线性代数14行列式习题课

二、计算（证明）行列式
１ 用定义计算（证明） 例２ 用行列式定义计算
0 a12 a13 0 0 a21 a22 a23 a24 a25 D5 a31 a32 a33 a34 a35 0 a42 a43 0 0 0 a52 a53 0 0
解 设 D5中第1,2,3,4,5行的元素分别为a1 p1 , a2 p2 , a3 p3 , a4 p4 , a5 p5 , 那么，由D5中第1,2,3,4,5行可能 的非零元素分别得到
一、计算逆序数
例1 计算下列排列的逆序数，并指出奇偶性.
2k 1 2k 1 2 2k 2 3 2k 3L k 1 k
01 1 2 2 3 3
k1 k
于是排列的逆序数为
t 0 1 1 2 2 k 1 k 1 k
21 k 1k 1 k k 2
2 k 为偶数时，排列为偶排列， k 为奇数时，排列为奇排列．
1 p1 2 p2
n pn
(1)
t
a1
p
a
2
p
L
an p
D1
1
2
n
评注 本题证明两个行列式相等，即证明两点: 一是两个行列式有完全相同的项， 二是每一项所带的符号相同．
这也是用定义证明两个行列式相等的常用方法．
2 用化三角形行列式计算
例4
计算
x a1 a2 a3 an a1 x a2 a3 an Dn1 a1 a2 x a3 an .
1 i n
1 i n
i1
i2
in
评注
本题利用行列式的性质：某行（列）写成 两数之和，则行列式可以拆成两个行列式之和．
进一步有：如果n阶行列式每个元素都是两 数之和，则行列式可以拆成 2n 个行列式的和；
cd bd ad
r1 r2
110
r1 (a b c d )
(a b c d )(a b c d ) d c a c b c ,
cd bd ad
c2 c1
10 (a b c d )(a b c d ) d c a d
cd bc
0 bc , ad
按第1行展开，得
x1 0 L
0 Dn L
x2 L LL
0 0L
0 x1 a 0 0a
L LL xn 0 a
L 0 a 0L 0
L
0a
x2 L
0 L
LL LLLL
L xn a 0 L xn
x1 0 L a
0
x2 L
a
LLLL
0 0L a
xi a xi a xi L a xi
1 i n
1 i n
4 用拆成行列式之和计算
例6
a x1 a
a Dn
a x2
a a
.
a
a a xn
解
a x1 a 0 L a 0
a0 Dn L
a x2 L LL
a0 .
L
a 0 a 0 L a xn
一共能拆成 2n 个行列式的和，如果两列都取为
全为 a 的列，则对应的行列式为0，故
10
0
1 x a1 0
n
Dn1 (x ai)1 a2 a1 x a2
i 1
1 a2 a1 a3 a2
n
n
( x ai) ( x ai).
i1 i1
0 0 0 x an
评注
本题利用行列式的性质，采用“化零”的方法， 逐步将所给行列式化为三角形行列式．
化零时一般尽量选含有１的行（列）及含零 较多的行（列）；
a1 a2 a3 a4 x
n
x ai a1 a2 an
i 1
1 a1 a2 L an
n
x ai x a2 an
i 1
n 1 x a2 L an
Dn1
x
n
ai
a2
i 1
x
an
(
x
ai) i 1
1 L
a2 x LL
L L
an L
n
x ai a2 a3 x
i 1
1 a2 a3 L x
p1 2,3;
p 1,2,3,4,5; 2
p3 1,2,3,4,5;
p 2,3; 4
p5 2,3.
因为 p1 , p2 , p3 , p4 , p5 在上述可能取的代码中,
一个5元排列也不能组成，
故 D5 0.
评注 本例是从一般项入手，将行标按 标准顺序排列，讨论列标的所有可能取到的值， 并注意每一项的符号，这是用定义计算行列式 的一般方法．
若没有１，则可适当选取便于化零的数，或 利用行列式性质将某行（列）中的某数化为1；
若所给行列式中元素间具有某些特点，则 应充分利用这些特点，应用行列式性质，以达 到化为三角形行列式之目的．
3 用按行按列展开法则降阶计算
例5 计算
abcd
1111
b D4 c
a d
d a
c r1 r2 r3 r4
ad bc
D４ (a b c d )(a b c d ) b c a d
(a b c d)(a b c d)[(a d)2 (b c)2]
(a b c d)(a b c d)(a b c d )(a b c d )
评注 本题是利用行列式的性质将所给行列式的 某行（列）化成只含有一个非零元素，然后按此行 （列）展开，每展开一次，行列式的阶数可降低 1阶， 如此继续进行，直到行列式能直接计算出来为止（一 般展开成二阶行列式）．这种方法对阶数不高的数字 行列式比较适用．
而其中t是p１排 列p2 p1p2L ppn n的1逆 序 2 数. n,
证明
D (1) a a a 1
t
L
1 p1 2 p2
n pn
D (1) a b a b a b
t
(
1 p1)(
2 p2)L (
) n pn
2
1 p1
2 p2
n pn
(1) a a a b
t
L
(12L n)( p1 p2L pn)
注意
如果一个n阶行列式中等于零的元素比
n2 n还多，则此行列式必等于零.
例３ 设
a11 a12
D1
a21
a22
a1n a2n ,
a11
D2 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
a21b
a12 b1 a1n b1n
a22
a2n b2n ,
an1 an2 ann
an1 bn1 an2 bn2
ann
证明：D１ D2 .
b
b r1 (a b c d ) (a b c d ) c
a d
d a
c b
dcba
d c ba
c2 c1 c3 c1 c4 c1
1 b (a b c d) c d
0 ab d c cd
0 d b ac bd
0 cb bc ad
按第1行展开，得
ab db cb
(a b c d) d c a c b c