿轮轴在保证抗 扭前提下，其危险断面主要集中在十字阶梯轴的轴颈根部（图 3 中 k 处） ，且一般通过计算轴颈根部的弯 曲应力来校核行星齿轮轴（十字阶梯轴）的强度。
行星齿轮轴 （十字阶梯轴） 轴颈根部的弯曲应力计算公式： σ=
32 × F × t --------------------（14） ； Mpa ； π × d v3
式中（见图 3） ： F 为作用在十字阶梯轴轴颈上的力（与差速器壳 4 配合处） ，N ；
t 为平均作用力 F 的作用点到校核应力处——轴颈根部的距离， mm ； d v 为十字阶梯轴的当量轴径， mm 。
φ 1940 、 75 −0.5 、 hmax 推算而来） ，代入式（16） ，有： dv = dv =
∑d l ∑l
i i
i i
=
d 3 × l3 + d 4' × l 4 l3 + l4
=
0.009 +0 . 4 29 + − 0.004 × 20.759 + 27.4 − 0.4 × 31.05 ，或 20.759 + 31.05
且：F =
M T max ； 4r
----------------------------------------------------------------------------------------（15） ；
式中： M T 为行星齿轮轴有效传递的扭矩， N .mm ；
r 为十字阶梯轴轴颈的中点至行星齿轮轴中心的距离， mm 。
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差速器行星齿轮轴的力学分析——刘胜勇
将式 （ 3） 代入式 （2） ， 有圆轴横截面上点的最大应力： τ max =
MT R Ip
--------------------------------（4） ；
引入抗扭截面系数 W p ， 单位：mm 3 ， 且Wp =
Ip R
------------------------------------（5） ；
M M d τp = T = T 1 = Wp 2I p
16 16 MT × MT π π ； ---------------------------------（10） ； = 4 0.74 4 df2 70 + ( ) 3 3 d1 − (88 ± 0.1) − 0 d1 (88 ± 0.1)
将式（9）的 W p 代入式（6） ，可得内花键空心箍扭转变形时，横截面上点的应力（单位： Mpa ） ：
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图 2 行星齿轮轴（十字轴结构）零件图（更改前）
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行星齿轮轴的力学分析
根据行星齿轮轴的结构及在差速器中的使用现状，基于力学模型基础上，将其分为三部分来进行力学
分析（见图 3） 。
1—外花键（花键轴） ；2—内花键（花键箍） ；3—齿廓分度线； 1—内花键空心箍；2—十字阶梯轴； 3—渐开线花键；4—差速器壳
1、12-轴承；2-螺母；3、14-锁止垫片；4-差速器左壳；5、13-螺栓；6-半轴齿轮垫片； 7-半轴齿轮；8-十字轴结构的行星齿轮轴；9-4 个行星齿轮；10-行星齿轮垫片；11-差速器右壳
图 1 对称式圆锥行星齿轮差速器爆炸图 汽车运动过程中，差速器中行星齿轮轴（十字轴结构，见图 2）因传递扭矩时的扭转变形、轴颈根部 的弯曲应力影响，在十字轴根部易断裂，致使差速失效，影响汽车正常运行。针对行星齿轮轴在十字轴根 部断裂的现象，据受力情况，对其进行必要的力学分析，寻找合理的解决办法。
0.009 0 .4 将 d 3 =φ29 + 及 l4 max = 75 − hmin = 75 − 44 −0.05 = 31.05 时，l3 min ≈ 20.759 （据 d 4' =φ27.4 + − 0.004 ， − 0.4 ；
； l4 min = 75−0.5 − hmax = 75 −0.5 − 44 +0.05 = 30.45 时， l3 max ≈ 21.46 （据 φ 194 −0.2 、 750 、 hmin 推算而来）
差速器行星齿轮轴的力学分析——刘胜勇
差速器行星齿轮轴的力学分析
摘 要：借鉴空心圆轴扭转变形时的横截面应力模型和十字轴万向节危险断面的分析，把差速器行
星齿轮轴假想为三部分——内花键空心箍、十字阶梯轴和渐开线花键，并彼此关联得分析了行星齿轮轴的 抗扭强度和十字轴轴颈根部抗弯能力，推导出行星齿轮轴扭矩传递效率的四个制约因素，及局部更改对其 他关联部位的强度影响。通过分析，提出并证明了解决行星齿轮轴断裂问题的可行性方法。 关键词：行星齿轮轴；横截面应力；十字轴万向节；扭矩；分析；
图 4 渐开线花键的基本齿廓
图 3 行星齿轮轴的分析模型
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2.1
内花键空心箍的力学分析
图 5 圆轴扭转时横截面应力模型 圆轴扭转时的应力与其变形有关，基于平面假设的基础上，可看作是各横截面向刚性平面一样，绕轴 线作相对转动，横截面应力模型见图 5： ① 圆轴扭转时，由于圆轴相邻横截面间的距离不变，即圆轴未发生纵向变形，故横截面上无正 应力，只在原地刚性转动； ② 圆轴扭转变形时，各纵向线同时等角度发生倾斜，各横截面绕轴线转动了不同的角度，相邻 截面产生了相对转动并相互错动，发生了剪切变形，故横截面上产生切应力。
Ip =
πD 4 πd 4 π π 4 4 + 0.74 − = d1 − d f 2 = (88 ± 0.1)4 − 70 0 32 32 32 32
(
)
[
(
)]， W
4
p
=
Ip R
=
2I p d1
=
2I p 88 ± 0.1
； --（8） ；
计算得： I pmax =
2I p π ( 88.14 − 70 4 ) = 3555322.873mm 4 ， W pmax = = 80711.0754mm 3 ； 32 88.1
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I pmin =
2I p π ( 87.9 4 − 70.74 4 ) = 3400611.982mm 4 ， W pmin = = 77374.5616mm 3 ； -------（9） ； 32 87.9
将式（8）代入式（6） ，可得内花键空心箍扭转变形时，横截面上点的应力表达式（为方便后续 分析，将其展开并代入 d1 、 d f 2 的取值） ：
当圆轴扭转时， 横截面边缘上各点的切应力最大， 且最大切应力为： τ max =
---------（2） ；
Байду номын сангаас
式中：τ max 为横截面上点的 最大切应力， Mpa ； ρ max 为 欲求应力点到圆心的最大距离， mm ；且横截 面上最大应力点到圆心的距离等于圆截面的半径， 即： ρ max = R -----------------------------------------（3） ；
r ） ，则横截面上的扭矩（单 min
P ； n
-------------------------------------------------------------------------（12） ；
差速器行星齿轮轴的材质一般为 20CrMnTi ，其静载时扭转许用切应力： τ [ ]≤ （45～52）Mpa ；同 时，将式 （12） 代入式 （10） 、 （11） ， 可得行星齿轮轴 （内花键空心箍）有效传递扭矩的工作条件-------（13） ：
【 】
d1 。同时，根据“通常以花键轴的底径作为计算花键轴扭转应力 2
+0.74
（ d f 2 —内花键齿根圆/大径的直径， mm ） 。
将D =2 ρmax = d 1 =φ 88 ± 0.1 、 R =
d1 +0.74 、 d = d f 2 =φ70 0 代入式（ 7） 、 （5） ，得： 2
P P P 16 16 4.864 × 10 6 × × 9.55 × 10 6 × × 9.55 × 10 6 × n ≈ n n = π τp = π ≤ [τ ] = 45Mpa ， 4 + 0.74 4 + 0.74 4 df2 ( ( 70 0 ) 70 0 ) 3 3 3 (88 ± 0.1) − (88 ± 0.1) − d1 − d1 (88 ± 0.1) (88 ± 0.1) τp = (118.3233～123.4256) × P Mpa ；即行星齿轮轴（内花键空心箍）有效传递扭矩的四个影响因素： n r 行星齿轮轴所传递的功率 P （单位： kW ） 、转速为 n （单位： ） 、据（ h = 44 ± 0.05 ）推算而来的 min