基于观测器的Lorenz混沌系统参数辨识

第28卷 第12期
2006年12月武 汉 理 工 大 学 学 报JOURNAL OF WUHAN UNIVERSITY OF TECHNOLOGY Vol.28 No.12 Dec.2006
基于观测器的Lorenz 混沌系统参数辨识
王绍明1,2,岳超源1,廖晓昕1,罗海庚
1(1.华中科技大学控制科学与工程系,武汉430074;2.郧阳师专物理与电子工程系,丹江口442700)
摘 要: 在Lorenz 混沌系统的第1个方程的参数或第2个方程的参数是未知的情况下,基于观测器思想,充分利用了混沌信号的特点,提出了构造未知参数观测器的方法,构造了相应的观测器对未知参数进行了辨识,数值仿真结果证明了该方法是有效的和可行的。

该方法可推广到情况类似的其它混沌系统。

关键词: 参数辨识; Lorenz 混沌系统; 观测器
中图分类号: N 945.14文献标志码: A 文章编号:1671-4431(2006)12-0120-04
Parameter Identification of Lorenz Chaos System Based
on Observer
WANG Shao -ming 1,2,YU E Chao -yuan 1,LIAO Xiao -xin 1,LU O Hai -geng 1
(1.Department of Control Science and Engineering,Huazhong University of Science and Technology,Wuhan 430074,China;
2.Department of Physics and Electric Engineering ,Yunyang Teachers College,Danjiangkou 442700,China)
Abstract: Under the cases that the parameter of the first or second equation in Lorenz system is unknown,the method to construct observer of unknown parameter is proposed based on observer idea.T he corresponding observers for unknown parameters in Lorenz sys -tem are designed and the unknown parameters are identi fied using them.Simulations results demonstrate the effectiveness and feasibility of the method.The method can be extended to the others chaos system wi th a similar case.
Key words: parameter identi fication; Lorenz chaos system; observer
收稿日期:2006-08-29.
基金项目:国家自然科学基金(60474011)和湖北省教育厅自然科学重点项目(D200560001).作者简介:王绍明(1966-),男,博士生,副教授.E -mail:shaomingwang @
自1963年Lorenz 发现第一个规范的混沌吸引子以来,许多学者对混沌控制进行了研究并提出了许多不同的控制方法。

特别是在Pecora 和Carrol 1990年提出了混沌同步以后[1],由于在保密通信、信息科学、化学与生命科学等众多领域有极大的潜在应用价值[2],越来越多的研究者加入了混沌系统同步的研究,取得了较
丰富的成果,在过去十几年中,人们提出了许多同步技术,如线性或非线性反馈同步方法[3-4]、自适应同步方
法[5]等等。

在混沌控制和同步领域,如何获得混沌系统的未知参数是一个重要问题。

近几年,人们提出了一些混沌系统参数辨识的方法,主要有基于Lyapunove 理论的同步辨识方法
[6-7]、Bayesian 方法[8]、最小二乘法[9]以及其它方法[10-11]等等。

关新平等人在文献[12]中引入了未知参数观测器对Lorenz 系统的第3个方程中的参数进行了估计,吴晓群等人[13]利用该方法对L 系统中第2个方程的参数进行了辨识,但在这2篇文献中都只是对混沌系统的线性部分的某些特殊参数进行了辨识。

如何构造未知参数观测器对类似于Lorenz 混沌系统的第1个方程和第2个方程中的参数进行辨识,仍是一个未解决的问题。

分别研究了Lorenz 混沌系统第1方程和第2个方程中的参数是未知的情况,构造相应的未知参数观测器并对未知参数进行了辨识,仿真结果表明,该观测
器的构造方法是有效的和可行的。

1 问题描述
Lorenz 混沌系统的微分方程如下Û
x 1=a(x 2-x 1)Û
x 2=bx 1-x 2-x 1x 3Û
x 3=x 1x 2-cx 3(1)
当a =10,b =28,c =8/3时,该系统是混沌的。

要解决的问题是当a 或b 是未知参数时,构造相应的观测器将该未知参数辨识出来。

2 参数a 的辨识
引理:如果x I R n 是一个混沌系统的状态变量,f (x )I C [R n ,R 1]是混沌的,则系统Ûy =-k |f (x )|y (k >0)是渐近稳定的。

证明:从系统的微分方程可以得到y (t )=y 0e -Q t
0k|f (x )|d t 。

因为f (x )是混沌的,所以当t y ]时f (x )不趋近于0。

根据Barbalat 定理,Q ]0k |f (x )|d t y ],所以y (])y 0,即系统渐近稳定。

证毕。

定理1:设在系统(1)的第2个方程中没有未知参数,第1个方程中的a 是未知参数,并且是一个常数,如果系统(1)中所有的状态都可以得到,则可以构造如下观测器
Ûp =-k (x 2-x 1)2p +12
k 2(x 2-x 1)4+k(x 2-x 1)(bx 1-x 2-x 1x 3)^a =p -12
k (x 2-x 1)2
(2) 将a 辨识出来。

其中p 是一个辅助变量,^a 是a 的估计值,k 是大于0的常数。

证明:因为a 是一个常数,所以有 Ûa =0
(3)由于未知参数a 可以看作是系统(1)的1个状态变量,可将式(3)并入式(1)得到一个增广系统。

根据系统(1)中的第一个方程可以设计如下观测器
a #^=-L (N )(x 2-x 1)^a +L (N )Ûx 1
(4) 其中L (N )是一个被设计的增益函数,N =N (x 1,x 2)。

令e(t)=^a -a,则有
Ûe (t)=a #^-Ûa =-L (N )(x 2-x 1)e(t)(5)
如果选取一个合适的增益函数L(N )使误差系统(5)渐近稳定,则当t y ]时,^a (t)y a 。

但是,在实际情况下,Ûx 1的导数是不能观测到的,所以,观测器(4)不能直接应用。

因此,引入一个辅助变量
p =^a +5(N )
(6) 其中,5(N )是一个要设计的辅助函数,它满足 L(N )=
d 5(N )d N (7)由式(6)、式(7)、式(4)可以得到
Ûp =a #^+Û5(N )=-L (N )(x 2-x 1)^a +L (N )Ûx 1+d 5(N )d N [5N 5x 1Ûx 1+5N 5x 2Ûx 2
](8) 当选择N =x 2-x 1,L (N )=k N =k (x 2-x 1)(k >0)时,可以得到
5(N )=12k N 2=12
k(x 2-x 1)2
(9)Ûe (t)=-k (x 2-x 1)2e(t)
(10)Ûp =-k (x 2-x 1)2^a +k (x 2-x 1)Ûx 2
(11) 由于混沌系统(1)的第二个方程没有未知参数,所以Ûx 2可从系统(1)中的第2个方程得到Ûx 2=b x 1-x 2
-x 1x 3,将其代入式(11),结合式(6)和式(9)可得到观测器(2)。

121第28卷 第12期 王绍明,等:基于观测器的Lorenz 混沌系统参数辨识
根据引理,可以看到误差系统(10)是渐近稳定的,即t y ]时,^a (t)y a,所以,观测器(2)能将未知参数a 辨识出来。

证毕。

3 参数b 的辨识
定理2:设系统(1)中第一个方程没有未知参数,第二个方程中的b 是未知参数且是一个常数,如果系统
(1)中所有的状态都可以得到,则可构造如下观测器
Ûp =-kx 21p -k 2x 31x 2+kx 1(x 2+x 1x 3)-kx 2[a (x 2-x 1)]
^b =p +kx 1x 2
(12) 将参数b 辨识出来。

其中p 是一个辅助变量,^b 是b 的估计值。

证明:因为b 是一个常数,所以有 Ûb =0
(13)仿照定理(1),可设计如下观测器
b #^=-L(x 1)x 1^b +L (x 1)(x 2+x 1x 3+Ûx 2)
(14) 其中L (x 1)是一个被设计的增益函数。

令e(t)=^b -b,则有
Ûe (t)=b #^-Ûb =-L (x 1)x 1e(t)(15)
如果选择适当的增益函数L(x 1)使误差系统(15)渐近稳定,则当t y ]时,^b y b 。

但是,在实际情况下,Ûx 2的导数是不能观测到的,所以,观测器(14)不能直接应用。

因此,引入一个辅助变量和构造一个辅助函数以消除观测器(14)中的Ûx 2。

设
p =^b +5(x 1,x 2)
(16)
其中,5(x 1,x 2)是一个要设计的辅助函数,它满足
55(x 1,x 2)5x 2
=-L (x 1)(17) 由式(16)、式(14)和式(17)可得
Ûp =-L(x 1)x 1^b +L (x 1)(x 2+x 1x 3+Ûx 2)+55(x 1,x 2)5x 1Ûx 1+55(x 1,x 2)5x 2Ûx 2=-L (x 1)x 1p +L (x 1)[x 15(x 1,x 2)+x 2+x 1x 3]+55(x 1,x 2)1
Ûx 1(18) 因为系统(1)中的第一个方程没有未知参数,所以Ûx 1能从系统的第一个方程中得到,将其代入式(18),有
Ûp =-L (x 1)x 1p +L (x 1)[x 15(x 1,x 2)+x 2+x 1x 3]+55(x 1,x 2)5x 1a (x 2-x 1)(19)
所以,只要选择适当的增益函数L(x 1)和辅助函数5(x 1,x 2),就能通过由式(19)和式(16)组成的观测器可将未知参数b 辨识出来。

当选择L (x 1)=kx 2n -11
(n =1,2,,)(k >0)时,根据引理,误差系统(15)渐近稳定,即当t y ]时,^
b (t)y b,最简单的选择是L (x 1)=kx 1,(k >0),此时5(x 1,x 2)=-kx 1x 2,将其代入式(19)便可得到观测器(12)。

证毕。

4 仿真结果
在下面仿真中均使用Matlab7.04中的ode45方法,初始条件均为[x 1(0),x 2(0),x 3(0),p (0)]=
[5,5,5,14]。

图1是利用观测器(2)对参数a 的辨识结果,k =0.2,其中图1(b )是参数a 在t =2s 时有一个扰动$a =1的辨识结果。

图2是利用观测器(12)对参数b 辨识的结果,k =0.2,图2(b )是参数b 在t =2s 时有一个扰动$b =-2的辨识结果。

122 武 汉 理 工 大 学 学 报 2006年12月
5 结 语
基于状态观测器对混沌系统的未知参数进行辨识的方法只要求能得到系统的部分或全部状态变量即可,避免了利用其它的较复杂的理论,如Lyapunove 稳定性理论等,非常简明。

对Lorenz 混沌系统的第1个方程的参数或第2个方程的参数是未知的情形,提出了构造混沌未知参数状态观测器的方法,并用构造的观测器对未知参数进行了辨识,数值仿真结果证明了该方法是有效的和可行的。

该方法同样适用于情况类似的其它混沌系统。

参考文献
[1] Pecora L M,Carrol T L.Synchronization in Chaotic System[J].Phys Rev Lett,1990,64:821-824.
[2] Chen G,Dong X.From Chaos to Order:M ethodologies,Perspectives and Applications[M].Singapore:World Scientific,1998.
[3] Liu F,Ren Y,Shan X,et al.A Linear Feedback Synchronization Theorem for a Class of Chaotic Systems[J].Chaos Solitons and Frac -
tals,2002,13:723-730.
[4] Chen M,Han Z.Controlli ng and Synchronization Chaotic Genesio System via Nonlinear Feed back Con trol[J].Chaos Soli tons and Frac -
tals,2003,17:709-716.
[5] Yassen M T.Adaptive Con trol and Synchronization of a Modified Chua .s Circuit System[J].Appl M ath Comput,2003,135:113-128.
[6] Parlitz U.Estimating Model Parameters from Time Series by Autosynchronization[J].Phys Rev Lett,1996,76:1232-1235.
[7] Chen S H,Hu J,L J H.Adaptive Synchronization of Uncertain Ro &ssler Hyperchaotic System Based on Parameter Ddentification[J].
Phys Lett A ,2004,321:50-55.
[8] Meyer R,Christensen N.Bayesian Reconstruction of Chaotic Dynamical Systems[J].Phys Rev E,2000,62:3535-3542.
[9] Baker G L,Gollub J P,Blackburn J A.Inverting Chaos:Extracting Sys tem Parameters from Experi mental Data[J].Chaos,1996(6):
528-533.
[10] Palaniyandi P,Lakshmanan M.Estimation of System Parameters and Predicting the Flow Function from T i me Series of Continuous Dy -
namical Systems[J].Phys Lett A,2005,338;253-260.
[11] Li L X,Yang Y X,Peng H P,et al.Parameters Identification of Chaotic Systems via Chaotic Ant Swarm[J].Chaos Soli tons and
Fractals,2006,28:1204-1211.
[12] Guan X P,Peng H P,Li L X,et al.Parameter Identi fication and Con trol of Lorenz Sys tem[J].Acta Phys Sin,2001,50:26-29.
[13] Wu X Q ,Lu J A.Parameter Identification and Backstepping Control of Uncertain L System[J].Chaos Solitons and Fractals,2003,
18:721-729.123第28卷 第12期 王绍明,等:基于观测器的Lorenz 混沌系统参数辨识。