随机振动功率谱估计方法研究
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2010 年第 12 期 （总第 147 期）
China Hi-Tech Enterprises
NO.12.2010 （CumulativetyNO.147）
随机振动功率谱估计方法研究
（贵州江南机电设计研究所， 贵州 遵义 563004）
摘要： 功率谱估计在航空、 航天和其他领域中应用广泛。快速、 准确的功率谱估计能够有效地对飞行器实测数据进行 分析， 测量系统中的噪声， 指导振动试验。文章主要介绍了随机振动功率谱估计的方法， 为工程设计提供理论依据。 关键词： 功率谱估计； 随机振动； 工程设计； 周期图法； 非参数方法 中图分类号： TN911 文献标识码： A 文章编号： 1009-2374 （2010） 12-0021-03 对于随机信号， 无法像确定性信号那样用数学表达式来 确定地描述它， 而只能用它的各种统计平均量来表征它。其 中， 自相关函数最能完整地表征它的特定统计平均值。而一 个随机信号的功率谱密度正是自相关函数的傅里叶变换， 我 们可以用功率谱密度来表征它的统计平均谱特性。所以， 要 在统计意义下描述一个随机信号， 就需要估计它的功率谱 （Power Spectral Density， PSD） 。功率谱估计在其他应用中也 有十分重要的作用， 测量噪声频谱、 检验埋没在宽带噪声中的 窄带信号， 飞行器实测数据的分析， 以及用噪声激励法估计线 性系统的参数等， 都要估计功率谱。因此， 随机信号的功率谱 估计是当前信号处理中的一个重要的研究课题。 种方法属于经典谱估计的一类——周期图法。相比非参数方 法， 参数方法则主要围绕 ARMA（自回归移动平均） 模型的参 数估计问题来计算信号的功率谱， 属于现代谱估计方法。 （一） 经典谱估计——周期图法 视为一 周期图法是把随机信号的 N 点观察数据 xN（t） ， 然 有限信号， 直接取其傅里叶 （Fourier）变换， 得到 XN（ω） 后取其幅度的平方， 并除以 N， 作为对信号真实功率谱密度 G（ω） 的估计， 即： 1 2 G (ω ) = X N (ω ) （1） N ω 表示圆频率 式中： （rad/s） ， 在实际应用中频率一般采用 则 赫兹 （Hz） 为单位， 即取 f=ω/2π， 设其相应功率谱密度为 Gf， 。 有 Gf =2πG（ω） 周期图估计方法的效果并不好， 它的估计方差很大， 而且 不满足一致性估计条件， 即方差不会随着 N 的增大而趋于零。
（15）
得： 将 z=e jω 代入上式， jω 2 B (e ) 2 Px ( z ) = σ ω | | A(e jω )
因为 x （n） 仅与 w （n） 相关， 而与 n 以后时刻的白噪声序 列无关。于是， 利用这一结果， 自相关函数可以化为： （7）
p ⎧ − ∑ a k Rx ( m − k ) , m>0 ⎪ ⎪ Rx (m) = ⎨ p k =1 （16） 2 ⎪− ∑ a k R x ( m − k ) + σ ω ,m = 0 ⎪ k =1 ⎩ p 分别代入上式中的一式， 将 m=1， 2，…， 并写成矩阵形
k =1 p
式：
Rx (−1) Rx (−2) L Rx (−( p − 1) ⎡ Rx (0) ⎢ R (1) R Rx (−1) L Rx (−( p − 2) ( 0 ) x x ⎢ ⎢ M M M M M ⎢ L R p R p R p R ( − 1 ) ( − 2 ) ( − 3 ) x x x (0) ⎣ x ⎡ Rx (1) ⎤ ⎤ ⎡ a1 ⎤ ⎥ ⎢ ⎥⎢a ⎥ 2 ⎥ ⎢ ⎥ = − ⎢ Rx (2) ⎥ ⎢ M ⎥ ⎥⎢ M ⎥ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ a ⎢ p⎦ ⎥ ⎣ Rx ( p ) ⎦ ⎦⎣
（8）
上式称为 P 阶自回归模型， 简称 AR 模型。将上式进行 z
（17）
- 22 -
功 率 谱 密 度(dB / H z)
若将上式与 m=0 时的 R （ 和在一起， 就可以写成 （p+1） x m） p *（ +1） 的矩阵形式： 2 Rx (−1) Rx (−2) L Rx ( − p ) ⎤ ⎡ 1 ⎤ ⎤ ⎡σ ω ⎡ R x ( 0) ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ R (1) ⎥ Rx (0) Rx (−1) L Rx (−( p − 1) ⎥ ⎢ a1 ⎥ 0 ⎢ x = −⎢ ⎥ ⎢ M ⎥ ⎢ M ⎥⎢ M ⎥ M M M M ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ Rx (0) ⎦ ⎣ ⎥ ⎢0⎦ ⎥ ⎢a p ⎦ ⎣ Rx ( p ) Rx ( p − 1) Rx ( p − 2) L ⎣ （18） 上述方程就是 p 阶尤利－沃克， 解此方程可得系数 a（ k k=1， 就可以求得序列 x （n） 的功率谱估计。 2，… p） 和 σω2，
bl， 就可求得随机信号序列的 如果确定了 σω2 和系数 ak、 。 功率谱密度 Px（ω） bl 的 特 点， 可分为三类模型来讨论 （设 根 据 系 数 ak、 a0=b0=1） 。 （1） AR（Auto-Regressive） 模型 bl=0， 则系统的差分方程变为： 若 l>1 时， x(n) = −∑ a k x(n − k ) + w(n)
ak x ( n + m −k ) + w( n + m )]} Rx ( m ) = E{ x ( n )[ − ∑
k =1 p
A( z ) = ∑ a k z 式中：
k =0
p
−k
B( z ) = ∑ bl z ，
l =0
p
。
2
=− ak Rx ( m −k ) + E{ x ( n ) w( n + m )} ∑
k =1
p
（14）
若输入白噪声功率谱密度为 Pω（z） = σω ， 则输出功率谱 密度为：
−1 −1 2 2 B( z ) B( z ) Px ( z ) = σ ω H ( z ) H ( z ) = σ ω A( z ) A( z −1 )
式中的第二项：
（6）
⎧ 0, m > 0 E{ x ( n) w( n + m)} = E{w( n) w( n + m)} = ⎨ 2 ⎩σ ω , m = 0
−1 H ( z ) = B ( z ) = 1 + ∑ bl z l =0 p
（12）
（3）
w（n） 式中： 表示白噪声序列， 对上式进行 z 变换得：
∑a
k =0
p
k
X ( z ) z − k = ∑ blW ( z ) z −l
l =0
p
（4）
故系统模型的传递函数为：
X ( z) = H ( z ) = W ( z)
x(n) = ∑ bl w(n − l ) − ∑ a k x(n − k )
l =0 k =0 p p
变换， 得：
H ( z) =
X ( z) 1 = = W ( z ) A( z )
1 1 + ∑ ak z −k
k =1 p
（9）
所以， AR 模型又成为全极点模型。AR 模型的输出功率 谱为：
干昌浩
一、 功率谱估计的方法
功率谱估计有多种方法， 一般可以分为非参数方法与参 数方法。非参数方法中较为常用的是韦尔奇 （welch） 方法， 这
变形研究的可行方法， 对预测路面的高温抗车辙能力进行比 较， 从而确定合理的路面结构。避免和减少路面出现车辙的 问题， 具有一定的经济效益。 参考文献 [1] 肖庆一．参加抗车辙剂沥青混合料技术性能及其数 值模拟研究 [D]．西安： 长安大学博士学位论文， 2007. [2] 黄菲．沥青路面永久变形数值模拟及车辙预估 [D]． 南京： 东南大学硕士学位论文， 2006. [3] 张波．ANSYS 有限元数值分析原理与工程应用 [M]． 北京： 清华大学出版社， 2005． [4] 孙立军．沥青路面结构行为理论 [M]．北京： 人民交 通出版社， 2005. 作者简介： 李林勇 （1981-） ， 男， 山东济宁人， 胜利油田胜 利工程建设 （集团） 有限责任公司助理工程师； 孟庆民 （1976-） ， 男， 山东东营人， 胜利油田胜利工程建设 （集团） 有限责任公 司工程师； 刘文涛 （1982-） ， 男， 山东德州人， 胜利油田胜利工 程建设 （集团） 有限责任公司助理工程师。
P来自百度文库 (ω ) =
2 σω
| A(e ) |
jω
2
=
2 σω
| 1 + ∑ a k e j ωk | 2
k =1
p
（10）
显然， 只要计算出 σω2 和 ak 系数， 就能求得功率谱 P （ 。 x ω） （2） MA（moving average） 模型 并且除 a0=1 外， 其余 ak 系数为零， 则差分方程 如果 bl=0， p 为： x(n) = ∑ bl w(n − l ) （11） l =1 上式称为 p 阶移动平均模型， 简称 MA 模型， 其传递函数 为：
∑b z ∑a
k =0 l =0 p l k
p
−l
=
−k
z
B( z ) A( z )
−l
（5）
MA 模型又称作全零点模型。 bl 均不为零时， 则该系统称为 （3） ARMA 模型。当 ak、 ARMA 模型。ARMA 模型是描述离散线性时不变系统模型的 最广义形式， 但任何的 ARMA 模型都可以用高阶的 AR 模型 或 MA 模型来逼近， 且由于 AR 模型参数的估计得到的是线 性方程， 因此在计算上， AR 比 ARMA 以及 MA 模型有明显的 优点， 而实际的物理系统也往往是全极点系统， 因此， 现代谱 估计主要采用 AR 模型。 2．模型参数估计。通过模型分析的方法来做谱估计， 关 键是要解决模型的参数估计问题， 这里主要介绍尤利——沃 克自回归方法， 该方法的核心就是如何从随机信号序列的自 相关序列中计算出指定阶数 AR 模型的参数， 以得到该随机 信号序列的功率谱估计。下面详细推导出这一方法。 定义自相关序列为： （13） Rx ( m ) = E{ x ( n) ∗x ( n + m )} 然后定义 AR 模型的差分方程：
- 21 -
韦尔奇法是对周期图法的改进， 算法的思想首先是基 N 于 分 段 平 均， 即把长为 的信号视为 L 个长为 M 的信号 （LM=N） ， 分别对这 L 个信号求周期图， 然后求这 L 个周期图 的平均值。计算公式为： 1 L G ( ω ) = ∑ Gi (ω ) （2） L i =1 实际上， 分析处理时， 为了更精确的计算功率谱， 对公式 （2） 做了一个改进， 即 L 个长为 M 的信号可以有一部分重叠， 由于重叠会使各段之间具有统计相依性， 反而会导致方差增 大， 所以在分段数目与重叠之间的选择上存在着一个折衷。 而且， 随着分段的增加， 虽然方差减小了， 但估计的偏差会变 大， 因此在使用韦尔奇法时， 需要在估计期望值偏差和估计方 差之间进行权衡。 （二） 现代谱估计的参数方法 经典的韦尔奇功率谱估计方法， 存在的主要缺点是谱分 辨率低， 而现代谱估计的参数方法很好的改善了谱估计的效 果。这类方法的基本思想是认为随机时间序列 {x （n） } 是白 噪声通过某个模型产生的。这样考虑更接近实际， 所以有可 能改善估计的效果， 通常按如下步骤进行： （1） 选择一个正确 的模型； （2） 用已观测到的样本数据或自相关函数的数据来 确定模型的参数； （3） 由此模型求出功率谱估计。 1．模型建立。现代谱估计中， 时间序列信号模型的建立 是谱估计的关键， 模型建立准确与否直接关系着谱分析结果。 在实际中， 我们常常用一个具有有理分式的线性时不变系统 函数模型来描述所遇到的随机过程序列。因此， 可以用一个 线性差分方程作为产生随机序列 {x （n） } 的系统模型， 即：
图 5 三种路面组合永久变形规律模拟
五、 结论
在进行沥青路面组合设计时， 根据当地实际气候状况， 采 用蠕变试验与有限元相结合的多种方案的比选， 确定符合要 求的路面结构。使用 SBS 改性沥青或者抗车辙剂能够明显提 高抗高温变形能力， 但工程费用也要增加， 所以根据实际情况 合理选用能满足要求的路面结构组合。 蠕变试验与有限元分析方法相结合是进行沥青路面永久
China Hi-Tech Enterprises
NO.12.2010 （CumulativetyNO.147）
随机振动功率谱估计方法研究
（贵州江南机电设计研究所， 贵州 遵义 563004）
摘要： 功率谱估计在航空、 航天和其他领域中应用广泛。快速、 准确的功率谱估计能够有效地对飞行器实测数据进行 分析， 测量系统中的噪声， 指导振动试验。文章主要介绍了随机振动功率谱估计的方法， 为工程设计提供理论依据。 关键词： 功率谱估计； 随机振动； 工程设计； 周期图法； 非参数方法 中图分类号： TN911 文献标识码： A 文章编号： 1009-2374 （2010） 12-0021-03 对于随机信号， 无法像确定性信号那样用数学表达式来 确定地描述它， 而只能用它的各种统计平均量来表征它。其 中， 自相关函数最能完整地表征它的特定统计平均值。而一 个随机信号的功率谱密度正是自相关函数的傅里叶变换， 我 们可以用功率谱密度来表征它的统计平均谱特性。所以， 要 在统计意义下描述一个随机信号， 就需要估计它的功率谱 （Power Spectral Density， PSD） 。功率谱估计在其他应用中也 有十分重要的作用， 测量噪声频谱、 检验埋没在宽带噪声中的 窄带信号， 飞行器实测数据的分析， 以及用噪声激励法估计线 性系统的参数等， 都要估计功率谱。因此， 随机信号的功率谱 估计是当前信号处理中的一个重要的研究课题。 种方法属于经典谱估计的一类——周期图法。相比非参数方 法， 参数方法则主要围绕 ARMA（自回归移动平均） 模型的参 数估计问题来计算信号的功率谱， 属于现代谱估计方法。 （一） 经典谱估计——周期图法 视为一 周期图法是把随机信号的 N 点观察数据 xN（t） ， 然 有限信号， 直接取其傅里叶 （Fourier）变换， 得到 XN（ω） 后取其幅度的平方， 并除以 N， 作为对信号真实功率谱密度 G（ω） 的估计， 即： 1 2 G (ω ) = X N (ω ) （1） N ω 表示圆频率 式中： （rad/s） ， 在实际应用中频率一般采用 则 赫兹 （Hz） 为单位， 即取 f=ω/2π， 设其相应功率谱密度为 Gf， 。 有 Gf =2πG（ω） 周期图估计方法的效果并不好， 它的估计方差很大， 而且 不满足一致性估计条件， 即方差不会随着 N 的增大而趋于零。
（15）
得： 将 z=e jω 代入上式， jω 2 B (e ) 2 Px ( z ) = σ ω | | A(e jω )
因为 x （n） 仅与 w （n） 相关， 而与 n 以后时刻的白噪声序 列无关。于是， 利用这一结果， 自相关函数可以化为： （7）
p ⎧ − ∑ a k Rx ( m − k ) , m>0 ⎪ ⎪ Rx (m) = ⎨ p k =1 （16） 2 ⎪− ∑ a k R x ( m − k ) + σ ω ,m = 0 ⎪ k =1 ⎩ p 分别代入上式中的一式， 将 m=1， 2，…， 并写成矩阵形
k =1 p
式：
Rx (−1) Rx (−2) L Rx (−( p − 1) ⎡ Rx (0) ⎢ R (1) R Rx (−1) L Rx (−( p − 2) ( 0 ) x x ⎢ ⎢ M M M M M ⎢ L R p R p R p R ( − 1 ) ( − 2 ) ( − 3 ) x x x (0) ⎣ x ⎡ Rx (1) ⎤ ⎤ ⎡ a1 ⎤ ⎥ ⎢ ⎥⎢a ⎥ 2 ⎥ ⎢ ⎥ = − ⎢ Rx (2) ⎥ ⎢ M ⎥ ⎥⎢ M ⎥ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ a ⎢ p⎦ ⎥ ⎣ Rx ( p ) ⎦ ⎦⎣
（8）
上式称为 P 阶自回归模型， 简称 AR 模型。将上式进行 z
（17）
- 22 -
功 率 谱 密 度(dB / H z)
若将上式与 m=0 时的 R （ 和在一起， 就可以写成 （p+1） x m） p *（ +1） 的矩阵形式： 2 Rx (−1) Rx (−2) L Rx ( − p ) ⎤ ⎡ 1 ⎤ ⎤ ⎡σ ω ⎡ R x ( 0) ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ R (1) ⎥ Rx (0) Rx (−1) L Rx (−( p − 1) ⎥ ⎢ a1 ⎥ 0 ⎢ x = −⎢ ⎥ ⎢ M ⎥ ⎢ M ⎥⎢ M ⎥ M M M M ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ Rx (0) ⎦ ⎣ ⎥ ⎢0⎦ ⎥ ⎢a p ⎦ ⎣ Rx ( p ) Rx ( p − 1) Rx ( p − 2) L ⎣ （18） 上述方程就是 p 阶尤利－沃克， 解此方程可得系数 a（ k k=1， 就可以求得序列 x （n） 的功率谱估计。 2，… p） 和 σω2，
bl， 就可求得随机信号序列的 如果确定了 σω2 和系数 ak、 。 功率谱密度 Px（ω） bl 的 特 点， 可分为三类模型来讨论 （设 根 据 系 数 ak、 a0=b0=1） 。 （1） AR（Auto-Regressive） 模型 bl=0， 则系统的差分方程变为： 若 l>1 时， x(n) = −∑ a k x(n − k ) + w(n)
ak x ( n + m −k ) + w( n + m )]} Rx ( m ) = E{ x ( n )[ − ∑
k =1 p
A( z ) = ∑ a k z 式中：
k =0
p
−k
B( z ) = ∑ bl z ，
l =0
p
。
2
=− ak Rx ( m −k ) + E{ x ( n ) w( n + m )} ∑
k =1
p
（14）
若输入白噪声功率谱密度为 Pω（z） = σω ， 则输出功率谱 密度为：
−1 −1 2 2 B( z ) B( z ) Px ( z ) = σ ω H ( z ) H ( z ) = σ ω A( z ) A( z −1 )
式中的第二项：
（6）
⎧ 0, m > 0 E{ x ( n) w( n + m)} = E{w( n) w( n + m)} = ⎨ 2 ⎩σ ω , m = 0
−1 H ( z ) = B ( z ) = 1 + ∑ bl z l =0 p
（12）
（3）
w（n） 式中： 表示白噪声序列， 对上式进行 z 变换得：
∑a
k =0
p
k
X ( z ) z − k = ∑ blW ( z ) z −l
l =0
p
（4）
故系统模型的传递函数为：
X ( z) = H ( z ) = W ( z)
x(n) = ∑ bl w(n − l ) − ∑ a k x(n − k )
l =0 k =0 p p
变换， 得：
H ( z) =
X ( z) 1 = = W ( z ) A( z )
1 1 + ∑ ak z −k
k =1 p
（9）
所以， AR 模型又成为全极点模型。AR 模型的输出功率 谱为：
干昌浩
一、 功率谱估计的方法
功率谱估计有多种方法， 一般可以分为非参数方法与参 数方法。非参数方法中较为常用的是韦尔奇 （welch） 方法， 这
变形研究的可行方法， 对预测路面的高温抗车辙能力进行比 较， 从而确定合理的路面结构。避免和减少路面出现车辙的 问题， 具有一定的经济效益。 参考文献 [1] 肖庆一．参加抗车辙剂沥青混合料技术性能及其数 值模拟研究 [D]．西安： 长安大学博士学位论文， 2007. [2] 黄菲．沥青路面永久变形数值模拟及车辙预估 [D]． 南京： 东南大学硕士学位论文， 2006. [3] 张波．ANSYS 有限元数值分析原理与工程应用 [M]． 北京： 清华大学出版社， 2005． [4] 孙立军．沥青路面结构行为理论 [M]．北京： 人民交 通出版社， 2005. 作者简介： 李林勇 （1981-） ， 男， 山东济宁人， 胜利油田胜 利工程建设 （集团） 有限责任公司助理工程师； 孟庆民 （1976-） ， 男， 山东东营人， 胜利油田胜利工程建设 （集团） 有限责任公 司工程师； 刘文涛 （1982-） ， 男， 山东德州人， 胜利油田胜利工 程建设 （集团） 有限责任公司助理工程师。
P来自百度文库 (ω ) =
2 σω
| A(e ) |
jω
2
=
2 σω
| 1 + ∑ a k e j ωk | 2
k =1
p
（10）
显然， 只要计算出 σω2 和 ak 系数， 就能求得功率谱 P （ 。 x ω） （2） MA（moving average） 模型 并且除 a0=1 外， 其余 ak 系数为零， 则差分方程 如果 bl=0， p 为： x(n) = ∑ bl w(n − l ) （11） l =1 上式称为 p 阶移动平均模型， 简称 MA 模型， 其传递函数 为：
∑b z ∑a
k =0 l =0 p l k
p
−l
=
−k
z
B( z ) A( z )
−l
（5）
MA 模型又称作全零点模型。 bl 均不为零时， 则该系统称为 （3） ARMA 模型。当 ak、 ARMA 模型。ARMA 模型是描述离散线性时不变系统模型的 最广义形式， 但任何的 ARMA 模型都可以用高阶的 AR 模型 或 MA 模型来逼近， 且由于 AR 模型参数的估计得到的是线 性方程， 因此在计算上， AR 比 ARMA 以及 MA 模型有明显的 优点， 而实际的物理系统也往往是全极点系统， 因此， 现代谱 估计主要采用 AR 模型。 2．模型参数估计。通过模型分析的方法来做谱估计， 关 键是要解决模型的参数估计问题， 这里主要介绍尤利——沃 克自回归方法， 该方法的核心就是如何从随机信号序列的自 相关序列中计算出指定阶数 AR 模型的参数， 以得到该随机 信号序列的功率谱估计。下面详细推导出这一方法。 定义自相关序列为： （13） Rx ( m ) = E{ x ( n) ∗x ( n + m )} 然后定义 AR 模型的差分方程：
- 21 -
韦尔奇法是对周期图法的改进， 算法的思想首先是基 N 于 分 段 平 均， 即把长为 的信号视为 L 个长为 M 的信号 （LM=N） ， 分别对这 L 个信号求周期图， 然后求这 L 个周期图 的平均值。计算公式为： 1 L G ( ω ) = ∑ Gi (ω ) （2） L i =1 实际上， 分析处理时， 为了更精确的计算功率谱， 对公式 （2） 做了一个改进， 即 L 个长为 M 的信号可以有一部分重叠， 由于重叠会使各段之间具有统计相依性， 反而会导致方差增 大， 所以在分段数目与重叠之间的选择上存在着一个折衷。 而且， 随着分段的增加， 虽然方差减小了， 但估计的偏差会变 大， 因此在使用韦尔奇法时， 需要在估计期望值偏差和估计方 差之间进行权衡。 （二） 现代谱估计的参数方法 经典的韦尔奇功率谱估计方法， 存在的主要缺点是谱分 辨率低， 而现代谱估计的参数方法很好的改善了谱估计的效 果。这类方法的基本思想是认为随机时间序列 {x （n） } 是白 噪声通过某个模型产生的。这样考虑更接近实际， 所以有可 能改善估计的效果， 通常按如下步骤进行： （1） 选择一个正确 的模型； （2） 用已观测到的样本数据或自相关函数的数据来 确定模型的参数； （3） 由此模型求出功率谱估计。 1．模型建立。现代谱估计中， 时间序列信号模型的建立 是谱估计的关键， 模型建立准确与否直接关系着谱分析结果。 在实际中， 我们常常用一个具有有理分式的线性时不变系统 函数模型来描述所遇到的随机过程序列。因此， 可以用一个 线性差分方程作为产生随机序列 {x （n） } 的系统模型， 即：
图 5 三种路面组合永久变形规律模拟
五、 结论
在进行沥青路面组合设计时， 根据当地实际气候状况， 采 用蠕变试验与有限元相结合的多种方案的比选， 确定符合要 求的路面结构。使用 SBS 改性沥青或者抗车辙剂能够明显提 高抗高温变形能力， 但工程费用也要增加， 所以根据实际情况 合理选用能满足要求的路面结构组合。 蠕变试验与有限元分析方法相结合是进行沥青路面永久