高等流体力学讲义课件-流体力学基本概念

和对流导数联系起来。
1.2 欧拉和拉格朗日参考系
例1. 拉格朗日变数 (x0,y0,z0) 给出的流体运动规律为 x x0e2t , y y0 (1 t)2 ,
z z0e2t (1 t)2
1) 求以欧拉变数描述的速度场； 2) 问流动是否定常； 3) 求加速度。
解: 1) 设速度场的三个分量是 u, v, w
t
d
CV
undA
CS
CV
t
d
undA
CS
D Dt
V dV
V [ t
(u)]dV
D
Dt
dV
V
V
[ tห้องสมุดไป่ตู้
（ xk
uk
)]dV
高斯公式，
undA (u)dV
CS
CV
1 . 3 雷诺输运定理
例2. 一流场中流体的密度为 1,速度分布为 u ax, v ay, w 2az
t t 时刻， (x x, y y, z z,t t)
泰勒级数展开，
(x x, y y, z z,t t)
(x, y, z,t) t x y z
t x
y
z
D lim 1 (x x, y y, z z,t t) (x, y, z,t)
(x, y, z,t) x(x0, y0, z0,t), y(x0, y0, z0,t), z(x0, y0, z0,t),t
D
x
x y
z
Dt
t x0 , y0 ,z0
t x t y t z t x,y,z
y , z ,t
x0 , y0 ,z0
x , z ,t
x0 , y0 ,z0
1.1 连续介质假说
推导流体力学基本方程的两条途径
连续介质方法
把流体看作连续介质，而忽略分子的存在，假设场变量（速度、密 度、压强等）在连续介质的每一点都有唯一确定的值，连续介质遵 守质量、动量和能量守恒定律，从而推导出场变量的微分方程组。 流体力学采用连续介质的方法。流体微团描述流体中的点。
连续介质方法
设场变量
，则 D
Dt
表示某一流体质点的 随时
间的变化，即一个观察者随同流体一起运动，并且一直盯着某
一特定流体质点时所看到的 随时间的变化。
D 是拉格朗日参考系下的时间导数。
Dt
1.2 欧拉和拉格朗日参考系
D 在欧拉参考系下的表达式（在欧拉参考系下推导）
Dt
t 时刻， (x, y, z,t)
1.2 欧拉和拉格朗日参考系
欧拉参考系
着眼于空间点，在空间的每一点上描述流体运动随时间的变化。
独立变量 x, y, z, t,
u u(x, y, z,t) (x, y, z,t)
当采用欧拉参考系时，定义了空间的场。
拉格朗日参考系
1.2 欧拉和拉格朗日参考系
着眼于流体质点，描述每个流体质点自始至终的运动，即它的位 置随时间的变化，
t
)
CSIII
u
ndA
DN d undA undA
Dt t CV
CS1
CSIII
CSIII
CS1 CSIII CS
DN d undA
Dt t CV
CS
CSI
I
dA1
t
n
II III
u
dA3
u
n
t t
1 . 3 雷诺输运定理
CSIII
物理意义
CSI
II III
DN d undA
3）在欧拉参考系中求加速度
ax
u
u x
2x(2)
4x
ay
v t
v
v y
2 y (1 t)2
2y 1 t
2 1 t
2y (1 t)2
az
w t
w
w z
2z 1 t
2zt (1 t)2
2zt 1 t
2t 1 t
2z(1 2t 2 ) (1 t)2
1.2 欧拉和拉格朗日参考系
在拉格朗日参考系中求加速度,
解: 1) 3k
A
t
2) D u v w
r r (x0 , y0 , z0 , t)
式中 x0 , y0 , z0 是 t =t 0 时刻流体质点空间位置的坐标。
独立变量 x0 , y0 , z0 , t。
T =T (x0 , y0 , z0 , t), ρ=ρ(x0 , y0 , z0 , t)
拉格朗日参考系
1.2 欧拉和拉格朗日参考系
某一空间点上的流体速度随时间的变化，称当地导 数或局部导数。
拉格朗日参考系： u u(x0 , y0 , z0 , t)
u
t x0 , y0 ,z0
流体质点的速度随时间变化，即加速度。
Du
在欧拉参考系下用
表示流体质点的速度变化。
Dt
1.2 欧拉和拉格朗日参考系
物质导数
流体质点的物理量随时间的变化率。物质导数又称质点导数， 随体导数。
dt
k V udV
F
D Dt
V
udV
1 . 3 雷诺输运定理
对系统体积分的随体导数
设 (r ,t)是单位体积流体的物理分布函数，而
体积内包含的总物理量，则
N V dv
是系统
DN Dt
D Dt
V dv
, u, 1 u u
2 N M (质量), k (总动量), G(总动能)
公式推导
系统和CV 在初始时刻 重合，CV固定不动
xk
D 物质导数；
Dt
欧拉时间导数，称局部导数或就地导数，表示空间某一点 t 流体物理量随时间的变化；
称对流导数或位变导数，流体物性随空间坐标变化而变化，
uk xk
当流体质点空间位置随时间变化时，在流动过程中会取不同 的 值，因此也会引起 的改变。
上式把拉格朗日参考系中的时间导数和欧拉参考系中的就地导数
系统 某一确定流体质点集合的总体。 随时间改变其空间位置、大小和形状；系统边界上没有质量交换； 始终由同一些流体质点组成。 在拉格朗日参考系中，通常把注意力集中在流动的系统上，应用质 量、动量和能量守恒定律于系统，即可得到拉格朗日参考系中的基 本方程组。
1.2 欧拉和拉格朗日参考系
系统和控制体 控制体
其中 a 为常数, 求在体积 1 x 1, 1 y 1, 1 z 1 中质量随体导数。
解:
D Dt
d
t
d
A
u
ndA
A
u
ndA
(u)d
z
u ndA adA adA adA adA
A
A左
A右
A前
A后
2adA 2adA 0
y
A上
A下
(u)d (axi ayj 2azk )d 0
Dt t0 t
lim
t 0
t
x t
x
y t
y
z t
z
u v w
t x y z
1.2 欧拉和拉格朗日参考系
D 在欧拉参考系下的表达式（在拉格朗日参考系下推导）
Dt
(x, y, z,t) 是流体质点的某物理量，式中 x, y, z 是流体质点 的坐标， x, y, z 不再是独立变量，而是 x0 , y0 , z0 , t 的函数。
1.1 连续介质假说
当流体分子的平均自由程远远小于流场的最小宏观尺度时， 可用统计平场的方法定义场变量如下：
u lim ( vm) V m
lim ( m)
V V
在微观上充分大统计平均才有确
定的值；宏观上充分小，统计平均 才能代表一点的物理量变化。
V
v
•
m
连续介质方法的适用条件
1 L3
u
x t
2x0e2t
v
y t
2 y0 (1 t)
2 y0 (1 1 t
t)2
w
z t
2 z0e2t [(1
t ) 2
(1
t)3 ]
2z0e2t (1 t)2 t 1 t
1.2 欧拉和拉格朗日参考系
消去以上表达式中的拉格朗日变数,
u 2x, v 2y , w 2zt 1t 1t
2) 欧拉表达式中包括变量 t , 是不定常流动。
在拉格朗日参考系中 x, y, z 不再是独立变量，
x - x0 = u ( t - t0) y - y0 = v (t - t0） z - z0 = w (t - t0)
用 x0 , y0 , z0 来区分不同的流体质点，而用 t 来确定流体质点
的不同空间位置。
1.2 欧拉和拉格朗日参考系
系统和控制体
连续介质方法失效场合 火箭穿越大气层边缘，微观特征尺度接近宏观特征尺度； 研究激波结构，宏观特征尺度接近微观特征尺度。
1.1 连续介质假说
流体质点
由确定流体分子组成的流体团，流体由流体质点连续无间隙 地组成，流体质点的体积在微观上充分大，在宏观上充分小。
流体质点是流体力学学科研究的最小单元。 当讨论流体速度、密度等变量时，实际上是指流体质点的速 度和密度。
Dt t CV
CS
I
dA1
u
dA3
u
n
t
n
t t
DN Dt
d
t CV
系统中的变量N对时间的变化率;
固定控制体内的变量N对时间的变化率，
由 的不定常性引起 ;
t
CV
d
CV
t
d
undA
CS
N 流出控制体的净流率，由于系统的空间位置和体积随时 间改变引起 .
1 . 3 雷诺输运定理
DN Dt
N
I
(t t) t
lim
t 0
N
III (tt) t
公式推导
1 . 3 雷诺输运定理
lim
t0
NCV
(t
t) t
NCV
(t)
NCV t
d
t CV
lim
t0
NI
(t t
t)
lim
t0
1
t
I
d
(t t)
lim
t0
1
t
CS1
undA
t
undA
CS1
lim
t0
N
III
(t t
n
1.1 连续介质假说
n为单位体积的分子数（特征微观尺度是分子自由程）， L为最小宏观尺度。
在通常温度和压强下，边长2微米的立方体中大约包含 2×108 个 气体分子或 2×1011 液体分子；在日常生活和工程中，绝大多数 场合均满足上述条件。 连续介质方法无论对气体和液体都适用。
1.1 连续介质假说
ax
2x 2t
t
(2x0e2t )
4 x0e 2t
4x
ay
2 y 2t
t [2 y0 (1 t)]
2 y0
2y (1 t)2
x x0e2t , y y0 (1 t)2 ,
z z0e2t (1 t)2
az
2z 2t
t
2z0e2t
t (1 t)3
4z0e2tt (1 t)3
2z0e2t (1 t)3
D Dt
d
DN Dt
1 . 3 雷诺输运定理
CSI
I
dA1
t
n
CSIII
II III
u
dA3
u
n
t t
DN Dt
lim
t 0
Nsys (tt)Nsys (t) t
lim {NCV
t 0
(t
t)
N
I
(t
t) t
N
III
(t
t)}
NCV
(t)
lim
t 0
NCV
(t
t) t
NCV
(t
)
lim
t 0
6z0e2tt (1 t)4
2z0e2t[2t(1 t) (1 t) 3t] 2z0e2t (2t 2 1) 2z(2t2 1)
(1 t)4
(1 t)4
(1 t)2
1 . 3 雷诺输运定理
1 . 3 雷诺输运定理
对系统体积分的随体导数
通常的力学和热力学定理都是应用于系统的。
动量定理
F
dk
通常力学和热力学定律都是针对系统的，于是需要在拉格朗日参考 系下推导基本守恒方程，而绝大多数流体力学问题又是在欧拉参考 系下求解的，因此需要寻求联系两种参考系下场变量及其导数的关 系式
欧拉和拉格朗日参考系中的时间导数
1.2 欧拉和拉格朗日参考系
欧拉参考系：
u u(x, y, z,t)
u t x,y,z
x
(axi ayj 2azk ) (ax) (ay) (2az) 0
x y
z
1 . 3 雷诺输运定理
例3. 给定一流场的速度分布和密度分布为:
u x , v y , w z ,
r3
r3
r3
k(r3 3t)
其中 r2 x2 y2 z2 , k为非零常数，求
1). 在流场中某点的流体密度随时间的变化率； 2). 流体质点密度在运动过程中随时间的变化率； 3). 在体积 0 r a 中流体质量的随体倒数。
流场中某一确定的空间区域，其边界称控制面。 流体可以通过控制面流进流出控制体，占据控制体的流体质点随时 间变化。 为了在欧拉参考系中推导控制方程，通常把注意力集中在通过控制 体的流体上，应用质量、动量和能量守恒定律于这些流体，即可得 到欧拉参考系中的基本方程组。
1.2 欧拉和拉格朗日参考系
系统和控制体
第 一 章 流体力学的基本概念
1.1 连续介质假说
推导流体力学基本方程的两条途径
统计方法
把流体看作由运动的分子组成，认为宏观现象起源于分子运动，运用力 学定律和概率论预测流体的宏观性质。 对于偏离平衡态不远的流体可推导出质量、动量和能量方程，给出输运
系数（μ，κ）的表达式。
对于单原子气体已有成熟理论，对多原子气体和液体理论尚不完善。
x, y,t
x0 , y0 ,z0
u v w
t x y z
矢量和张量形式的物质导数
D
Dt
t
uk
xk
D u
Dt t
1.2 欧拉和拉格朗日参考系
D u v w
Dt t x y z
t
uk
xk
1.2 欧拉和拉格朗日参考系
矢量和张量形式的物质导数
D
Dt
t
uk