用一元二次方程解决几何图形问题同步练习

第3课时用一元二次方程解决几何图形问题

要点感知面积(体积)问题属于几何图形的应用题，解决问题的关键是将不规则图形分割或组合、平移成规则图形，找出未知量与_____的内在联系，根据_____公式列出一元二次方程.

预习练习1-1 (襄阳中考)用一条长40 cm的绳子围成一个面积为64 cm2的长方形.设长方形的长为x cm，则可列方程为( )

(20+x)=64 (20-x)=64 (40+x)=64 (40-x)=64

1-2 (兰州中考)如图，在一块长为22米，宽为17米的矩形地面上，要修建同样宽的两条互相垂直的道路(两条道路分别与矩形的一条边平行)，剩余部分种上草坪，使草坪面积为300平方米.设道路宽为x米，根据题意可列出的

方程为_____.

知识点1 一般图形的问题

1.(白银中考)用10米长的铝材制成一个矩形窗框，使它的面积为6平方米.若设它的一条边长为x米，则根据题意可列出关于x的方程为( )

(5+x)=6 (5-x)=6 (10-x)=6 (10-2x)=6

2.有一个面积为16 cm2的梯形，它的一条底边长为3 cm，另一条底边长比它的高线长1 cm，若设这条底边长为x cm，依据题意，列出方程整理后得( )

+2x-35=0 +2x-70=0 =0 +70=0

3.(宿迁中考)一块矩形菜地的面积是120 m2，如果它的长减少2 m，那么菜地就变成正方形，则原菜地的长是_____m.

4.一个直角三角形的两条直角边相差5 cm,面积是7 cm2,这两条直角边长分别为_____

5.如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园ABCD(围墙MN最长可利用25 m)，现在已备足可以砌50 m长的墙的材料，试设计一种砌法，使矩形花园的面积为300 m2.

知识点2 边框与甬道问题

6.如图，在宽为20 m，长为32 m的矩形地面上修筑同样宽的道路(图中阴影部分)，余下的部分种上草坪.要使草坪的面积为540 m2，求道路的宽.如果设小路宽为x m，根据题意，所列方程正确的是( )

A.(20-x)(32-x)=540

B.(20-x)(32-x)=100

C.(20+x)(32-x)=540

D.(20-x)(32+x)=540

7.如图所示,某小区计划在一个长为40米,宽为26米的矩形场地ABCD上修建三条同样宽的甬路,使其中两条与AB 垂直,另一条与AB平行,其余部分种草,若使每一块草坪的面积都为144平方米,求甬路的宽度.

8.如图，某单位准备在图书馆直角墙角处搭建一个面积为450平方米的矩形堆物场，其中两边可以利用图书馆的墙角，并利用已有总长60米的铁围栏，并且中间要用铁围栏分隔为两块，求AB的长度.设AB的长为x米，则可列方程为_____.

9.如图所示，在一块正方形空地上，修建一个正方形休闲广场，其余部分铺设草坪，已知休闲广场的边长是正方形空地边长的一半，草坪的面积为147 m2，则休闲广场的边长是_____m.

10.在高度为 m的一面墙上，准备开凿一个矩形窗户.现用 m长的铝合金条制成如图所示的窗框.问：窗户的宽和高各是多少时，其透光面积为3 m2(铝合金条的宽度忽略不计)？

11.某村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室，要求长与宽的比为2∶1.在温室内，沿前侧内墙保留3 m宽的空地，其他三侧内墙各保留1 m宽的通道.当矩形温室的长与宽各为多少时，蔬菜种植区域的面积是288 m2？

12.如图，要设计一个等腰梯形的花坛，花坛上底长120 m，下底长180 m，高80 m，在两腰中点连线(虚线)处有一条横向甬道，上、下底之间有两条纵向甬道，各甬道宽度相等，设甬道的宽为x m.

(1)用含x的式子表示甬道的面积；

(2)根据设计的要求，甬道的宽不能超过6 m.如果修建甬道的总费用(万元)与甬道的宽度成正比例关系，比例系数为，花坛其余部分的绿化费用为每平方米万元，那么甬道宽度为多少米时，所建花坛费用为239万元？

挑战自我

13.已知如图所示，在△ABC中，∠B=90°.AB=5 cm,BC=7 cm.点P从点A开始沿AB边向点B以1 cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2 cm/s的速度移动.

(1)如果点P，Q分别从点A，B同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积等于4 cm2?

(2)如果点P，Q分别从点A，B同时出发，那么几秒后，PQ的长度等于5 cm?

(3)在问题(1)中，△PBQ的面积能否等于7 cm2?说明理由.

参考答案

要点感知已知量，面积(体积)

预习练习1-1 B

1-2 (22-x)(17-x)=300.

. cm、7 cm.

5.设AB=x m，则BC=(50-2x)m.根据题意,得x(50-2x)=300.

解得x 1=10，x 2=15.

当x=10，BC=50-2×10=30＞25，故x 1=10不合题意,舍去.∴x=15. 答：可以围成AB 为15 m ，BC 为20 m 的矩形.

7.设甬路的宽度为x 米.依题意,得 (40-2x)(26-x)=144×6.

解得x 1=2,x 2=44(不合题意,舍去). 答:甬路的宽度为2米.

(60-2x)=450.

10.设窗户的高为x m ，则窗户的宽为35.025.9--x =3-32x(m)，则根据题意列方程为：x(3-3

2

x)=3，

解得x 1=，x 2=3(不合题意，舍去). 所以窗户的高为 m ，宽为3-

3

2

×=2 m. 11.设矩形温室的宽为x m ，则长为2x m.根据题意，得 (x-2)·(2x-4)=288.

解得x 1=-10(不合题意，舍去)，x 2=14. 所以x=14，2x=2×14=28.

答：当矩形温室的长为28 m ，宽为14 m 时，蔬菜种植区域的面积是288 m 2. 12.(1)-2x 2+310x. (2)根据题意，得×［

2

120

180+×80-(-2x 2+310x)]+=239. 整理，得2x 2

-25x+50=0,

即(x-10)(2x-5)=0.解得x 1=10,x 2=

2

5. ∵x=10>6(舍去).∴x=

25. 答：此时甬道的宽度为2

5

m.

挑战自我

13.(1)设x 秒后，△PBQ 的面积等于4 cm 2.根据题意得x(5-x)=4.解得x 1=1，x 2=4. ∵当x=4时，2x=8>7，不合题意，舍去.∴x=1. (2)设x 秒后，PQ=5，则(5-x)2+(2x)2=25.