高考数学一轮复习讲义 第14课时 指数式与对数式 理
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课题：指数式与对数式
考纲要求：
1.理解分数指数幂的概念，掌握有理数指数幂的运算性质；
2.理解对数的概念，掌握对数的运算性质．
教材复习
1.n 次方根的定义及性质：n = ，n = .
2.分数指数幂与根式的互化：= ，
= (0a >,,*m n N ∈，且
1n >
零的正分数指数幂为0，0的负分数指数幂没有意义.
3.指数的运算性质：r s a a = ，()r
ab = （其中,0a b >，,r s R ∈） 4.指数式与对数式的互化：b a N =⇔ ⇒log a N a = ，log N a a = .
5.对数的运算法则：如果0,1,0,0a a N M >≠>>有
log ()a MN = ； log a
M
N
= ；
log n a M = ； log a =
6.换底公式及换底性质：
()1 log a N = (0a >,1a ≠，0m > , 1m ≠,0N >)
()2log a b = ，()3log log a b b c ⋅= ， ()4log n
m a
b =
7.指数方程和对数方程主要有以下几种类型：
()1()f x a b =⇔ ；log ()a
f x b =⇔ （定义法）
()2()()f x g x a a =⇔ ；log ()log ()a
a f x g x =⇔ （同底法）
()3()()f x g x a b =⇔ (两边取对数法) ()4log ()log ()a
b f x g x =⇔log ()a f x = (换底法)
()52log log 0a a
A x
B x
C ++=（()
2
0x
x A a Ba C ++=）
（设log a t x =或x
t a =）（换元法） 基本知识方法
1.重视指数式与对数式的互化；
2.根式运算时，常转化为分数指数幂，再按幂的运算法则运算；
3.不同底的对数运算问题，应化为同底对数式进行运算；
4.运用指数、对数的运算公式解题时，要注意公式成立的前提．
5.指数方程和对数方程按照不同类型的对应方法解决.
典例分析：
题型一：指数式的化简与求值
问题1．计算：()1 （2013浙江）已知y x ,为正实数，则
.A lg lg lg lgy 222x y x +=+ .B ()lg lg lgy 222x y
x +=
.C lg lg lg lgy 222x y x =+ .D ()
lg lg lgy 2
22x y x =
()
2)0,0(3
2
2
4
>>⋅-b a ab b a ； ()3
()
()
3
12
1
2
332
140.1a b -
--⎛⎫
⋅
⎪⎝⎭
；
()4(08重庆)若0x >，则131311
4
2
4
2
2
2
(23)(23)4x x x x x -⎛⎫+---= ⎪⎝⎭
；
()5已知1
12
2
3x
x
-
+=，求
22332
2
23
x x x x
--+-+-的值.
题型二：对数式的化简与求值
()1（2013陕西文）设,,a b c 均为不等于1的正实数, 则下列等式中恒成立的是
.A log log log a c c b b a = .B log log log a c c b a b = .C ()log log log a a a bc b c =
.D ()log log log a a a b c b c +=+
()2 (2010四川) 552log 10log 0.25+= .A 0 .B 1 .C 2 .D 4 ()3（07湖南文）若0a >，23
4
9a =，则23
log a = ()
427= .A 3 .B 4 .C 6 .D 9
()52(lg 2)lg 2lg 50lg 25+⋅+；
()6已知n y m x a a ==log ,log
，求log a ⎝； 题型三：解指数、对数方程
问题3．（2010辽宁文）设25a
b
m ==，且
11
2a b
+=，则m = .
A .
B 10 .
C 20 .
D 100
问题4．()1（2013上海春）方程28x
=的解是
()2（2012上海）方程14230x x +--=的解是
()3（02上海）方程()3log 12321x x -⋅=+的解x = ()4（06辽宁文）方程22log (1)2log (1)x x -=-+的解为
题型四：指数、对数综合问题
问题5．设1x >，1y >，且2log 2log 30x y y x -+=，求22
4T x y =-的最小值．
课后作业：