空间向量与空间距离

空间向量与空间距离

（45分钟 100分）

一、选择题(每小题6分,共30分)

1.已知△ABC的三个顶点的坐标为A(-1,0,1),B(1,3,5),C(-1,-1,1),则BC边上的中线AD的长为( )

A. B.6 C. D.3

2.在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M是AA1的中点,则点A1到平面MBD的距离是( )

A. a

B. a

C. a

D. a

3.(2013·开封高二检测)四棱锥P-ABCD中,四边形ABCD为正方形,PA⊥平面ABCD,PA=AB=2,E,F分别为PB,PD的中点,则P到直线EF的距离为( )

A.1

B.

C.

D.

4.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为3,E为CD的中点,则点D1到平面AEC1的距离为( )

A. B. C. D.1

5.(2013·石家庄高二检测)正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,则直线A1C1到平面ACD1的距离为( )

A.1

B.

C.

D.

二、填空题(每小题8分,共24分)

6.(2013·东莞高二检测)平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,AB=1,AD=2,AA1=3,

∠BAD=90°,∠BAA1=∠DAA1=60°,则AC1的长为.

7.在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面为直角梯形,AB∥CD

且∠ADC=90°,AD=1,CD=,BC=2,AA1=2,E是CC1的中点,则A1B1到平面ABE的距离是.

8.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=4,BC=3,CC1=2,则平面A1BC1与平面ACD1的距离是.

三、解答题(9题,10题14分,11题18分)

9.正方形ABCD的边长为2,E,F分别是AB和CD的中点,

将正方形沿EF折成直二面角(如图所示),M是矩形

AEFD内一点,如果∠MB'E=∠MB'C',MB'和平面B'C'FE

所成的角的正切值为,求点M到直线EF的距离.

10.(2013·济南高二检测)如图所示的多面体是由底面

为ABCD的长方体被截面AEC1F所截而得到的,其中

AB=4,BC=2,CC1=3,BE=1.

(1)求||.

(2)求点C到平面AEC1F的距离.

11.(能力挑战题)如图所示,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,

∠ABC=90°,BC=2,CC1=4,EB1=1,D,F,G分别为CC1,B1C1,

A1C1的中点,EF与B1D相交于点H.

(1)求证:B1D⊥平面ABD.

(2)求证:平面EGF∥平面ABD.

(3)求平面EGF与平面ABD的距离.

答案解析

1.【解析】选A.易知D(0,1,3),∴=(1,1,2),∴||=.

2.【解析】选 A.如图所示,建立空间直角坐标系,则

A1(a,0,a),M(a,0,),

B(a,a,0),D(0,0,0)

∴=(0,0,),=(a,0,),=(a,a,0),设平面

MBD的法向量为n=(x,y,z),则

令x=1,得n=(1,-1,-2)

∴点A1到平面MBD的距离为= a.

【一题多解】由于M是AA1的中点,故A1与A到平面MBD的距离相等. 又V A-MBD=V B-AMD,即××a×a×h=×××a×a,解得h= a.

3.【解析】选D.建系如图,即P(0,0,2),

E(1,0,1),F(0,1,1),

∴=(-1,0,1),=(-1,1,0).

∴在上的投影为==,

∴点P到直线EF的距离为=.

4.【解题指南】先求平面AEC1的法向量,代入点面距公式求解.

【解析】选A.建立如图所示空间直角坐标系,

则A(3,0,0),D1(0,0,3),

E(0,,0),C1(0,3,3),

=(-3,,0),

=(-3,3,3),=(0,3,0),

设n=(x,y,z)为平面AEC1的法向量,则

令x=1,得y=2,z=-1,∴n=(1,2,-1).

∴D1到平面AEC1的距离为

==.

5.【解析】选B.易知A1C1∥平面ACD1,则点A1到平面

ACD1的距离即为直线A1C1到平面ACD1的距离.建系如图,

易知=(0,0,1)

平面ACD1的一个法向量为n=(1,1,1),

故所求的距离为=.

6.【解析】=++,

∴||2=(++)2

=||2+||2+||2+2·+2·+2·

=1+22+32+2||·||·cos<,>+2||·||·cos<,>+

2||·||·cos<,>=14+2×1×2cos 90°+2×1×3cos 60°+2×2×3cos 60°=23,

∴||=,即AC1=.

答案:

7.【解析】以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,

则A(1,0,0),B(1,2,0),E(0,,1),A1(1,0,2),

∴=(0,2,0),=(-1,-,1),

设平面ABE的法向量为n=(x,y,z),则

解得,

取z=1,则n=(1,0,1).又易证A1B1∥平面ABE,所以A1B1到平面ABE的距离等于点A1到平面ABE的距离,又=(0,0,2),

∴点A1到平面ABE的距离为==.

答案:

8. 【解析】由AD1∥BC1,A1B∥D1C可证得平面A1BC1∥平面

ACD1,建立如图所示的空间直角坐标系,

∵AB=4,BC=3,CC1=2,则A1(3,0,2),B(3,4,0),

C1(0,4,2),A(3,0,0).

∴=(0,4,-2),=(-3,0,2).设平面A1BC1的法向量为n=(x,y,z),则n⊥,n⊥,

解得,

取z=6,则n=(4,3,6),又=(0,4,0),

则平面A1BC1与平面ACD1的距离为