应力圆

y
D2
20
A1

x 1
2 x ) 1 ( 2 0 tg x y
由此可定出主应力1 所在 平面的位置。 o
2
A2 B2 D1
( x , x )
B1
C
y
D2 20
A1

x 由于 A1， A2 为应力圆的 直径，则 2 所在的另一 主平面与 1 所在的主平面 垂直。 1
2
A2 B2
( x , x ) D1
B1
C
y
D2 20
A1

x 1
0 确定后， 1 对应的主平面方位即确定。
B1 D1 x tg ( 2 0 ) CB1 x y 2
2 o
A2 B2 B1
( x , x ) D1
C
2 x ) 1 ( 2 0 tg x y
σ x σ y ) τ 2 CA1 ( x 2
2
y
D2
x 1
2 o
A2 B2 D1
x y OC 2
A1
B1
C
y
D2

CA1
σ x σ y 2 ( ) τx 2
2
x 1
1 OA1 OC CA1
2 y x ( x y ) 2 x 2 2
D1
o
B2
B1
x y 2 2 ( ) x 2
该圆就是相应于该单元体 应力状态的应力圆。 y
C
D2

x
D1 点的坐标为 ( x , x ) 因而 D1 点代表单元体 x 平面（即横截面）上 o
B2 B1
D1
( x , x )
C
D2

的应力 。
y x
τy
σx
) (
2 2
x y 2
) 2 2 x
作 — 直角坐标系

0

(
x y 2
) (
2 2
x y 2
) 2 2 x
当斜截面随方位角 变化时, 其上的应力 ， 在 — 直角坐标系内的轨迹是一个圆 。 圆心位于横坐标轴 ( 轴 ) 上，离原点的距离为
得 D1 点。
τy
σx τx
σy
σx
o

D1 B2 D2
τy
τx
B1

σy
y
x （3）量取 OB2 = y B2D2= y
得 D2 点
τy
σx τx
σy
σx
o

D1 B2
τy
τx
B1 C

σy
y
D2
x （4）连接 D1D2 两点的直线与
轴相交于 C 点,
τy
σx τx
σy
σx
o
σ2
2
α0 σ1
D1 B2
( x , x )
o
A2
B1
C
y
D2 20
A1

x 1
利用应力圆求 主应力 数值和 主平面位置
2 o
A2 B2 D1
（1）主应力数值
A1 和 A2 两点为与主平面 对应的点，其横坐标 为主应力 1 ，2 。
B1 C
A1

y
D2
x 1

OA1 OC CA1
2 o
A2 B2
D1
OA 2 OC CA1
B1 C
A1

σ x σ y OC 2
二、应力圆
x y 2 x y 2 x y 2


cos 2 x sin 2
sin 2 x cos 2
消去参变量得
x y 2 x y 2
(
) (
2 2
) 2 2 x
(
x y 2
x y 2
(
x y 2
) (
2 2
x y 2
) 2 2 x
半径为
x y 2 2 ( ) x 2
此圆习惯上称为 应力圆 , 或称为莫尔圆
(

x y 2
) (
2 2
x y 2
) 2 2 x

D1 B2
τy
τx
B1 C

σy
y
D2
x 以 C 为圆心 , CD1 或 CD2
为半径作圆
该圆的圆心 C 点到 坐标原点 的 距离为 o
B2 D1 B1
1 OC (OB1 OB 2) 2
C
D2


x y
2
y x

半径为
2 2 ( C ) ( ) CD1 B1 B1 D1
e
σy
σx
f
x
E
2 ( x , x ) D1
τx
o y
B2
τy
τx
D2
B1 C

σy
x
3，利用应力圆求单元体上任一 截面上的应力
从应力圆的半径 CD 1 按方位角 的转向 转动 2 , 得到半径 CE 。
τyபைடு நூலகம்
σx
e
σy
σx
f


σα
E
2 B2 ( x , x ) D1

A B o
B1
A1
2
c
三、主应力和主平面 1、主应力
x y x y cos 2 x sin 2 2 2 x y sin 2 x cos 2 2
当某截面上的切应力等于零时，该截面称为主平面。
主平面上的正应力称为主应力。
(σ x σ y ) τ 2
2
2 x
o
C

σ x σ y
2
二，应力圆作法
τy
σx τx
σy
σx
τy
τx
σy
τy
σx τx
σy
σx
o

τy
τx

σy
（1）在 - 坐标系内 , 选定比例尺
τy
σx τx
σy
σx
o

D1
τy
τx
B1

σy
x
（2）量取 OB1 = x B1D1 = x
2 o
A2 B2 D1
x y OC 2
A1
B1
C
y
D2

CA1
σ x σ y 2 ( ) τx 2
2
x 1
2 OA2 OC CA1
2 y x ( x y ) 2 x 2 2
（2）主平面方位 由 CD1 顺时针转 20 到 CA1 。 所以单元体上从 x 轴顺时 针转 0 （负值）即到 1 对应的主平面的外法线。 o
τα
τx
o
τy
τx
y
D2
B1 C

σy
x
圆周上 E 点的 ¸ 坐标 就依次为斜截面上的正应力 ， 剪应力
。（
证明略 ）
说明
（1）点面之间的对应关系：单元体某一面上的应力，必对
应于应力圆上某一点的坐标。 （2）夹角关系：圆周上任意两点所引半径的夹角等于单
元体上对应两截面夹角的两倍。两者的转向一致。