3.2基本关联矩阵及其性质
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
证明:.
如果某个N-1阶子阵Bk(GT)的行列式非0, 则这n-1列线性无关,即这n-1边线性无关。
由推理3.2.2可知,则这n-1条边中不含回路 (若有回路则线性相关)。
由树的定义含有n-1条不构成回路的边， 即构成一棵树，即为支撑树。
定理3.2.2 令Bk是有向连通图G的基本关联 矩阵,那么Bk的某n-1阶子阵行列式非0的 是其各列所对应的边构成G的支撑树.
此定理说明，基本关联矩阵Bk中，n-1 阶非0子式的个数，为G的生成树的棵数。
而Bk恰好有n-1行,关键是寻找n-1个线性 无关的列,构成树的边的组合是其对应子式 非0.
下一节，将介绍基于基本关联矩阵计算
生成树棵数的方法、写出生成树序列的方 法。
V5
v3 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0
v4 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 e1 e3 e7 e8
V1
v5 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1
e10
v6 0 0 0 0 0 0 1 0 1 1 e2 子阵B(Gc) B(C) (L点L边) V3 e9 V6
证明:只需针对初级回路进行讨论. 设回路C包含了G的L个结点L条边. 不妨假设L<n,这L 条边对应关联矩阵B的L列,这L列构成B的子阵B(Gc). 回路C的关联矩阵B(C) 是L阶方阵,又由于C是连通图, 故B(C)的秩为L-1. 由秩的定义可知，矩阵B(C)的L个列向量线性相关。 (即而n基-L本-1关行联)全矩是阵0B(因k中这与L这条L边条只边与对回应路的CL中列的向L量个的结下点方相 关,与其他点无关故为0)，故Bk中这L个列也线性相关。
定理3.2.3 连通图G有n个结点，点与边的 完全关联矩阵的秩为n-1。 证明：线性无关的最大行数为n-1，再多 1行即n行就相关，即线性相关的最少行 数为n， 用反证法证明。 即假设线性相关的最少行数为L<n，寻 找错误的结论。
定理3.2.3 连通图G有n个结点，点与边的 完全关联矩阵的秩为n-1。
这t条边相关，则有如下分块矩阵：
e1...et
全0元的列
B P
2个非0元的列
0
0
L
Q n L
定理3.2.3 连通图G有n个结点，关联矩阵的秩为n-1。
证:假设线性相关的最少行数为L<n. L行对应的L点只与这t条边相关，n-L个点与t条没关系， 那么n-L个点不可能与L点有边相连！故不连通！
b12
b13
b21
b22
b23
a b wenku.baidu.com c 0
0
0
0
0
0
0
本节讨论对象为有向连通图G
定义3.2.1基本关联矩阵:在有向连通图
G对的应关的联行矩,得阵到B一中个划(去n-任1)×意m结的点矩V阵k所Bk, 称为G的一个基本关联矩阵.
化，故根据其秩数可判断网络的连通性。
推论3.2.1 n个结点树T的基本关联矩阵的 秩是n-1.
证明:T是连通无回路的图，是一个特殊 的连通图。
给每条边加上方向，父结点为边的起点， 子结点为边的终点，则树T是有向连通图。
根据定理3.2.3可知，故它的基本关联矩 阵的秩是n-1.
有向图的连通性,是在忽略每边的方向后 确定的,这与其它教材上关于有向图的定 义不一样,请注意.
回路矩阵能找出所有相关、无关边
设初级回路C包含了G的L个结点，由点与边均
不重复，C肯定有L条边,这L条边对应关联矩阵B
的联L矩列阵,这B(LC列) (构L点成LB边的)子。阵B(Gc)，环C本V身4 的关
v1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0
e4 e5
v2 1 0 1 1 0 1 1 0 0 0 V2 e6
Th3.2.2设S是有向图的关联矩阵B
任一k阶方阵,则Det(S)=0,1或-1.
证 对明 于： (k+1假)阶设方n=阵k时S，，由de于t(S关k)联=1矩、阵0、的-每1. 列只有2 个非0元即+1,-1,故S的每列最多只有2个非0元 +1,-1。S的情况如下：
(1)S有一列全为0则det(S)=0。 (2)每列都不全为0，即每列都有非0元。 (2.1)每列都有两个非零元即每列都有+1、-1， 则将前k行加到第k+1行，则使得第k+1行为0， 故det(S)=0。 (2.2)某一列只有一个非零元aij，则按其展开为
v6 0 0 0 0 0 0 1 0 1 1
Th3.2.1有向图G的关联矩阵B的秩<n
证明 由于矩阵B的每列表示每边的起点与 终点,起点处为1,终点为-1. 行1+行2+…+行n=0,故 行n=-行1-行2-…-行n-1，即行n为前n-1 的线性组合，即行n与前n-1行不独立,故独 立行数即B的秩<n.
det(S)=aij*(-1)i+jdet(Sk)=(-1)i+jdet(Sk)=1,0,-1
各阶子式的值是0,-1,+1.
v1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 v2 1 0 1 1 0 1 1 0 0 0 v3 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 v4 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 v5 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1 v6 0 0 0 0 0 0 1 0 1 1
证明:. 设对应边的构成一棵树,则由树的定义可 知,它有n-1条边无回路,则这些边线性无关, 对应的列向量线性无关。
基本关联矩阵Bk(T)只有n-1行，因此这 n-1行与树中的n-1边所对应的列向量构成 n-1阶方阵。
由线性代数知识可知，线性无关的n-1列 所对应的n-1阶行列式值不等于0。
定理3.2.2 令Bk是有向连通图G的基本关联 矩阵,那么Bk的某n-1阶子阵行列式非0的 是其各列所对应的边构成G的支撑树.
v5 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1
v6 0 0 0 0 0 0 1 0 1 1
V4
e4
e5
V2
e6
V5
e1
V1
e3
e7
e8 e10
e2
V3
e9
V6
v1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 v2 1 0 1 1 0 1 1 0 0 0 v3 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 B5 v4 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0
定理3.2.4 连通图基本关联矩阵Bk的秩n-1. 证明: 由定理3.2.3的证明可知,线性相关的行 数至少为n，故小于n则线性无关。 即任意n-1行肯定线性无关，而Bk是关联矩阵 的某n-1行，故线性无关，故Bk的秩为n-1。 说明：
若G的结点为n，连通分支数为w，则完全关联 矩阵的秩为n-w。 分支数w=点数n-关联矩阵的秩rank(B) 特别是w=1即G连通时,秩为n-1 点数是确定的，关联矩阵随网络连接情况而变
证:假设线性相关的最少行数为L<n.
k1b(i1)+k2b(i2)+…+k Lb(iL)=0 ki0,i=1…L 因关联矩阵每列只有二个非0元，则这L行所形 成的矩阵中每列至多有2个非0元，有些列可能全 是0，但不可能只有1个非0元。 假设某列j只有1个非0元在ki行，则该列各数的 线性组合=ki*bij=ki=0，与ki0矛盾.
v1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0
v2 1 0 1 1 0 1 1 0 0 0
v3 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0
v4 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0
v5 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1
v6 0 0 0 0 0 0 1 0 1 1
B(C) (L点L边)秩为L-1,则其L列相关
对关联矩阵的列进行调整，将这L行中列中含 有2个非0元的列调整最前面，全0的调整到后面.
最后将这L行调整到最前面。
定理3.2.3 连通图G有n个结点，点与边的 完全关联矩阵的秩为n-1。
证:假设线性相关的最少行数为L<n. 对关联矩阵的列进行调整，将这L行中列中含
有2个非0元的列调整最前面，全0的调整到后面. 最后将这L行调整到最前面。 记L行中含2个非0元的列数为t，即这L行只与
结点数为n的连通图G的基本关联矩阵的秩是 n-1,其中边数最少的连通图是“树”,它恰好有n1边,这n-1边是线性无关的.
其它连通图中的边数>n-1,而这些边中又只有 n-1列是线性无关的,那么哪些列是线性无关的呢? 如何寻找呢？
定理3.2.5 C是连通图G的一个回路,Bk是G的一 个基本关联矩阵,那么回路C中各点与各边对应 Bk的列线性相关. 一个回路中的边是线性相关的。
V4
e4
e5
V2
e6
V5
e1
V1
e3
e7
e8 e10
e2
V3
e9
V6
V4
e4
e5
V2
e6
V5
e1
V1
e3
e7
e8 e10
e2
V3
e9
V6
v1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0
v2 1 0 1 1 0 1 1 0 0 0
v3 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0
v4 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0
3.2基本关联矩阵 及其性质
一、树：连通、无回路、每边是割边、n-1条边 二、至少有两个度数为1的结点(叶子) 三、矩阵线性无关最大行数=
矩阵线性无关最大列数= 矩阵中非零的方阵的最大阶数= 列对应图中边，最大线性无关的边数
四、回路中的边线性k相关，对应的列线性相关， 这些列中任意K阶子式为0
b11
子阵B(Gc)的L列相关
推论3.2.2 设H是连通图G的子图,若 H含有回路,则H的诸边对应的G的基本 关联矩阵各列线性相关.
减少找回路范围
定理3.2.2 令Bk是有向连通图G的基本 关联矩阵,
Bk的某n-1阶子阵行列式非0
其各列对应的边构成一棵支撑树。
不在某回路上!
定理3.2.2 令Bk是有向连通图G的基本关 联矩阵,那么Bk的某n-1阶子阵行列式非0的 是其各列所对应的边构成G的支撑树.
e1...et
全0元的列
B P
2个非0元的列
0
0
L
Q n L
因L<n故n-L>0，则B'至少分为两个连通分枝，而B'仅
是B进行“行-行”与“列-列”互换得到, 是改变点与边 在关联矩阵中出现的顺序，故保持连接性不变，故B也 有2个连通分枝，故原图G不连接.与原图是连通矛盾！
故线性相关至少需要n行，小于n无关，线性无关最大 行数为n-1
证明 当k=1时det(S1)=1、0、-1. 当k=2时det(S2)=1、0、-1.
det(S2)=a11*a22-a21*a12 v1是边e1的起终无 若a11=1,a21=0 det(S2)=a22=1、0、-1 若a11=1,a21=-1 det(S2)=a22+a12，第2列中两 元可能:1与-1、1或-1、全0。 若a11=-1,a21=1 det(S2)=-a22-a12=-(a22+a12)同上。 若a11=-1,a21=0 det(S2)=-a22=1、0、-1 若a11=0,a21=1 det(S2)=-a12=1、0、-1 若a11=0,a21=-1 det(S2)=a12=1、0、-1
v1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0
v2 1 0 1 1 0 1 1 0 0 0
v3 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0
v4 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0
v5 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1
v6 0 0 0 0 0 0 1 0 1 1
Th3.2.2设S是有向图的关联矩阵B任一 k阶方阵,则Det(S)=0,1或-1.
如果某个N-1阶子阵Bk(GT)的行列式非0, 则这n-1列线性无关,即这n-1边线性无关。
由推理3.2.2可知,则这n-1条边中不含回路 (若有回路则线性相关)。
由树的定义含有n-1条不构成回路的边， 即构成一棵树，即为支撑树。
定理3.2.2 令Bk是有向连通图G的基本关联 矩阵,那么Bk的某n-1阶子阵行列式非0的 是其各列所对应的边构成G的支撑树.
此定理说明，基本关联矩阵Bk中，n-1 阶非0子式的个数，为G的生成树的棵数。
而Bk恰好有n-1行,关键是寻找n-1个线性 无关的列,构成树的边的组合是其对应子式 非0.
下一节，将介绍基于基本关联矩阵计算
生成树棵数的方法、写出生成树序列的方 法。
V5
v3 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0
v4 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 e1 e3 e7 e8
V1
v5 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1
e10
v6 0 0 0 0 0 0 1 0 1 1 e2 子阵B(Gc) B(C) (L点L边) V3 e9 V6
证明:只需针对初级回路进行讨论. 设回路C包含了G的L个结点L条边. 不妨假设L<n,这L 条边对应关联矩阵B的L列,这L列构成B的子阵B(Gc). 回路C的关联矩阵B(C) 是L阶方阵,又由于C是连通图, 故B(C)的秩为L-1. 由秩的定义可知，矩阵B(C)的L个列向量线性相关。 (即而n基-L本-1关行联)全矩是阵0B(因k中这与L这条L边条只边与对回应路的CL中列的向L量个的结下点方相 关,与其他点无关故为0)，故Bk中这L个列也线性相关。
定理3.2.3 连通图G有n个结点，点与边的 完全关联矩阵的秩为n-1。 证明：线性无关的最大行数为n-1，再多 1行即n行就相关，即线性相关的最少行 数为n， 用反证法证明。 即假设线性相关的最少行数为L<n，寻 找错误的结论。
定理3.2.3 连通图G有n个结点，点与边的 完全关联矩阵的秩为n-1。
这t条边相关，则有如下分块矩阵：
e1...et
全0元的列
B P
2个非0元的列
0
0
L
Q n L
定理3.2.3 连通图G有n个结点，关联矩阵的秩为n-1。
证:假设线性相关的最少行数为L<n. L行对应的L点只与这t条边相关，n-L个点与t条没关系， 那么n-L个点不可能与L点有边相连！故不连通！
b12
b13
b21
b22
b23
a b wenku.baidu.com c 0
0
0
0
0
0
0
本节讨论对象为有向连通图G
定义3.2.1基本关联矩阵:在有向连通图
G对的应关的联行矩,得阵到B一中个划(去n-任1)×意m结的点矩V阵k所Bk, 称为G的一个基本关联矩阵.
化，故根据其秩数可判断网络的连通性。
推论3.2.1 n个结点树T的基本关联矩阵的 秩是n-1.
证明:T是连通无回路的图，是一个特殊 的连通图。
给每条边加上方向，父结点为边的起点， 子结点为边的终点，则树T是有向连通图。
根据定理3.2.3可知，故它的基本关联矩 阵的秩是n-1.
有向图的连通性,是在忽略每边的方向后 确定的,这与其它教材上关于有向图的定 义不一样,请注意.
回路矩阵能找出所有相关、无关边
设初级回路C包含了G的L个结点，由点与边均
不重复，C肯定有L条边,这L条边对应关联矩阵B
的联L矩列阵,这B(LC列) (构L点成LB边的)子。阵B(Gc)，环C本V身4 的关
v1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0
e4 e5
v2 1 0 1 1 0 1 1 0 0 0 V2 e6
Th3.2.2设S是有向图的关联矩阵B
任一k阶方阵,则Det(S)=0,1或-1.
证 对明 于： (k+1假)阶设方n=阵k时S，，由de于t(S关k)联=1矩、阵0、的-每1. 列只有2 个非0元即+1,-1,故S的每列最多只有2个非0元 +1,-1。S的情况如下：
(1)S有一列全为0则det(S)=0。 (2)每列都不全为0，即每列都有非0元。 (2.1)每列都有两个非零元即每列都有+1、-1， 则将前k行加到第k+1行，则使得第k+1行为0， 故det(S)=0。 (2.2)某一列只有一个非零元aij，则按其展开为
v6 0 0 0 0 0 0 1 0 1 1
Th3.2.1有向图G的关联矩阵B的秩<n
证明 由于矩阵B的每列表示每边的起点与 终点,起点处为1,终点为-1. 行1+行2+…+行n=0,故 行n=-行1-行2-…-行n-1，即行n为前n-1 的线性组合，即行n与前n-1行不独立,故独 立行数即B的秩<n.
det(S)=aij*(-1)i+jdet(Sk)=(-1)i+jdet(Sk)=1,0,-1
各阶子式的值是0,-1,+1.
v1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 v2 1 0 1 1 0 1 1 0 0 0 v3 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 v4 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 v5 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1 v6 0 0 0 0 0 0 1 0 1 1
证明:. 设对应边的构成一棵树,则由树的定义可 知,它有n-1条边无回路,则这些边线性无关, 对应的列向量线性无关。
基本关联矩阵Bk(T)只有n-1行，因此这 n-1行与树中的n-1边所对应的列向量构成 n-1阶方阵。
由线性代数知识可知，线性无关的n-1列 所对应的n-1阶行列式值不等于0。
定理3.2.2 令Bk是有向连通图G的基本关联 矩阵,那么Bk的某n-1阶子阵行列式非0的 是其各列所对应的边构成G的支撑树.
v5 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1
v6 0 0 0 0 0 0 1 0 1 1
V4
e4
e5
V2
e6
V5
e1
V1
e3
e7
e8 e10
e2
V3
e9
V6
v1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 v2 1 0 1 1 0 1 1 0 0 0 v3 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 B5 v4 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0
定理3.2.4 连通图基本关联矩阵Bk的秩n-1. 证明: 由定理3.2.3的证明可知,线性相关的行 数至少为n，故小于n则线性无关。 即任意n-1行肯定线性无关，而Bk是关联矩阵 的某n-1行，故线性无关，故Bk的秩为n-1。 说明：
若G的结点为n，连通分支数为w，则完全关联 矩阵的秩为n-w。 分支数w=点数n-关联矩阵的秩rank(B) 特别是w=1即G连通时,秩为n-1 点数是确定的，关联矩阵随网络连接情况而变
证:假设线性相关的最少行数为L<n.
k1b(i1)+k2b(i2)+…+k Lb(iL)=0 ki0,i=1…L 因关联矩阵每列只有二个非0元，则这L行所形 成的矩阵中每列至多有2个非0元，有些列可能全 是0，但不可能只有1个非0元。 假设某列j只有1个非0元在ki行，则该列各数的 线性组合=ki*bij=ki=0，与ki0矛盾.
v1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0
v2 1 0 1 1 0 1 1 0 0 0
v3 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0
v4 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0
v5 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1
v6 0 0 0 0 0 0 1 0 1 1
B(C) (L点L边)秩为L-1,则其L列相关
对关联矩阵的列进行调整，将这L行中列中含 有2个非0元的列调整最前面，全0的调整到后面.
最后将这L行调整到最前面。
定理3.2.3 连通图G有n个结点，点与边的 完全关联矩阵的秩为n-1。
证:假设线性相关的最少行数为L<n. 对关联矩阵的列进行调整，将这L行中列中含
有2个非0元的列调整最前面，全0的调整到后面. 最后将这L行调整到最前面。 记L行中含2个非0元的列数为t，即这L行只与
结点数为n的连通图G的基本关联矩阵的秩是 n-1,其中边数最少的连通图是“树”,它恰好有n1边,这n-1边是线性无关的.
其它连通图中的边数>n-1,而这些边中又只有 n-1列是线性无关的,那么哪些列是线性无关的呢? 如何寻找呢？
定理3.2.5 C是连通图G的一个回路,Bk是G的一 个基本关联矩阵,那么回路C中各点与各边对应 Bk的列线性相关. 一个回路中的边是线性相关的。
V4
e4
e5
V2
e6
V5
e1
V1
e3
e7
e8 e10
e2
V3
e9
V6
V4
e4
e5
V2
e6
V5
e1
V1
e3
e7
e8 e10
e2
V3
e9
V6
v1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0
v2 1 0 1 1 0 1 1 0 0 0
v3 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0
v4 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0
3.2基本关联矩阵 及其性质
一、树：连通、无回路、每边是割边、n-1条边 二、至少有两个度数为1的结点(叶子) 三、矩阵线性无关最大行数=
矩阵线性无关最大列数= 矩阵中非零的方阵的最大阶数= 列对应图中边，最大线性无关的边数
四、回路中的边线性k相关，对应的列线性相关， 这些列中任意K阶子式为0
b11
子阵B(Gc)的L列相关
推论3.2.2 设H是连通图G的子图,若 H含有回路,则H的诸边对应的G的基本 关联矩阵各列线性相关.
减少找回路范围
定理3.2.2 令Bk是有向连通图G的基本 关联矩阵,
Bk的某n-1阶子阵行列式非0
其各列对应的边构成一棵支撑树。
不在某回路上!
定理3.2.2 令Bk是有向连通图G的基本关 联矩阵,那么Bk的某n-1阶子阵行列式非0的 是其各列所对应的边构成G的支撑树.
e1...et
全0元的列
B P
2个非0元的列
0
0
L
Q n L
因L<n故n-L>0，则B'至少分为两个连通分枝，而B'仅
是B进行“行-行”与“列-列”互换得到, 是改变点与边 在关联矩阵中出现的顺序，故保持连接性不变，故B也 有2个连通分枝，故原图G不连接.与原图是连通矛盾！
故线性相关至少需要n行，小于n无关，线性无关最大 行数为n-1
证明 当k=1时det(S1)=1、0、-1. 当k=2时det(S2)=1、0、-1.
det(S2)=a11*a22-a21*a12 v1是边e1的起终无 若a11=1,a21=0 det(S2)=a22=1、0、-1 若a11=1,a21=-1 det(S2)=a22+a12，第2列中两 元可能:1与-1、1或-1、全0。 若a11=-1,a21=1 det(S2)=-a22-a12=-(a22+a12)同上。 若a11=-1,a21=0 det(S2)=-a22=1、0、-1 若a11=0,a21=1 det(S2)=-a12=1、0、-1 若a11=0,a21=-1 det(S2)=a12=1、0、-1
v1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0
v2 1 0 1 1 0 1 1 0 0 0
v3 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0
v4 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0
v5 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1
v6 0 0 0 0 0 0 1 0 1 1
Th3.2.2设S是有向图的关联矩阵B任一 k阶方阵,则Det(S)=0,1或-1.