34总体分布的假设检验

3.4 母体分布的假设检验

分布的假设检验：对母体的分布作某项假设，再从母体上抽取子样，用以检验该假设应予接受还是拒绝。

⎩⎨

⎧

知类型，但有k个检验母体的分布为某已完全已知的检验母体的分布为某个分类

检验方法有多种，这里只介绍常用的2χ检

验法。

（1）假设母体的分布已知，且是只有有限多项的离散分布

①在母体上作假设 i i p A P H =)(:0，l i ,,2,1 =.

其中l A A A ,,,21 是一个完备事件组，i p 是已知数。

②从母体抽取容量为50>n 的大子样，得i

A 发生的频数为i m ，l i ,,2,1 =，其中n m l

i i =∑=1

. ③计算理论频数：由于i i p A P =)(，则在n 次

独立重复试验中，i A 发生的次数),(~i i p n B Y ，从而理论频数i i np Y E =)(，l i ,,2,1 =，即有

④检验统计量：构造i m 对i np 的偏差的加权平方和

∑=-=l

i i i i

np m np 122

)( 1χ （3.5.1） 由K.Pearson 定理知：（3.5.1）式中的

)1(~220-∞

→l n H χχ，于是取大子样时，检验统计量

)1(~2

2

-l H χχ近似

⑤拒绝域：由2χ的意义知，在2χ的值较小

时应接受0H ，故给定显著水平α，构造小概率

事件

αχχα≈-≥)}1({2

2

l P

取拒绝域为

})1(),,,{(2

221-≥=l x x x W n αχχ

⑥决策：当抽样结果是W x x x n ∈),,,(21 时，

拒绝0H ，认为母体分布与0H 中的分布有显著差异；否则接受0H ，认为无显著差异.

例3.4.1 检验一颗骰子的六个面是否匀

称（05.0=α）.

解：记事件i A 为“掷骰子一次，结果出现点数i ”, 6,,2,1 =i .

对一个均匀的骰子应有：61

)(=i A P ，6,,2,1 =i .

①作假设 61

)(:0==i i p A P H ，6,,2,1 =i .

②从母体抽取容量为120=n 的子样后，得大子样列表：

③检验统计量

)

1(~ )(26

1

2

20--=∑=l np np m H i i i

i χχ近似 拒绝域为

})1(),,,{(2

212021-≥=l x x x W αχχ

④这时，∑==-=6

1

2

2 8.1 )(i i i

i np np m χ，07.11)5()1(205.02==-χχαl , 从而)1(2

2-

受0H ，即认为骰子的六个面是匀称的。

（2）检验母体X 的分布形式已知的假设

①在母体上作假

设

),,,;()(:2100k x F x F H θθθ =，其中k θθθ,,,21 为k 个

未知参数。

②从母体抽取容量为50>n 的大子样，求出k θθθ,,,21 的最大似然估计值k θθθ∧

∧∧,,,21 ，则

),,,;()(210k x F x F θθθ∧

∧

∧

= 成为已知函数.

③分组求理论频数，构造大子样列表 选分点l

a a a a <<<< 2

1

，（可以是+∞=-∞=l a a ,0），将子样分为l 组：

]},({1i i i i a a X A -∈=，l i ,,2,1 =. 则：

i a F a F a F a F a X a P A P p k i k i i i i i i i i ,

,2,1 ),,,,;(),,,;()

()()()( 2112111 =-=-=≤<==∧

∧

∧

-∧

∧

∧

--θθθθθθ

于是有下表：

④检验统计量：构造i m 对i np 的偏差的加权平方和

∑=-=l

i i i i

np m np 12

2

)

(1χ （3.5.2） 定理：（3.5.2）式中的)1(~2

2

--∞

→k l n H

χχ. （注：

l 是子样组数，k 是未知参数的个数，当0=k 时此定理即K.Pearson 定理）

于是取大子样时，检验统计量

)1(~2

2

--k l H χχ近似

⑤拒绝域为

})1(),,,{(2

2

21--≥=k l x x x W n αχχ

⑥决策：当抽样结果是W x x x n ∈),,,(21 时，拒绝0H ，认为母体分布函数与)(0x F 有显著差异；否则接受0H ，认为无显著差异.

注①要用大子样，50>n ；

②要求理论频数5≥i np ，l i ,,2,1 =，否

则进行组的合并；

③取组数14~7=l ，但为了保证5≥i np ，

可使7

④需要并组时，)1(2--k l χ中的l 是并组

后的组数。

例3.4.2 在某细纱机上进行断纱率测定，

试验锭子总数为440个，测得各锭子的断纱次数，记录如下：

试检验各锭子的断纱数X 是否服从泊松