对数平均数的应用(史上最全题型)

★已知函数f (x) ln x和g(x) ax,若存在两个实数x1, x2且x1 x2,满足f (x1) g(x1),
f
(x2 )
源自文库
g(x2 ),求证
:
x1
x2
2 a
思考 : 实数a的取值范围是什么？
(1) ln x1 ax1
ln x2
ax2
x1 ln x1
x2 ln x2
1 a
专题四、对数平均不等式在高考中的应用
★已知a
0, b
0,
1
2
1
ab a b 2
a2 b2 (a b时取等号) 2
ab
简记：调几算方
★已知a
b
0, b
1
2
1
ab a b a b ln a ln b 2
a2 b2 a 2
简记：调几对算方
ab
证明1: (比值代换)令t a 1,则 ab a b a b b t b(t 1) b(t 1)
ln a ln b
ba
ba
记f (a) ln a ln b a b , a (b, ) f '(a) 1 1 b ( a b) 0
ba
a 2 ab 2a a 2a ab
f (x)在(b, )单调递减 f (a) f (b) 0,左边得证,右边同理可证.
证法3.(构造函数法)先证 : ab a b ln a ln b
再证 : a b a b ln a ln b 2
要证
a ln a
b ln b
a 2
b ,只需证 a a
b b
ln a
ln b 2
a
b a
1 1
ln a b 2
,令 a b
x
1,
b
只需证 x 1 ln x 1 2 ln x , x 1.设g(x) 1 2 ln x , x 1
f
(x2 )
x1e x1
x2e x2
ln x1
x1
ln x2
x2
x1 ln x1
x2 ln x2
1
x1x2
1
x1 x2 2
x1
x2
2
★极值点偏移问题,多与指数函数或对数函数有关,解题的关键有以下几步 : (1)根据f (x1) f (x2 ) 0建立等量关系; (2)等量关系中如果含有参数, 可考虑消参; 如果含有指数式, 可考虑两边取对数; (3)通过恒等变形转化出对数平均数(的值或仍用x1, x2表示),代入对数平均不等式求解．
f '( x1x2 ) 0 x1x2 ln a.
f
(x)
0
ex
a(x
1)(a
e2 )
x
ln a
ln(x
1)
x1 x2
ln a ln(x1 1) ln a ln(x2 1)
① ②
x1
x2
( x1
1)
( x2
1)
ln( x1
1)
ln( x2
1)
( x1 ln( x1
1) 1)
(x2 1) ln(x2 1)
x 1 2
x 1 2
x 1 2
g
'( x)
(x
2 1)2
1 2x
(x 1)2 2x(x 1)
0
g(x)在(1, )上单调递减
g(x)
g (1)
0
1
2 x 1
ln x . 2
★对于函数f (x) xex ,已知f (x1) f (x2 ), x1 x2, 证明: x1 x2 2.
f
(x1)
★设函数f
(x)
ln
x
ax2
(2
a)x的两个零点是x1, x2 ,求证 :
f
x1
2
x2
0.
f '(x) 1 2ax 2 a 2ax2 (2 a)x 1.(1)当a 0时, f '(x) 0在(0, )恒成立;
x
x
(2)当a 0时, f '(x) 2ax2 (2 a)x 1 (ax 1)(2x 1) ,令f '(x) 0 x 1 或x 1 ,
b
ln a ln b 2
ln t
2
t t 1 t 1 2 ln t 1 2(t 1) ln t t 1 ,构造函数可证.
ln t 2 t 1 t 1 t t 1
t
证明2 : (主元法)设a b,则 ab a b ln a ln b a b ln a ln b a b 0,
x
x
2
a
f
(x)在(0, 1 ) ,( 1 , ) , aa
要证 ab a b ,只需证ln a ln b a b ln a a b ,令 a x 1,
ln a ln b
ab
bba b
只需证2ln x
x
1,x x
1,设f
(x)
2ln x
x
1,x x
1
f
'( x)
2 x
1
1 x2
(
x
1)2 x2
0
f (x)在(1, )上单调递减 f (x) f (1) 0 2ln x x 1 ,得证。 x
1
( x1
1)( x2
1)
1
( x1
1)
2
( x2
1)
(运用公式
:
ab a b a b) ln a ln b 2
(xx11x12)(x241) 1,
x1 x2 2ln a ln(x1 1)(x2 1) 2ln a
x1x2
x1 x2 2
ln a
f (
x1x2 ) 0
a(x 1) ex;
(1)当x 1时,0 e,不合题;
(2)当x 1时, a ex ,设g(x) ex ,
x 1
x 1
ex (x 1) ex ex (x 2) g '(x) (x 1)2 (x 1)2 ,
当x 2时, g '(x) 0;当1 x 2时, g '(x) 0
0
a
1 e
1 a
x1 x2 2
x1
x2
2; a
(2) x1 x2
e2
ln
x1
ln
x2
2
a( x1
x2 )
2
x1
x2
2 a
★设函数f (x) ex ax a,其图像与x轴交于A(x1,0), B(x2,0)两点, 且x1 x2, 证明: f '( x1x2 ) 0. 思考 : 实数a的取值范围是什么？
g(x)min g(2) e2; (3)当x 1时, g '(x) 0且g(x) 0(极限思想),不合题.
★设函数f (x) ex ax a,其图像与x轴交于A(x1,0), B(x2,0)两点, 且x1 x2, 证明: f '( x1x2 ) 0.
思路探索 : f '(x) ex a,当a 0时, f '(x) 0,不合题;当a 0时,令f '(x) ex a 0 x ln a; 令f '(x) ex a 0 x ln a, y f (x)在(,ln a) ,在(ln a, ) .