苏科版九年级数学上册培优：圆的基本性质
合集下载
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
圆的基本性质
【思维入门】
1． 一条水管的截面如图 3－9－1 所示，已知排水管的半径 OB＝10，水面宽 AB＝16，
则截面圆心 O 到水面的距离 OC 是
( )
A．4
B．5
C．6
D．8
图 3－9－1
图 3－9－2
图 3－9－3
2．如图 3－9－2，⊙O 的直径 AB＝12，CD 是⊙O 的弦，CD⊥AB，垂足为 P，且 BP∶
排成一列，所有正三角形都关于 PQ 对称，其中第一个△A1B1C1 的顶点 A1 与点 P 重合 ，第二个△A2B2C2 的顶点 A2 是 B1C1 与 PQ 的交点，…，最后一个△AnBnCn 的顶点 Bn ，Cn 在圆上．
图 3－9－12 (1)如图②，当 n＝1 时，求正三角形的边长 a1； (2)如图③，当 n＝2 时，求正三角形的边长 a2； (3)如图①，求正三角形的边长 an(用含 n 的代数式表示)．
一动点，CM＋DM 的最小值为____cm.
9．如图 3－9－9，已知 AB 是⊙O 的弦，半径 OC，OD 与 AB 分别交于点 E，F，且 AE ︵︵
＝BF，求证：AC＝BD.
图 3－9－9 10．如图 3－9－10，要把破残的圆片复制完整，已知弧上的三点 A，B，C.
︵ (1) 用尺规作图，画出BAC所在圆的圆心 O(保留作图痕迹，不写作法)； (2)设△ABC 是等腰三角形，底边 BC＝10 cm，腰 AB＝6 cm，求圆片的半径 R(结果保 留根号)，若 R 的值满足 n＜R＜m(m，n 为相邻的正整数)，求出 m 和 n 的值．
6．如图 3－9－6，铁路 MN 和公路 PQ 在点 O 处交汇，∠QON＝30°，公路 PQ 上 A 处距离 O 点 240 m，如果火车行驶时，周围 200 m 以内会受到噪音的影响，那么火
1
车在铁路 MN 上沿 MN 方向以 72 km/h 的速度行驶时，A 处受到噪音影响的时间为(
)
A．12 s B．16 s C．20 s D．24 s
17 解得 x＝ .
4
第 3 题答图
4
17 ∴圆的半径为 .
4 4．如图 3－9－4，在平面直角坐标系中，点 O 为坐标原点，点 P 在第一象限，⊙P 与 x
轴交于 O，A 两点，点 A 的坐标为(6，0)，⊙P 的半径为 13，则点 P 的坐标为__(3，2)__ ．
图 3－9－4 【解析】 过点 P 作 PD⊥x 轴于点 D，连结 OP， ∵A(6，0)，PD⊥OA，
AP＝1∶5，则 CD 的长为
( )
A．4 2
B．8 2
C．2 5
D．4 5
3．如图 3－9－3，M 是 CD 的中点，EM⊥CD，若 CD＝4，EM＝8，则点 C，E，D 所
在圆的半径为_______ ．
4．如图 3－9－4，在平面直角坐标系中，点 O 为坐标原点，点 P 在第一象限，⊙P 与 x
7．如图 3－9－7，半径为 5 的⊙A 中，弦 BC，ED 所对的圆心角分别是∠BAC，∠EAD.
已知 DE＝6，∠BAC＋∠EAD＝180°，则弦 BC 的弦心距等于( )
41
34
A. B. C．4 D．3
2
2
图 3－9－7
图 3－9－8
︵︵︵ 8．如图 3－9－8，在⊙O 中，AB 是⊙O 的直径，AB＝8 cm，AC＝CD＝BD，M 是 AB 上
图 3－9－1
在 Rt△OCB 中，由勾股定理得 OC＝ OB2－BC2＝ 102－82＝6.
2． 如图 3－9－2，⊙O 的直径 AB＝12，CD 是⊙O 的弦
，
CD⊥AB，垂足为 P，且 BP∶AP＝1∶5，则 CD 的长
为
( D )
A．4 2
B．8 2
C．2 5
D．4 5
3 ．如图 3－9－3，M 是 CD 的中点，EM⊥CD，若 CD＝4，EM 17
图 3－9－5 【解析】 延长 ME 交⊙O 于 G，
第 5 题答图 ∵E，F 为 AB 的三等分点，∠MEB＝∠NFB＝60°， ∴FN＝EG， 过点 O 作 OH⊥MG 于 H，连结 MO，
＝8，则点 C，E，D 所在圆的半径为__ __． 4
图 3－9－2
图 3－9－3
【解析】 连结 OC， ∵M 是 CD 的中点，EM⊥CD， ∴EM 过⊙O 的圆心 O， 设半径为 x， ∵CD＝4，EM＝8，
1 ∴CM＝ CD＝2，OM＝8－OE＝8－x，
2 在 Rt△OCM 中，OM2＋CM2＝OC2， 即(8－x)2＋22＝x2，
3
答案：
第 9 讲 圆的基本性质
【思维入门】
1． 一条水管的截面如图 3－9－1 所示，已知排水管的
半径 OB＝10，水面宽 AB＝16，则截面圆心 O 到水
面的距离 OC 是
( C )
A．4 Βιβλιοθήκη Baidu
B．5
C．6
D．8
【解析】 ∵OC⊥AB，OC 过 O， 11
∴BC＝AC＝ AB＝ ×16＝8， 22
图 3－9－10
2
【思维升华】
11．如图 3－9－11，设 AB 是⊙O 的弦，CD 是⊙O 的直径
，
且 CD 与 AB 相交，若 m＝|S △ CAB－S △ DAB|，n＝S△OAB，则
( )
A．m＞2n B．m＝2n
C．m＜2n
D．m 与 2n 的大小无法确定
图 3－9－11
12．⊙O 的三个不同的内接正三角形将⊙O 分成的区域的个数是____. 13．如图 3－9－12①，已知⊙O 的半径为 1，PQ 是⊙O 的直径，n 个相同的正三角形沿 PQ
轴交于 O，A 两点，点 A 的坐标为(6，0)，⊙P 的半径为 13，则点 P 的坐标为____．
图 3－9－4
图 3－9－5
︵ 5．如图 3－9－5，已知⊙O 的直径 AB＝6，E，F 为 AB 的三等分点，M，N 为AB上两点
，且∠MEB＝∠NFB＝60°，则 EM＋FN＝____．
【思维拓展】
1 ∴OD＝ OA＝3，
2 ∵OP＝ 13，OD＝3， ∴PD＝ OP2－OD2＝ （ 13）2－32＝2， ∴P(3，2)． 5如．图 3－9－5，已知⊙O 的直径 AB＝6，E，F 为 AB 的
︵ 三等分点，M，N 为AB上两点，且∠MEB＝∠NFB＝60
°，则 EM＋FN＝__ 33__．
第 4 题答图
【思维入门】
1． 一条水管的截面如图 3－9－1 所示，已知排水管的半径 OB＝10，水面宽 AB＝16，
则截面圆心 O 到水面的距离 OC 是
( )
A．4
B．5
C．6
D．8
图 3－9－1
图 3－9－2
图 3－9－3
2．如图 3－9－2，⊙O 的直径 AB＝12，CD 是⊙O 的弦，CD⊥AB，垂足为 P，且 BP∶
排成一列，所有正三角形都关于 PQ 对称，其中第一个△A1B1C1 的顶点 A1 与点 P 重合 ，第二个△A2B2C2 的顶点 A2 是 B1C1 与 PQ 的交点，…，最后一个△AnBnCn 的顶点 Bn ，Cn 在圆上．
图 3－9－12 (1)如图②，当 n＝1 时，求正三角形的边长 a1； (2)如图③，当 n＝2 时，求正三角形的边长 a2； (3)如图①，求正三角形的边长 an(用含 n 的代数式表示)．
一动点，CM＋DM 的最小值为____cm.
9．如图 3－9－9，已知 AB 是⊙O 的弦，半径 OC，OD 与 AB 分别交于点 E，F，且 AE ︵︵
＝BF，求证：AC＝BD.
图 3－9－9 10．如图 3－9－10，要把破残的圆片复制完整，已知弧上的三点 A，B，C.
︵ (1) 用尺规作图，画出BAC所在圆的圆心 O(保留作图痕迹，不写作法)； (2)设△ABC 是等腰三角形，底边 BC＝10 cm，腰 AB＝6 cm，求圆片的半径 R(结果保 留根号)，若 R 的值满足 n＜R＜m(m，n 为相邻的正整数)，求出 m 和 n 的值．
6．如图 3－9－6，铁路 MN 和公路 PQ 在点 O 处交汇，∠QON＝30°，公路 PQ 上 A 处距离 O 点 240 m，如果火车行驶时，周围 200 m 以内会受到噪音的影响，那么火
1
车在铁路 MN 上沿 MN 方向以 72 km/h 的速度行驶时，A 处受到噪音影响的时间为(
)
A．12 s B．16 s C．20 s D．24 s
17 解得 x＝ .
4
第 3 题答图
4
17 ∴圆的半径为 .
4 4．如图 3－9－4，在平面直角坐标系中，点 O 为坐标原点，点 P 在第一象限，⊙P 与 x
轴交于 O，A 两点，点 A 的坐标为(6，0)，⊙P 的半径为 13，则点 P 的坐标为__(3，2)__ ．
图 3－9－4 【解析】 过点 P 作 PD⊥x 轴于点 D，连结 OP， ∵A(6，0)，PD⊥OA，
AP＝1∶5，则 CD 的长为
( )
A．4 2
B．8 2
C．2 5
D．4 5
3．如图 3－9－3，M 是 CD 的中点，EM⊥CD，若 CD＝4，EM＝8，则点 C，E，D 所
在圆的半径为_______ ．
4．如图 3－9－4，在平面直角坐标系中，点 O 为坐标原点，点 P 在第一象限，⊙P 与 x
7．如图 3－9－7，半径为 5 的⊙A 中，弦 BC，ED 所对的圆心角分别是∠BAC，∠EAD.
已知 DE＝6，∠BAC＋∠EAD＝180°，则弦 BC 的弦心距等于( )
41
34
A. B. C．4 D．3
2
2
图 3－9－7
图 3－9－8
︵︵︵ 8．如图 3－9－8，在⊙O 中，AB 是⊙O 的直径，AB＝8 cm，AC＝CD＝BD，M 是 AB 上
图 3－9－1
在 Rt△OCB 中，由勾股定理得 OC＝ OB2－BC2＝ 102－82＝6.
2． 如图 3－9－2，⊙O 的直径 AB＝12，CD 是⊙O 的弦
，
CD⊥AB，垂足为 P，且 BP∶AP＝1∶5，则 CD 的长
为
( D )
A．4 2
B．8 2
C．2 5
D．4 5
3 ．如图 3－9－3，M 是 CD 的中点，EM⊥CD，若 CD＝4，EM 17
图 3－9－5 【解析】 延长 ME 交⊙O 于 G，
第 5 题答图 ∵E，F 为 AB 的三等分点，∠MEB＝∠NFB＝60°， ∴FN＝EG， 过点 O 作 OH⊥MG 于 H，连结 MO，
＝8，则点 C，E，D 所在圆的半径为__ __． 4
图 3－9－2
图 3－9－3
【解析】 连结 OC， ∵M 是 CD 的中点，EM⊥CD， ∴EM 过⊙O 的圆心 O， 设半径为 x， ∵CD＝4，EM＝8，
1 ∴CM＝ CD＝2，OM＝8－OE＝8－x，
2 在 Rt△OCM 中，OM2＋CM2＝OC2， 即(8－x)2＋22＝x2，
3
答案：
第 9 讲 圆的基本性质
【思维入门】
1． 一条水管的截面如图 3－9－1 所示，已知排水管的
半径 OB＝10，水面宽 AB＝16，则截面圆心 O 到水
面的距离 OC 是
( C )
A．4 Βιβλιοθήκη Baidu
B．5
C．6
D．8
【解析】 ∵OC⊥AB，OC 过 O， 11
∴BC＝AC＝ AB＝ ×16＝8， 22
图 3－9－10
2
【思维升华】
11．如图 3－9－11，设 AB 是⊙O 的弦，CD 是⊙O 的直径
，
且 CD 与 AB 相交，若 m＝|S △ CAB－S △ DAB|，n＝S△OAB，则
( )
A．m＞2n B．m＝2n
C．m＜2n
D．m 与 2n 的大小无法确定
图 3－9－11
12．⊙O 的三个不同的内接正三角形将⊙O 分成的区域的个数是____. 13．如图 3－9－12①，已知⊙O 的半径为 1，PQ 是⊙O 的直径，n 个相同的正三角形沿 PQ
轴交于 O，A 两点，点 A 的坐标为(6，0)，⊙P 的半径为 13，则点 P 的坐标为____．
图 3－9－4
图 3－9－5
︵ 5．如图 3－9－5，已知⊙O 的直径 AB＝6，E，F 为 AB 的三等分点，M，N 为AB上两点
，且∠MEB＝∠NFB＝60°，则 EM＋FN＝____．
【思维拓展】
1 ∴OD＝ OA＝3，
2 ∵OP＝ 13，OD＝3， ∴PD＝ OP2－OD2＝ （ 13）2－32＝2， ∴P(3，2)． 5如．图 3－9－5，已知⊙O 的直径 AB＝6，E，F 为 AB 的
︵ 三等分点，M，N 为AB上两点，且∠MEB＝∠NFB＝60
°，则 EM＋FN＝__ 33__．
第 4 题答图