《固体物理·黄昆》第四章(1)

简谐近似 —— 势能函数只保留到位移的二次项，用于处理小 振动问题； 研究对象 —— 由N个质量为m的原子组成的晶体 第n个原子的平衡位置
偏离平衡位置的位移矢量 原子的位置
3个方向上的分量 原子位移宗量
N个原子的位移矢量
i (t )
N个原子体系的势能函数在平衡位置按泰勒级数展开
取
平衡位置
—— 不计高阶项
系统的势能函数
系统的势能函数
系统的动能函数
系统的哈密顿量
为了消除势能项中的交叉项:
引入简正坐标 —— 原子的坐标和简正坐标通过正交变换联系起来
假设存在线性变换
系统的哈密顿量
拉格朗日函数
正则动量
系统的哈密顿量
正则方程
正则动量
—— 3N个独立无关的方程 简正坐标方程解:
简正振动 —— 晶体中所有原子参与振动，振动频率相同 振动模 —— 简正坐标代表所有原子共同参与的一个振动
第四章: 晶格振动与晶体的热学性质
晶格振动的研究 —— 晶体的热学性质 固体热容量 —— 热运动是晶体宏观性质的表现
杜隆－珀替经验规律: 一摩尔固体有 N 个原子，有 3N 个振动自由度，按能量均分定律， 每个自由度平均热能为 kT ，摩 尔热容量 3Nk＝3R —— 实验表明在较低温度下， 热容量随着温度的降低而下降 晶格振动 —— 研究固体宏观性质和微观过程的重要基础 晶格振动 —— 晶体的热学性质、电学性质、光学性质、超 导电性、磁性、结构相变有密切关系
4.1 简谐近似和简正坐标 原子的振动 —— 晶格振动在晶体中形成了各种模式的波: —— 简谐近似下，系统哈密顿量是相互独立简谐振动哈密 顿量之和 —— 这些模式是相互独立的，模式所取的能量值是分立的 —— 用一系列独立的简谐振子来描述这些独立而又分立的振 动模式 —— 这些谐振子的能量量子，称为声子 —— 晶格振动的总体可看作是声子的系综
只考察某一个振动模
系统能量本征值计算
正则动量算符
系统薛定谔方程
N个原子组成的晶体
系统薛定谔方程
谐振子方程:
系统能量本征值 系统本征态函数
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能量本征值
本征态函数
—— 一个简正坐标对应一个谐振子方程，波函数是以简正 坐标为宗量的谐振子波函数