函数导数中的恒成立问题解题技巧

临沂市高三二轮会材料

函数导数中的恒成立问题解题技巧

函数导数中的恒成立问题解题技巧

新课标下的高考越来越重视考查知识的综合应用，恒成立问题涉及方程、不等式、函数性质与图象及它们之间的综合应用，同时渗透换元、转化与化归、数

形结合、函数与方程等思想方法，考查综合解题能力，尤其是在函数、导数中体

现的更为明显，也是历年高考的热点问题,根据本人的体会，恒成立问题主要有以下几种.

一、利用函数的性质解决恒成立问题

例1 已知函数32

a b R．

f x x a x a a x b(,)

()(1)(2)

(1)若函数()f x 的图象过原点，且在原点处的切线斜率是3，求,a b 的值；

(2)

若函数()f x 在区间(1,1)上不单调．．．，求a 的取值范围．

解：(1)由题意得)

2()1(23)

(2

a

a x

a x x f 又

3

)

2()

0(0)0(a

a f b

f ，解得0b ，3a 或1

a (2)

函数)(x f 在区间)1,1(不单调，等价于

导函数)(x f 在)1,1(既能取到大于0的实数，又能取到小于0的实数

即函数)(x f 在)1,1(上存在零点，根据零点存在定理，有

0)

1()1(f f ，

即：0

)]2()1(23)][2()

1(23[a a a a a a 整理得：0)1)(1)(5(2

a a a ，解得

1

5

a

所以a 的取值范围是15a

a

.

【方法点评】利用函数的性质解决恒成立问题，主要是函数单调性的应用，函数在给定的区间上不单调意味着导函数在给定的区间上有零点，利用函数零点的存

在性定理即可解决问题.

二、利用数形结合思想解决恒成立问题例2 已知3x

是函数2

ln 110f x

a x

x

x 的一个极值点．

（1）求a ；

（2）求函数f x 的单调区间；（3）若直线y

b 与函数y

f x 的图象有3个交点，求b 的取值范围．

【方法指导】（1）在极值点处导数为零，可以求a 的值；（2）求函数的单调区间借助()

0f x 可以求出单调递增区间，

()

0f x 可以求出单调递减区间；（3）根

据函数()f x 的单调性可以求出其极大值和极小值，画出图象，数形结合可以求出b 的取值范围. 解：（1）因为'

2101a f

x

x x

，所以'

3

61004

a f

，因此16a ．（2）由（1）知，2

16ln 110,1,

f x

x x x x ，2

'

243

1x

x f

x x 当1,13,

x

U 时，'

0f

x

；当1,3x 时，'

0f

x

．

所以f x 的单调增区间是1,1,3,，f x 的单调减区间是

1,3．

（3）由（2）知，f x 在1,1内单调增加，在1,3内单调减少，在3,上

单调增加，且当1x

或3x

时，'

f x

所以f x 的极大值为116ln 29f ，极小值为3

32ln 221

f 因此2

16

16

101616ln 29

1

f f 2

1

3211

21

3

f e

f 所以在f x 的三个单调区间1,1,1,3,3,直线y

b 有y

f x 的图象各有一个交点，当且仅当

3

1

f b

f 因此，b 的取值范围为32ln 221,16ln 29．

【方法点评】数形结合是高中数学中常考的思想方法之一，在有关取值范围问题、单调性问题、最值问题中体现较明显，同时方程的根及函数零点也可转化为交点问题解决.

三、分离参数解决恒成立问题例3 已知函数()

ln a f x x

x

，

(1)当0a

时，判断()f x 在定义域上的单调性；

(2)若2

()

f x x 在(1,

)上恒成立，求a 的取值范围．

【方法指导】（1）通过判断导数的符号解决；（2）由于参数a 是“孤立”的，可以分离参数后转化为一个函数的单调性或最值等解决．解：(1)由题意：()f x 的定义域为(0,

)，且2

2

1()

a x a f x x

x

x

．

0,

()

0a

f x Q ，故()f x 在(0,)上是单调递增函数．(2)

3

2

2

ln ,

0.ln ,

)

(x

x

x a

x

x x

a x

x x f 又令2

3

2

116()

ln ,()

()1ln 3,()

6x g x x x x h x g x x x h x x

x

x

，

()h x Q 在[1,)上是减函数，()(1)2h x h ，即()

0g x ，

()g x 在[1,

)上也是减函数，()

(1)

1g x g ．

令1a 得()a

g x ，