解析映射的性质

定义6 (1) 函数自变量x 所在区域G 称定义域，点x 称原像；y 所在区域D 称值域，点y 称像；f 也可叫做映射或变换.
(2)如果一个点0x 只有一个0y 与之对应则称f 为单值的；如果一个点0x 有多余一个0y 与之对应则称f 为多值的.
(3)如果任意两个1x ，2x ()21x x ≠对应的y 也不同，则称f 是单叶的；如果存在两个或两个以上的点1x ，2x ， ()j i x x j i ≠≠,对应同一个0y ，则称f 是多叶的.单值函数()x f y =又是单叶的，则称()x f y =为一一对应的.
定义7（1）把解析函数所构成的映射（变换）称为解析映射（变换）；
（2）原曲线在点0z 的切线正方向到变换后的像曲线在像点)(00z f =ω的切线正方向的角称为变换)(z f =ω在点0z 的一个旋转角；
（3）像曲线Γ上的两个像点)(z f =ω和)(00z f =ω之间的距离0ωωω-=∆与原像曲线C 上相应的两个原像点z 和0z 之间的距离0z z z -=∆之比的极限
z C z z ∆∆∈→∆ω0lim
称为变换)(z f =ω在点0z 的一个收缩率. 定理8(保域性）设平面泛复函)(z f =ω在区域D 内解析且不恒为常数，则D 的像集)(D f G =也是一个区域.
证明：第一步：先证)(D f G =是开集（即G 中每一个点都是内点）. 设G ∈0ω，则存在D z ∈0，使得)(00z f =ω.要证0y 是G 的内点,只需证明，当*ω与0ω充分接近时，*ω仍属于G ，即存在0ω的一个领域()G U ⊂δω,0.要证这个结果，只需证明，当*ω与0ω充分接近时，方程)(*z f =ω在区域D 内有解即可. 当0*ωω=时，结论显然成立；当0*ωω≠时，由推论3知，存在()G U ⊂δω,0， 使得当()G U ⊂∈δωω,00*时，必有0z 的空心邻域D z U ⊂)(00,)(*z f =ω在)(00z U 内有解，即G ∈*ω.所以)(D f G =是开集.
第二步：再证)(D f G =具有连通性（即对G 内任意两点，都能找到全含在G 内的一条折线将它们连接起来）. 对于G 内任意两点)(11z f =ω和)(22z f =ω，因为D 是区域，则可以在D 内取一条全含于D 的连接1z 和2z 的折线C :)(t z z =(21t t t ≤≤，)(11t z z =，)(22t z z =） 其像曲线Γ：[])(t z f =ω（21t t t ≤≤）就是全含于G 的折线连接1ω和2ω. 综上所述，)(D f G =必为区域. 推论5 若)(z f =ω在区域D 内单叶解析，则D 的像集)(D f G =也是一个区域. 证明：因为)(z f =ω在区域D 内单叶解析，必有)(z f =ω在区域D 内解析且不恒为常数，由定理4，结论成立. 定理5 （保角性）。