(完整word版)初中数学题的改编与变式

初中数学题的改编与变式
普陀二中 张杰 题1、【原题出处1】（2007·常州）
已知，如图，正方形ABCD 的边长为6，菱形EFGH 的三个顶点E 、G 、H 分别在正方形ABCD 边AB 、CD 、DA 上，AH ＝2，连接CF ．
（1）当DG ＝2时，求△FCG 的面积；
（2）设DG ＝x ，用含x 的代数式表示△FCG 的面积； （3）判断△FCG 的面积能否等于1，并说明理由． 【原题出处2】（慈溪中学2008年保送生招生考试第14题）
已知，如图，矩形ABCD 中，AD=6，DC=7，菱形EFGH 的三个顶点E ，G ，H 分别在矩形ABCD 的边AB ，CD 上，AH=2，连接CF ． （1）当四边形EFGH 为正方形时，求DG 的长； （2）当△FCG 的面积为1时，求DG 的长； （3）当△FCG 的面积最小时，求DG 的长.
【原题解析】：本题的设计的意图是考察学生的数学思想方法，核心思想“特殊～一般～特殊”，第（1）问中“DG ＝2”寓意于DG ＝AH ，即△HAE ≌△GDH ，且∠GHE ＝90°．四边形（菱形）EFGH 已特殊化为正方形。

第（2）问中“DG ＝x ”是让菱形EFGH 一般化．由于可推知△FCG 中，CG ＝6－x ，所以，作出CG 边上的高FM 就成为一种必然，再连接GE ，通过证明△HAE ≌△FMG ，得FM ＝AH ＝2．
第（3）问是借助试题中“菱形E F G H 的三个顶点E 、G 分别在正方形A B C D 边A B 、C D 上”的限制作用．由第（2）问可知，FM ＝AH ＝2，是一个定值，则x 的大小就限制了△FCG 的面积．因为HD ＞AH ，所以HC ＞HB ，即①点E 不可能与点A 重合（x 的最小值为0，即HG 的最小值等于HD ）②点G 不能与点C 重合（即HG 的最大值等于HB ）．这样通过求出x 的值并由此求出HG （或AE ）的值就可以正确判断△FCG 的面积能否等于1了．
A
B
C
D E
F
G
H M H G
F
E
B
A
D
C
改编题：如图，正方形ABCD的边长为6.以直线AB为x轴、AD为y轴建立平面直角坐标系.菱形EFGH的三个顶点H、E、G分别在正方形ABCD边DA、AB、CD上，已知AH＝2.
（1）如图甲，当点F在边BC上时，求点F的坐标；
（2）设DG=x.请在图乙中探索：用含x的代数式表示点F的坐标；
（3）设点F的横坐标为m.问:m有无最大值和最小值？若有，请求出；若无，请直接作否定的判断，不必说明理由.
【改编意图说明】：
本题的关键点F的位置，在边B C上,是它的一种特殊情形，我设计改编的意图是以探究动态菱形E F G H中，点F的位置变化为主线而展开。

从易到难的策略，利用从特殊到一般的思想，再辅于整体感知、逆向思维等方法，来考察学生的思维。

解：（1）如图甲，连接GE.
∵DG∥BE，∴∠DGE＝∠BEG，
∵HG∥EF，∴∠HGE＝∠FEG，
∴∠DGH＝∠BEF.
在△HDG与△FBE中，
90,
,
,
HDG
DGH
HG
FBE
BEF
FE
⎧∠=∠=
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
∴△HDG≌△FBE，
∴FB＝
HD＝AD－AH＝6－2＝4,
∴点F的坐标为（6，4）.
（2）如图乙，连接GE，作FM⊥x轴，垂足为点M. 同理可证，△HDG≌△FME，
∴ME＝DG＝x，FM＝HD＝4.
在Rt△HDG中，HG2＝42＋x2＝16＋x2，
∵HG＝HE，∴HE2＝HG2＝16＋x2.
在Rt△HAE中，
AE=
∴AM＝AE＋EM
x，
∴点F
x，4）.
（3）依题意，可知HD＞HA.即：
①当点G与点D重合时，m最小，此时x＝0，
∴m
x
＝.
②当点E与点B重合时，m最大，此时HG2＝HB2＝22＋62＝40，
∴DG＝x
==
∴m
x
6
=+
题2、【原题出处】（2007年.江西）
如图，已知∠AOB，OA=OB，点E在OB边上，四边形
AEBF是矩形，请你只用无刻度的直尺在图中画出∠AOB的
平分线（保留画图痕迹）.
图1
【原题解析】：本题以一道作图题的形式出现，打破了以往作
图题的范畴，它强调只用无刻度的直尺在图中画出∠AOB的平分线，使得此题不是纯粹的作图题，实际上是一道几何的证明题，它需要综合运用矩形的性质“矩形的对角互相平分”和等腰三角形的三线合一的性质，才能完成。

只有知道AB和EF 的交点在等腰△AOB的顶角平分线上，才能达到解决问题的目的。

【改编意图说明】：孙维刚老师提出：要站在知识系统的高度来进行数学教学，做到多题归一、一题多解。

本题组的设计，就是“多题归一”的一个体现。

我将原题中的矩形分别改换成圆、菱形、平行四边形，不同图形的出现与变化，形式上变了，但本题的解题思路一样，实质没有变化。

只要大家掌握了解决原题的方法，就能很快找到其解决办法。

虽然它们各自用不同知识解决同一问题,对学生的思维得以发散。

改编1、如图9，已知∠AOB，⊙P与∠AOB的两边相切，请你只用无刻度的直尺在图中画出∠AOB的平分线（保留画图痕迹）.
改编2.如图10，已知∠AOB，E、F分别在OA、OB上，四边形EOFP是菱形，请你只用无刻度的直尺在图中画出∠AOB的平分线（保留画图痕迹）.
改编3.如图11，已知∠AOB，OA=OB，点E在OB边上，四边形AEBF是平行四边形，请你只用无刻度的直尺在图中画出∠AOB的平分线（保留画图痕迹）.
图3 图4
图2
题3、【原题出处】（2006年佛山市课改实验区中考试题第24题）
已知：在四边形ABCD 中，AB ＝1，E 、F 、G 、H 分别时AB 、BC 、CD 、DA 上的点，且AE ＝BF ＝CG ＝DH 。

设四边形EFGH 的面积为S ，AE ＝x (0≤x ≤1)。

(1)如图①，当四边形ABCD 为正方形时，
<1>求S 关于x 的函数解析式，并求S 的最小值S 0；
<2>在图②中画出<1>中函数的草图，并估计S ＝0.6时x 的近似值(精确到0.01)； (2)如图③，当四边形ABCD 为菱形，且∠A ＝30°时，四边形EFGH 的面积是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由。

【原题解析】：此题是一道几何与函数的相结合的运动综合题，意图是考查迅速对数形结合、函数思想的应用能力。

试题让学生在运动变化中探究数学问题的本质，去发现变量之间互相依存的函数关系，培养学生的数学能力。

试题第（1）问运用三角形全等的判定与性质、直角三角形两锐角互余等几何知识给予解答；第（2）问根据图形的面积关系，运用勾股定理列出函数关系式，然后用配方法求最值；第（3）问已知函数值S ，求对应的自变量t 的值。

改编1：在边长为1cm 的正方形ABCD 中，点E F G H ，，，分
别按A B B C →→，，
C D →，D A →的方向同时出发，以1cm/s 的
A D
G
C
(第24题图①
) (第24题图③)
C
速度匀速运动．
（1）在运动中，点E F G H ，，，所形成的四边形EFGH 为（ ） Ａ．平行四边形 Ｂ．矩形 Ｃ．菱形 Ｄ．正方形
（2）当点E F G H ，，，运动到何处时，四边形EFGH 的面积最小？并说明理由。

（3）当运动时间t 等于多少秒时，四边形EFGH 的面积S 是正方形ABCD 面积的
58？
【改编意图说明】：
① 把原题改编成图形运动类试题，使得试题比较灵活，展现形式活泼、新颖； ② 增加第一问，并以选择题的形式出现，这样有利于引起学生的兴趣，使试题的难度降低了；
③ 删除原题的第二问，另外设置一个与前二问有关联的问题，形成递进关系。

同时，这一问又可考查学生对一元二次方程的掌握情况。

改编2：在边长为4cm 的正方形A B C D 中，点E F
G H ，，，分别按A B B C →→，，C D →，D A →的方向同时出发，以1cm/s 的速度匀速运动．在运动
过程中，设四边形EFGH 的面积为2
(cm )S ，运动时间为(s)t ． （1）试证明四边形EFGH 是正方形；
（2）写出S 关于t 的函数关系式，并求运动几秒钟时，面积最小？最小值是多少？
（3）是否存在某一时刻t ，使四边形EFGH 的面积与正
方形ABCD 的面积比是5：8？若存在，求出t 的值；若不存在，说明理由。

【改编意图说明】：
① 把“边长为1cm ”改成“边长为4cm ”，这样便于学生计算，在配方时尽可能地不出现分数；
② 把原来的选择题设计成一道几何证明题，这取材于义务教育课程标准实验教材书，目的在于引导教师在教学过程中要重视教材，注意课本的典型例题及其解法。

这不但可以考查几何演绎推理能力，而且为第二问的解答作铺垫；
G
③ 第二问改编后，使得问题更加简明，目的性更强，便于学生理解和解答； ④ 将第三问改编成存在型问题，同样使试题形式活泼、新颖，同时还能更好地考查学生的思维能力与探索创新能力。

改编3：
变式1：在试题的基础上还可以追加一问：
（4）若将条件“以1cm/s 的速度匀速运动”改为“点E 、G 以1cm/s 的速度匀速运动，点F 、H 以2cm/s 的速度匀速运动。

”那么四边形EFGH 的面积有最大值或最小值吗？若有，请求出这个值，若没有，请说明理由。

变式2：还提出下面一个问题：
（5）在运动过程中，连结EG ，试猜想线段EG 一定会经过哪一点，并说明理由。

变式3：已知，如图①，E 、F 、G 、H 按照AE ＝CG ，BF ＝
DH ，BF ＝nAE （n 是正整数）的关系，分别在两邻边长为a ，na 的矩形ABCD 各边上运动，设AE ＝x ，四边形EFGH 的面积为S 。

（1）当n ＝1，2时，如图②，如图③，观察运动情况，写出四边形EFGH 各顶点
运动到何位置，使
1
?2S S =
矩形ABCD
（2）当n ＝3时，如图④，求S 与x 之间的函数关系式（写出自变量x 的取值范围）探索S 随x 增大而变化的规律，猜想四边形EFGH 各顶点运动到何位置使
1
?2S S =
矩形ABCD
G A H D E
G
B F C
①
A H D A H D
E G E G
B F
C B F C
② ③
A H D
E G
（3）当n＝k（k≥1）时，你所得到的规律和猜想是否成立？为什么？。