3.2基本关联矩阵及其性质

v6 0 0 0 0 0 0 1 0 1 1
Th3.2.1有向图G的关联矩阵B的秩<n
证明 由于矩阵B的每列表示每边的起点与 终点,起点处为1,终点为-1. 行1+行2+…+行n=0,故 行n=-行1-行2-…-行n-1，即行n为前n-1 的线性组合，即行n与前n-1行不独立,故独 立行数即B的秩<n.
定理3.2.3 连通图G有n个结点，点与边的 完全关联矩阵的秩为n-1。 证明：线性无关的最大行数为n-1，再多 1行即n行就相关，即线性相关的最少行 数为n， 用反证法证明。 即假设线性相关的最少行数为L<n，寻 找错误的结论。
定理3.2.3 连通图G有n个结点，点与边的 完全关联矩 0 0 0 1 1 0
v4 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 e1 e3 e7 e8
V1
v5 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1
e10
v6 0 0 0 0 0 0 1 0 1 1 e2 子阵B(Gc) B(C) (L点L边) V3 e9 V6
证明:只需针对初级回路进行讨论. 设回路C包含了G的L个结点L条边. 不妨假设L<n,这L 条边对应关联矩阵B的L列,这L列构成B的子阵B(Gc). 回路C的关联矩阵B(C) 是L阶方阵,又由于C是连通图, 故B(C)的秩为L-1. 由秩的定义可知，矩阵B(C)的L个列向量线性相关。 (即而n基-L本-1关行联)全矩是阵0B(因k中这与L这条L边条只边与对回应路的CL中列的向L量个的结下点方相 关,与其他点无关故为0)，故Bk中这L个列也线性相关。
v5 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1
v6 0 0 0 0 0 0 1 0 1 1
V4
e4
e5
V2
e6
V5
e1
V1
e3
e7
e8 e10
e2
V3
e9
V6
v1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 v2 1 0 1 1 0 1 1 0 0 0 v3 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 B5 v4 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0
回路矩阵能找出所有相关、无关边
设初级回路C包含了G的L个结点，由点与边均
不重复，C肯定有L条边,这L条边对应关联矩阵B
的联L矩列阵,这B(LC列) (构L点成LB边的)子。阵B(Gc)，环C本V身4 的关
v1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0
e4 e5
v2 1 0 1 1 0 1 1 0 0 0 V2 e6
e1...et
全0元的列
B P
2个非0元的列

0
0
L
Q n L
因L<n故n-L>0，则B'至少分为两个连通分枝，而B'仅
是B进行“行-行”与“列-列”互换得到, 是改变点与边 在关联矩阵中出现的顺序，故保持连接性不变，故B也 有2个连通分枝，故原图G不连接.与原图是连通矛盾！
故线性相关至少需要n行，小于n无关，线性无关最大 行数为n-1
证明:.
如果某个N-1阶子阵Bk(GT)的行列式非0, 则这n-1列线性无关,即这n-1边线性无关。
由推理3.2.2可知,则这n-1条边中不含回路 (若有回路则线性相关)。
由树的定义含有n-1条不构成回路的边， 即构成一棵树，即为支撑树。
定理3.2.2 令Bk是有向连通图G的基本关联 矩阵,那么Bk的某n-1阶子阵行列式非0的 是其各列所对应的边构成G的支撑树.
对关联矩阵的列进行调整，将这L行中列中含 有2个非0元的列调整最前面，全0的调整到后面.
最后将这L行调整到最前面。
定理3.2.3 连通图G有n个结点，点与边的 完全关联矩阵的秩为n-1。
证:假设线性相关的最少行数为L<n. 对关联矩阵的列进行调整，将这L行中列中含
有2个非0元的列调整最前面，全0的调整到后面. 最后将这L行调整到最前面。 记L行中含2个非0元的列数为t，即这L行只与
子阵B(Gc)的L列相关
推论3.2.2 设H是连通图G的子图,若 H含有回路,则H的诸边对应的G的基本 关联矩阵各列线性相关.
减少找回路范围
定理3.2.2 令Bk是有向连通图G的基本 关联矩阵,
Bk的某n-1阶子阵行列式非0
其各列对应的边构成一棵支撑树。
不在某回路上!
定理3.2.2 令Bk是有向连通图G的基本关 联矩阵,那么Bk的某n-1阶子阵行列式非0的 是其各列所对应的边构成G的支撑树.
b12
b13
b21
b22
b23
a b c 0

0


0


0

0
0
0
本节讨论对象为有向连通图G
定义3.2.1基本关联矩阵:在有向连通图
G对的应关的联行矩,得阵到B一中个划(去n-任1)×意m结的点矩V阵k所Bk, 称为G的一个基本关联矩阵.
结点数为n的连通图G的基本关联矩阵的秩是 n-1,其中边数最少的连通图是“树”,它恰好有n1边,这n-1边是线性无关的.
其它连通图中的边数>n-1,而这些边中又只有 n-1列是线性无关的,那么哪些列是线性无关的呢? 如何寻找呢？
定理3.2.5 C是连通图G的一个回路,Bk是G的一 个基本关联矩阵,那么回路C中各点与各边对应 Bk的列线性相关. 一个回路中的边是线性相关的。
此定理说明，基本关联矩阵Bk中，n-1 阶非0子式的个数，为G的生成树的棵数。
而Bk恰好有n-1行,关键是寻找n-1个线性 无关的列,构成树的边的组合是其对应子式 非0.
下一节，将介绍基于基本关联矩阵计算
生成树棵数的方法、写出生成树序列的方 法。
3.2基本关联矩阵 及其性质
一、树：连通、无回路、每边是割边、n-1条边 二、至少有两个度数为1的结点(叶子) 三、矩阵线性无关最大行数=
矩阵线性无关最大列数= 矩阵中非零的方阵的最大阶数= 列对应图中边，最大线性无关的边数
四、回路中的边线性k相关，对应的列线性相关， 这些列中任意K阶子式为0
b11
v1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0
v2 1 0 1 1 0 1 1 0 0 0
v3 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0
v4 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0
v5 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1
v6 0 0 0 0 0 0 1 0 1 1
Th3.2.2设S是有向图的关联矩阵B任一 k阶方阵,则Det(S)=0,1或-1.
Th3.2.2设S是有向图的关联矩阵B
任一k阶方阵,则Det(S)=0,1或-1.
证 对明 于： (k+1假)阶设方n=阵k时S，，由de于t(S关k)联=1矩、阵0、的-每1. 列只有2 个非0元即+1,-1,故S的每列最多只有2个非0元 +1,-1。S的情况如下：
(1)S有一列全为0则det(S)=0。 (2)每列都不全为0，即每列都有非0元。 (2.1)每列都有两个非零元即每列都有+1、-1， 则将前k行加到第k+1行，则使得第k+1行为0， 故det(S)=0。 (2.2)某一列只有一个非零元aij，则按其展开为
证明:. 设对应边的构成一棵树,则由树的定义可 知,它有n-1条边无回路,则这些边线性无关, 对应的列向量线性无关。
基本关联矩阵Bk(T)只有n-1行，因此这 n-1行与树中的n-1边所对应的列向量构成 n-1阶方阵。
由线性代数知识可知，线性无关的n-1列 所对应的n-1阶行列式值不等于0。
定理3.2.2 令Bk是有向连通图G的基本关联 矩阵,那么Bk的某n-1阶子阵行列式非0的 是其各列所对应的边构成G的支撑树.
证:假设线性相关的最少行数为L<n.
k1b(i1)+k2b(i2)+…+k Lb(iL)=0 ki0,i=1…L 因关联矩阵每列只有二个非0元，则这L行所形 成的矩阵中每列至多有2个非0元，有些列可能全 是0，但不可能只有1个非0元。 假设某列j只有1个非0元在ki行，则该列各数的 线性组合=ki*bij=ki=0，与ki0矛盾.
这t条边相关，则有如下分块矩阵：
e1...et
全0元的列
B P
2个非0元的列

0
0
L
Q n L
定理3.2.3 连通图G有n个结点，关联矩阵的秩为n-1。
证:假设线性相关的最少行数为L<n. L行对应的L点只与这t条边相关，n-L个点与t条没关系， 那么n-L个点不可能与L点有边相连！故不连通！
V4
e4
e5
V2
e6
V5
e1
V1
e3
e7
e8 e10
e2
V3
e9
V6
V4
e4
e5
V2
e6
V5
e1
V1
e3
e7
e8 e10
e2
V3
e9
V6
v1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0
v2 1 0 1 1 0 1 1 0 0 0
v3 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0
v4 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0
det(S)=aij*(-1)i+jdet(Sk)=(-1)i+jdet(Sk)=1,0,-1
各阶子式的值是0,-1,+1.
v1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 v2 1 0 1 1 0 1 1 0 0 0 v3 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 v4 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 v5 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1 v6 0 0 0 0 0 0 1 0 1 1
v1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0
v2 1 0 1 1 0 1 1 0 0 0
v3 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0
v4 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0
v5 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1
v6 0 0 0 0 0 0 1 0 1 1
B(C) (L点L边)秩为L-1,则其L列相关
化，故根据其秩数可判断网络的连通性。
推论3.2.1 n个结点树T的基本关联矩阵的 秩是n-1.
证明:T是连通无回路的图，是一个特殊 的连通图。
给每条边加上方向，父结点为边的起点， 子结点为边的终点，则树T是有向连通图。
根据定理3.2.3可知，故它的基本关联矩 阵的秩是n-1.
有向图的连通性,是在忽略每边的方向后 确定的,这与其它教材上关于有向图的定 义不一样,请注意.
定理3.2.4 连通图基本关联矩阵Bk的秩n-1. 证明: 由定理3.2.3的证明可知,线性相关的行 数至少为n，故小于n则线性无关。 即任意n-1行肯定线性无关，而Bk是关联矩阵 的某n-1行，故线性无关，故Bk的秩为n-1。 说明：
若G的结点为n，连通分支数为w，则完全关联 矩阵的秩为n-w。 分支数w=点数n-关联矩阵的秩rank(B) 特别是w=1即G连通时,秩为n-1 点数是确定的，关联矩阵随网络连接情况而变
证明 当k=1时det(S1)=1、0、-1. 当k=2时det(S2)=1、0、-1.
det(S2)=a11*a22-a21*a12 v1是边e1的起终无 若a11=1,a21=0 det(S2)=a22=1、0、-1 若a11=1,a21=-1 det(S2)=a22+a12，第2列中两 元可能:1与-1、1或-1、全0。 若a11=-1,a21=1 det(S2)=-a22-a12=-(a22+a12)同上。 若a11=-1,a21=0 det(S2)=-a22=1、0、-1 若a11=0,a21=1 det(S2)=-a12=1、0、-1 若a11=0,a21=-1 det(S2)=a12=1、0、-1