(完整word版)初中数学题的改编与变式

初中数学题的改编与变式

普陀二中 张杰 题1、【原题出处1】（2007·常州）

已知，如图，正方形ABCD 的边长为6，菱形EFGH 的三个顶点E 、G 、H 分别在正方形ABCD 边AB 、CD 、DA 上，AH ＝2，连接CF ．

（1）当DG ＝2时，求△FCG 的面积；

（2）设DG ＝x ，用含x 的代数式表示△FCG 的面积； （3）判断△FCG 的面积能否等于1，并说明理由． 【原题出处2】（慈溪中学2008年保送生招生考试第14题）

已知，如图，矩形ABCD 中，AD=6，DC=7，菱形EFGH 的三个顶点E ，G ，H 分别在矩形ABCD 的边AB ，CD 上，AH=2，连接CF ． （1）当四边形EFGH 为正方形时，求DG 的长； （2）当△FCG 的面积为1时，求DG 的长； （3）当△FCG 的面积最小时，求DG 的长.

【原题解析】：本题的设计的意图是考察学生的数学思想方法，核心思想“特殊～一般～特殊”，第（1）问中“DG ＝2”寓意于DG ＝AH ，即△HAE ≌△GDH ，且∠GHE ＝90°．四边形（菱形）EFGH 已特殊化为正方形。

第（2）问中“DG ＝x ”是让菱形EFGH 一般化．由于可推知△FCG 中，CG ＝6－x ，所以，作出CG 边上的高FM 就成为一种必然，再连接GE ，通过证明△HAE ≌△FMG ，得FM ＝AH ＝2．

第（3）问是借助试题中“菱形E F G H 的三个顶点E 、G 分别在正方形A B C D 边A B 、C D 上”的限制作用．由第（2）问可知，FM ＝AH ＝2，是一个定值，则x 的大小就限制了△FCG 的面积．因为HD ＞AH ，所以HC ＞HB ，即①点E 不可能与点A 重合（x 的最小值为0，即HG 的最小值等于HD ）②点G 不能与点C 重合（即HG 的最大值等于HB ）．这样通过求出x 的值并由此求出HG （或AE ）的值就可以正确判断△FCG 的面积能否等于1了．

A

B

C

D E

F

G

H M H G

F

E

B

A

D

C

改编题：如图，正方形ABCD的边长为6.以直线AB为x轴、AD为y轴建立平面直角坐标系.菱形EFGH的三个顶点H、E、G分别在正方形ABCD边DA、AB、CD上，已知AH＝2.

（1）如图甲，当点F在边BC上时，求点F的坐标；

（2）设DG=x.请在图乙中探索：用含x的代数式表示点F的坐标；

（3）设点F的横坐标为m.问:m有无最大值和最小值？若有，请求出；若无，请直接作否定的判断，不必说明理由.

【改编意图说明】：

本题的关键点F的位置，在边B C上,是它的一种特殊情形，我设计改编的意图是以探究动态菱形E F G H中，点F的位置变化为主线而展开。从易到难的策略，利用从特殊到一般的思想，再辅于整体感知、逆向思维等方法，来考察学生的思维。解：（1）如图甲，连接GE.

∵DG∥BE，∴∠DGE＝∠BEG，

∵HG∥EF，∴∠HGE＝∠FEG，

∴∠DGH＝∠BEF.

在△HDG与△FBE中，

90,

,

,

HDG

DGH

HG

FBE

BEF

FE

⎧∠=∠=

⎪

∠=∠

⎨

⎪=

⎩

∴△HDG≌△FBE，

∴FB＝

HD＝AD－AH＝6－2＝4,

∴点F的坐标为（6，4）.

（2）如图乙，连接GE，作FM⊥x轴，垂足为点M. 同理可证，△HDG≌△FME，

∴ME＝DG＝x，FM＝HD＝4.

在Rt△HDG中，HG2＝42＋x2＝16＋x2，

∵HG＝HE，∴HE2＝HG2＝16＋x2.

在Rt△HAE中，

AE=

∴AM＝AE＋EM

x，

∴点F

x，4）.

（3）依题意，可知HD＞HA.即：

①当点G与点D重合时，m最小，此时x＝0，

∴m

x

＝.

②当点E与点B重合时，m最大，此时HG2＝HB2＝22＋62＝40，

∴DG＝x

==

∴m

x

6

=+

题2、【原题出处】（2007年.江西）

如图，已知∠AOB，OA=OB，点E在OB边上，四边形

AEBF是矩形，请你只用无刻度的直尺在图中画出∠AOB的

平分线（保留画图痕迹）.

图1

【原题解析】：本题以一道作图题的形式出现，打破了以往作

图题的范畴，它强调只用无刻度的直尺在图中画出∠AOB的平分线，使得此题不是纯粹的作图题，实际上是一道几何的证明题，它需要综合运用矩形的性质“矩形的对角互相平分”和等腰三角形的三线合一的性质，才能完成。只有知道AB和EF 的交点在等腰△AOB的顶角平分线上，才能达到解决问题的目的。

【改编意图说明】：孙维刚老师提出：要站在知识系统的高度来进行数学教学，做到多题归一、一题多解。本题组的设计，就是“多题归一”的一个体现。我将原题中的矩形分别改换成圆、菱形、平行四边形，不同图形的出现与变化，形式上变了，但本题的解题思路一样，实质没有变化。只要大家掌握了解决原题的方法，就能很快找到其解决办法。虽然它们各自用不同知识解决同一问题,对学生的思维得以发散。

改编1、如图9，已知∠AOB，⊙P与∠AOB的两边相切，请你只用无刻度的直尺在图中画出∠AOB的平分线（保留画图痕迹）.

改编2.如图10，已知∠AOB，E、F分别在OA、OB上，四边形EOFP是菱形，请你只用无刻度的直尺在图中画出∠AOB的平分线（保留画图痕迹）.

改编3.如图11，已知∠AOB，OA=OB，点E在OB边上，四边形AEBF是平行四边形，请你只用无刻度的直尺在图中画出∠AOB的平分线（保留画图痕迹）.

图3 图4

图2