第十二章 微分方程

第十二章 微分方程

§12-1 微分方程的基本概念

一、判断题

1.y=ce x 2(c 的任意常数)是y '=2x 的特解。 ( )

2.y=(y '')3是二阶微分方程。 ( )

3.微分方程的通解包含了所有特解。 ( )

4.若微分方程的解中含有任意常数，则这个解称为通解。 （ ）

5.微分方程的通解中任意常数的个数等于微分方程的阶数。 （ ） 二、填空题 1.

微分方程.(7x-6y)dx+dy=0的阶数是 。 2. 函数y=3sinx-4cosx 微分方程的解。 3. 积分曲线y=(c 1+c 2x)e x 2中满足y x=0=0,

y 'x=0=1的曲线是 。

三、选择题

1．下列方程中 是常微分方程 （A ）、x 2

+y 2

=a 2

(B)、 y+

0)(arctan =x

e

dx

d (C)、

2

2

x

a ∂∂+

2

2

y

a ∂∂=0 （D ）、y ''=x 2+y 2

2.下列方程中 是二阶微分方程

（A ）（y ''）+x 2y '+x 2=0 (B) (y ') 2+3x 2y=x 3 (C) y '''+3y ''+y=0 (D)y '-y 2=sinx

3.微分方程

2

2

dx

y d +w 2y=0的通解是 其中c.c 1.c 2均为任意常数

（A ）y=ccoswx (B)y=c sinwx (C)y=c 1coswx+c 2sinwx (D)y=c coswx+c sinwx

4. C 是任意常数，则微分方程y '=32

3y 的一个特解是

（A ）y-=(x+2)3 (B)y=x 3+1 (C) y=(x+c)3 (D)y=c(x+1)3 四、试求以下述函数为通解的微分方程。 1．22

C Cx y +=（其中C 为任意常数） 2.x

x

e

C e

C y 3221+=（其中21,C C 为任意常数）

五、质量为m 的物体自液面上方高为h 处由静止开始自由落下，已知物体在液体中受的阻力与运动的速度成正比。用微分方程表示物体，在液体中运动速度与时间的关系并写出初始条件。

12-2 可分离变量的微分方程

一、求下列微分方程的通解

1． sec 2.tacydx+sec 2

ytanxdy=0

2． (x+xy 2)dx-(x 2y+y)dy=0

3． (e x+y -e x )dx+(e x+y -e y )dy=0

4． y '=cos(x-y).(提示令.x-y=z)

二、求下列微分方程满足所给初始条件的特解

1． cosydx+(1+e -x

)sinydy=0. y x=0=

4

π

2.1.1sec 2

32

-==+=

πx y

xdx dy y

x

三 、设f(x)=x+⎰x 0

f(u)du,f(x)是可微函数，求f(x)

四、求一曲线的方程，曲线通过点（0.1）,且曲线上任一点处的切线垂直于此点与原点的连线。

五、船从初速v 0=6米/秒而开始运动，5秒后速度减至一半。已知阻力与速度成正比，试求船速随时间变化的规律。

12-3 齐次方程

一、求下列齐次方程的通解 1 y x '-xsin 0

=x y 2 (x+ycos

)x

y dx-xcos

x

y dy=0

二 求下列齐次方程满足所给初始条件的特解

1．xy

ax

dy =x 2+y 2

y

x=e =2e 2.x 2dy+(xy-y 2

)dx=0y

x=1=1

三、求方程：（x+y+1）dx=(x-y+1)dy 的通解

四、设有连结点O(0，0)和A （1，1）一段向上凸的曲线孤A O ⋂对于A O ⋂上任一点 P （x ，y ）,曲线孤与P O ⋂直线段OP -

所围图形的面积为x 2，求曲线孤A O ⋂的方程。

12.4 一阶线性微分方程

一、求下列微分方程的通解

1.x y '+y=xe x

2.y '+ytanx=sin2x

3.y '+

x

x y x sin 1=

4.

y

e

y x y dx

dy 3

+=

二、求下列微分方程满足初始条件的特解

1．y 'cosy+siny =x y 4

0π==x 2.(2x+1)e y y '

2e y =4 y

00

==x

三、已知f(π),曲线积分b

a ⎰[]

dy x f dx x

y x f x )()(sin +-与路径无关，求函数f(x).

四、质量为M 0克的雨滴在下落过程中，由于不断蒸发，使雨滴的质量以每秒m 克的速率减少，且所受空气阻力和下落速度成正比，若开始下落时雨滴速度为零，试求雨滴下落的速度与时间的关系。

五、 求下列伯努利方程的通解

1．y ′+x y x

=12y 5 2. xy ′+y-y 2lnx=0