降次解一元二次方程
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降次——解一元二次方程
教学内容
本节课主要学习用公式法解一元二次方程。
教学目标
知识技能
掌握一元二次方程求根公式的推导,会运用公式法解一元二次方程.
数学思考
通过求根公式的推导,培养学生数学推理的严密性及严谨性.
解决问题
培养学生准确快速的计算能力.
情感态度
通过公式的引入,培养学生寻求简便方法的探索精神及创新意识;通过求根公式的推导,渗透分类的思想.
重难点、关键
重点:求根公式的推导及 用公式法解一元二次方程.
难点:对求根公式推导过程中依据的理论的深刻理解.
关键:掌握一元二次方程的求根公式,•并应用求根公式法解简单的一元二次方程. 教学准备
教师准备:制作课件,精选习题
学生准备:复习有关知识,预习本节课内容
教学过程
一、 复习引入
【问题】(学生总结,老师点评)
1.用配方法解下列方程
(1)6x 2-7x+1=0 (2)4x 2-3x=52
2.总结用配方法解一元二次方程的步骤。
(1)移项;
(2)化二次项系数为1;
(3)方程两边都加上一次项系数的一半的平方;
(4)原方程变形为(x+m )2=n 的形式;
(5)如果右边是非负数,就可以直接开平方求出方程的解,如果右边是负数,则一元二次方程无解.
【活动方略】
教师演示课件,给出题目.
学生根据所学知识解答问题.
【设计意图】
复习配方法解一元二次方程,为继续学习公式法引入作好铺垫.
二、 探索新知
如果这个一元二次方程是一般形式ax 2+bx+c=0(a ≠0),你能否用上面配方法的
步骤求出它们的两根,请同学独立完成下面这个问题.
【问题】
已知ax 2+bx+c=0(a ≠0)且b 2
-4ac ≥0,试推导它的两个根为x 1=2b a -+,
x 2分析:因为前面具体数字已做得很多,我们现在不妨把a 、b 、c•也当成一个具体数字,根据上面的解题步骤就可以一直推下去.
解:移项,得:ax 2+bx=-c
二次项系数化为1,得x 2+b a x=-c a
配方,得:x 2+b a x+(2b a )2=-c a
+(2b a )2 即(x+2b a )2=2244b ac a - ∵b 2-4ac ≥0且4a 2
>0 ∴22
44b ac a -≥0
直接开平方,得:x+b a
=
即x=2b a
-±
∴x 1x 2【说明】
这里a
ac b b x 242-±-= (042≥-ac b )是一元二次方程的求根公式
【活动方略】
鼓励学生独立完成问题的探究,完成探索后,教师让学生总结归纳,由形式是一元二次方程的一般形式,得出一元二次方程的求根公式.
【设计意图】
创设问题情境,激发学生兴趣,引出本节内容,导出一元二次方程的求根公式。
【思考】
利用公式法解下列方程,从中你能发现什么?
(1)2320;x x -+=
(2)2222-=-x x
(3)24320x x -+=
【活动方略】
在教师的引导下,学生回答,教师板书
引导学生总结步骤:确定c b a ,,的值、算出ac b 42
-的值、代入求根公式求解. 在学生归纳的基础上,老师完善以下几点:
(1)一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根是由一元二次方程的系数c b a ,,确定的;
(2)在解一元二次方程时,可先把方程化为一般形式,然后在042≥-ac b 的前提下,
把c b a ,,的值代入a
ac b b x 242-±-= (042≥-ac b )中,可求得方程的两个根; (3)我们把公式a
ac b b x 242-±-=(042≥-ac b )称为一元二次方程的求根公式,用此公式解一元二次方程的方法叫公式法;
(4)由求根公式可以知道一元二次方程最多有两个实数根.
【设计意图】
主体探究、探究利用公式法解一元二次方程的一般方法,进一步理解求根公式.
三、 反馈练习
教材P 42 练习第1、2题.
补充习题:
用公式法解下列方程.
(1)x 2-5x-6=0 (2)7x 2+2x-1=0 (3)3x 2-5x+2=0
(4)5x 2+2x-6=0 (5)4x 2-7x+2=0 (6)2x 2-
12x-32
=0 【活动方略】
学生独立思考、独立解题.
教师巡视、指导,并选取两名学生上台书写解答过程(或用投影仪展示学生的解答过程)
【设计意图】
检查学生对知识的掌握情况.
四、 应用拓展
已知关于x 的方程 ()()222120x m x m +++-=
m 取何值时:
(1)方程有两个不相等的实数根;
(2)方程有两个相等的实数根,并求出这两个等根;
(3)方程没有实数根.
【活动方略】
教师活动:操作投影,将例题显示,组织学生讨论.
学生活动:合作交流,讨论解答。
【设计意图】
使学生应用方程有关的有关舦知识解题,进一步掌握公式法。
五、 小结作业
1.问题:
本节你遇到了什么问题?在解决问题的过程中你采取了什么方法?
本节课应掌握:
(1)求根公式的概念及其推导过程;