函数的幂级数展开式的应用解读

20 20 6 20
r2
1 ( )5 5! 20
1 (0.2)5 120
1 300000
105 ,
sin 90 0.157079 0.000646 0.156433
其误差不超过 105 .
二、计算定积分
例如函数 ex2 , sin x , 1 , 原函数不能用初等 x ln x
函数表示, 难以计算其定积分.
n1 n!
n0 n!
e x ( x 1)x,
n2
n1 n!2n
s(1) 2
1
e2
(1
1)
1
3
2 24
e.
四、欧拉公式
复数项级数:
(u1 jv1 ) (u2 jv2 ) (un jvn )
其中un ,vn(n 1,2,3,)为实常数或实函数.
若u un , v vn ,
2!
n!
sin x x x3 x5 (1)n1 x2n1 , ( x )
3! 5!
(2n 1)!
cos x 1 x2 x4 (1)n x2n , ( x )
2! 4!
(2n)!
由e x的幂级数展开式
e jx 1 jx 1 ( jx)2 1 ( jx)n
n1
n1
则称级数 (un ivn )收敛, 且其和为 u iv . n1
复数项级数绝对收敛的概念
若 u12 v12 u22 v22 un2 vn2 收敛,
则 un , vn 绝对收敛,称复数项级数绝对收敛.
n1
n1
三个基本展开式
e x 1 x x2 xn , ( x )
求极限
lim
x0
x
arcsin sin3 x
x
.
思考题解答
arcsin x x 1 x3 1 3 x5 , ( x 1) 2 3 24 5
sin 3
x
1 4
33
3!
3
x3
35 5!
3
x5
,
( x )
将上两式代入
lim
x0
x
arcsin sin3 x
2 x2 )2
3,
故
n1
2n 2n
1
3.
例5
求
n1
n2 n!2n
的和.
解
令 s( x) n2 xn ,
n1 n!
(,)
s( x) n(n 1) nxn n(n 1)xn 1 xn
n1
n!
n1 n!
n1 (n 1)!
x2(
x n ) x
xn
x2 (e x 1) xe x
2!
n!
(1 1 x2 (1)n x2n )
2!
(2n)!
cos x
j( x 1 x3 (1)n x2n1 )
3!
(2n 1)! sin x
cos x j sin x
e jx cos x j sin x
又e jx cos x j sin x
cos sin
x x
1, 2
arctan 1 arctan 2
1 8
arctan
1 2 1 1
1
8 1
arctan
2 3
,
28
s3
s2
arctan 1 18
arctan
2 3
arctan 1 18
arctan 3 , 4
假设 sk1
arctan
k
k
1,
sk
arctan k 1 k
1 arctan 2k 2
arctan k
例1 计算e的近似值,使其误差不超过105.
解 e x 1 x 1 x2 1 xn ,
2!
n!
令 x 1, 得 e 1 1 1 1 ,
2!
n!
余和:
rn
1 1 (n 1)! (n 2)!
1 (1 1 ) (n 1)! n 2
(n
1 (1 1)!
1 n
收敛的交错级数
7 7! 3000
取前三项作为积分的近似值,得
1 sin x dx 1 1 1 0.9461
0x
3 3! 5 5!
三、求数项级数的和
1.利用级数和的定义求和:
(1)直接法; (2)拆项法; (3)递推法.
例4
求
n1
arctan
1 2n2
的和.
解 s2
s1
arctan
解法 被积函数
定积分的近似值
展开成幂级数
逐项积分
例3
计算
1
0
sin x
x
dx
的近似值,
精确到104.
解 sin x 1 1 x2 1 x4 1 x6 x (,)
x
3! 5Fra Baidu bibliotek 7!
1 sin x dx 1 1 1 1
0x 第四项
1
3 3! 1
5 5! 7 7! 104 ,
k
, 1
sn
arctan
n n
1
arctan1
4
(n )
故
n1
arctan
1 2n2
4
.
2.阿贝尔法(构造幂级数法):
an n0
lim
x1
an xn ,
n0
求得s( x) an xn ,
n0
an
n0
lim
x1
s( x).
(逐项积分、逐项求导)
例4
求
n1
2n 2n
1 的和.
e e
jx jx
e jx 2 e jx 2j
欧拉公式
e x jy e x (cos y j sin y)
揭示了三角函数和复变数指数函数之间的 一种关系.
五、小结
１、近似计算,求不可积类函数的定积分， 求数项级数的和，欧拉公式的证明；
２、微分方程的幂级数的解法．(第十二节介绍)
思考题
利用幂级数展开式,
一、近似计算
A a1 a2 an , A a1 a2 an , 误差 rn an1 an2 .
两类问题: 1.给定项数,求近似值并估计精度; 2.给出精度,确定项数. 关健:通过估计余项,确定精度或项数.
常用方法:
1.若余项是交错级数,则可用余和的首项来解决;
2.若不是交错级数,则放大余和中的各项,使之成 为等比级数或其它易求和的级数,从而求出其和.
解
令
s( x)
n1
2n 2n
1x
2
n2
,
( 2, 2)
s( x) (
n1
x 0
2n 2n
1
x
2
n2
dx
)
(
n1
x 2n1 2n
)
( 1 ( x2 )n )
x n1 2
(
1 x
2
x
2
x
2
)
( 2
x x2
)
x2 (2
2 x2 )2
,
lim
x1
s( x)
lim
x1
x2 (2
1
(n
1 1)2
)
1 n n!
欲使 rn 105 ,
即 n n! 105 ,
只要 1 105 , n n!
而 8 8! 322560 105 ,
e 11 1 1 1
2! 3!
8!
2.71828
例2 利用sin x x x3 计算sin 90的近似值, 3!
并估计误差.
解 sin 90 sin 1 ( )3 ,