高等数学(同济第七版)第一章课后答案
高等数学同济第七版上册课后习题答案 (1)
高等数学同济第七版上册课后习题答案 (1)1 ⎭ 习题 1-11. 求下列函数的自然定义域：(2) y = 1;(1) y = 1 - x 2(3) y = 1x (4); y =1(5) y =(6) y = tan(x +1);(7) y = arcsin(x - 3); (9) y = ln(x + 1);(8) y1+ arctan ; x(10) y = e e x.解：(1)3x + 2 ≥ 0 ⇒ x ≥ - 2，即定义域为⎡- 2 , +∞⎫(2)1 - x 2 3 ≠ 0 ⇒ x ≠ ±1,⎣⎢ 3⎪ 即定义域为(-∞, -1) ⋃ (-1,1) ⋃ (1, +∞)(3)x ≠ 0 且1- x 2 ≥ 0 ⇒ x ≠ 0 且 x ≤ 1即定义域为[-1,0) ⋃ (0,1](4)4 - x 2 > 0 ⇒ x < 2 即定义域为(-2, 2) (5)x ≥ 0, 即定义域为[0, +∞)(6)x +1 ≠ k π + π(k ∈ Z ),2 即定义域为⎧x x ∈ R 且x ≠ (k + 1 )π -1, k ∈ Z ⎫⎨ 2 ⎬⎩ ⎭⎩⎪ π π π(7) x - 3 ≤ 1 ⇒ 2 ≤ x ≤ 4, 即定义域为[2, 4](8)3 - x ≥ 0且 x ≠ 0，即定义域为(-∞, 0) ⋃ (0,3] (9)x + 1 > 0 ⇒ x > -1即定义域为(-1, +∞) (10)x ≠ 0,即定义域为(-∞, 0) ⋃ (0, +∞)2. 下列各题中，函数 f (x ) 和 g (x ) 是否相同？为什么？(1) f (x ) = lg x 2 , g (x ) = 2 l g x (2) f (x ) = x , g (x )(3) f (x ) g (x ) = (4) f (x ) = 1, g (x ) = sec 2 x - tan 2 x解：（1） 不同，因为定义域不同（2） 不同，因为对应法则不同， g (x ) == ⎧ x , x ≥ 0（3） 相同，因为定义域，对应法则均相同（4） 不同，因为定义域不同⎨-x , x < 0⎧sin x , 3.设ϕ(x ) = ⎨ x < π 3 π ⎪ 0, x ≥⎩3求ϕ(),ϕ( ),ϕ(- 644),ϕ(-2), 并指出函数 y = ϕ (x )的图形( ) = sin = ,ϕ( ) = sin = ϕ π π1 π π 6 62 4 4 2 解：ϕ(- π ) = sin(- π ) = 2,ϕ(-2) = 0,4 4 2y = ϕ (x )的图形如图1-1所示4. 试证下列函数在指定区间内的单调性：(1) y =x ; 1 - x(2) y = x + ln x ,(0, +∞)证明：(1) y =f (x ) =x 1 - x= -1+1 1 - x,(-∞,1) 设x 1 < x 2 < 1，因为f (x ) - f (x ) = x 2 - x 1 > 02 1(1 - x )(1- x ) 1 2所以 f (x 2 ) > f (x 1 ), 即 f (x ) 在(-∞,1) 内单调增加(2) y = f (x ) = x + ln x ,(0, +∞)设0 < x 1 < x 2 ，因为2,f (x ) -f (x ) =x -x + ln x2 > 02 1 2 11所以 f (x2 ) > f (x1 )即f (x) 在(0, +∞) 内单调增加5.设f (x) 为定义在(-l,l) 内的奇函数，若 f (x) 在(0,l) 内单调增加，证明f (x) 在(-l, 0) 内也单调增加证明：设-l <x1 <x2< 0 ，则0 <-x2<-x1 <l由f (x) 是奇函数，得f (x2 ) - f (x1 ) =-f (x2 ) + f (-x1 )因为 f (x) 在(0,l) 内单调增加，所以 f (-x1 ) -f (-x2 ) > 0即f (x) 在(-l, 0) 内也单调增加6.设下面所考虑的函数都是定义在区间(-l,l) 上的。
高等数学同济第七版上册课后答案
高等数学同济第七版上册课后习题答案L 求下列函数的自然定义域： ⑴ y = J3K +2; ⑶ y =—Vi- x 2；X (5) y=sin(7)y = arcsin(x-3); (9)jV = ln(x + l);解：(1)3AI + 2>0=>X >-23(2)1 -厂工 0 = JCH ±1, 即定义域为(-8, -1) U (-1/)D (1, +8) (3)/ = 0且1一/之0=4工0且产仔1 即定义域为[-1R)D(0,1](2)y = 1 - JC (4);y -1 , A /4-JT (6)y = tan(x +1); (8)J=V3-x + arctanJL; x(10)y = e e\,即定义域为「一 2,+0?(4)4-犬＞。
二＞卜|＜2即定义域为(—2,2)(5)x2 0,即定义域为［0, +oc)71(6)x +1 / kjr + 一 (% £Z), \ 2 1即定义域为x xe R^x^(k+ )兀一1k eZ(7)|x-3|< 1= 2 WxW 4,即定义域为[2,4](8)3—冗2 0且4工0,即定义域为(一8,0) u(0,3](9)x + 1 >0=>x> -1 即定义域为(-1,+8) (10)工工0,即定义域为(一双0) u (0, +oo)2,下列各题中，函数/(x)和g(x)是否相同？为什么？(1)/U) = 1g g(x) =21gx(2)/U) = x, g(x)=岳(3)/(%) = #(f-丁), g(x) =(4)/(x) = l,g(x) =sec'x — tarrx解；(1)不同，因为定义域不同((2)不同，因为对应法则不同，g(M= 1—= x.x>0< 0(3)相同，因为定义域，对应法则均相同(4)不同，因为定义域不同匹斗|斗＜3 .设a“)=\ 兀3州花一11 3求0(二),夕(巴)，旗一土),0(-2),并指出函数y = Q(x)的图形6 4 41 /乃、, 7T yfl二？，以 4)= sin 耳=~^,0(_Z)= sin(--)l = =0,44 | 2(l)y=(2)y = x + In x,(0, +oo)证明：,匹、 .匹%)=sm%解:4 .试证下列函数在指定区间内的单调X \-xx 1⑴尸/W = ---- -- = T+ -- --- ,(一00』)1-x 1-x设X] <工2 < 1，因为/%)—/区)=“七方 ,〉0 (—Xi) >U1 2所以/(X2 )> /(&),即/(X)在(一8,1)内单调增加(2) y - /(x) = x + In x,(0, +8)设0<»<彳2，因为 /U） -/u） = X - x+ In 当二。
同济第七版高等数学第1章习题解答
1教材习题同步解析习题1-11. 求下列函数的自然定义域:(7) )3arcsin(-=x y ; (8) xx y 1arctan 3+-=. 解（7）由1|3|≤-x ，得函数的定义域为：]4,2[.（8）由03≥-x 且0≠x ，得函数的定义域为：]3,0()0,( -∞.3. 设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<=3|| 03|| |sin |)(ππϕx x x x , 求)6(πϕ, )4(πϕ, )4(πϕ-, )2(-ϕ, 并作出函数)(x y ϕ=的图形.解 如图（1-1），21|6sin |)6(==ππϕ； 22|4sin |)4(==ππϕ； 22|4sin |)4(=-=-ππϕ； 0)2(=-ϕ. 6. 设下面所考虑的函数都是定义在对称区间(-l , l )上的,证明:(1) 两个偶函数的和是偶函数, 两个奇函数的和是奇函数;(2) 两个偶函数的乘积是偶函数, 两个奇函数的乘积是偶函数, 偶函数与奇函数的乘积是奇函数.证 (1) 设)()()(x g x f x F +=.如果)(x f 和g (x )都是偶函数, 则 F (-x ) =)(x f -+g (-x ) =)(x f +g (x ) = F (x ),图1-12所以F (x )为偶函数, 即两个偶函数的和是偶函数.如果)(x f 和g (x )都是奇函数, 则F (-x ) = f (-x ) + g (-x ) = -)(x f -g (x ) = -F (x ),所以F (x )为奇函数, 即两个奇函数的和是奇函数.(2) 设F (x ) =)(x f ⋅g (x ). 如果)(x f 和g (x )都是偶函数, 则F (-x ) = f (-x )⋅g (-x ) =)(x f ⋅g (x ) = F (x )，所以F (x )为偶函数, 即两个偶函数的积是偶函数.如果)(x f 和g (x )都是奇函数，则F (-x ) = f (-x )⋅g (-x ) = [-f (x )][-g (x )] =)(x f ⋅g (x ) = F (x ),所以F (x )为偶函数, 即两个奇函数的积是偶函数.如果)(x f 是偶函数, 而g (x )是奇函数，则F (-x ) = f (-x )⋅g (-x ) = f (x )[-g (x )] = -)(x f ⋅g (x ) = -F (x ),所以F (x )为奇函数, 即偶函数与奇函数的积是奇函数.9. 求下列函数的反函数:(3)dcx b ax y ++= (ad -bc ≠0); (6)122+=x x y . 解 (3) 由dcx b ax y ++=，得a cy b dy x -+-=, 所以d cx b ax y ++=的反函数为：acx b dx y -+-=. (6)由122+=x x y ，得y y x -=1log 2, 所以122+=x x y 的反函数为：xx y -=1log 2. 10. 设函数)(x f 在数集X 上有定义, 试证: 函数)(x f 在X 上有界的充分必要条件是它在X 上既有上界又有下界.证 先证必要性.设函数)(x f 在X 上有界, 则存在正数M , 使|)(|x f ≤ M ,即 -M ≤)(x f ≤ M . 这就证明了)(x f 在X 上既有下界-M 又有上界M .再证充分性.3 设函数)(x f 在X 上有下界K 1和上界K 2, 即K 1 ≤)(x f ≤ K 2 . 取M = max{|K 1|, |K 2|}, 则-M ≤ K 1≤)(x f ≤ K 2≤M , 即|)(|x f ≤ M . 这就证明了)(x f 在X 上有界.12. 设)(x f 的定义域为]1,0[=D ，求下列函数的定义域： ⑴)(2x f ; ⑵)(sin x f ；⑶)0()(>+a a x f ;⑷)()(a x f a x f -++ )0(>a .解（1）由,11,102≤≤≤≤x x －所以)(2x f 的定义域为；]1,1[-(2) 由,1sin 0≤≤x ),()12(2Z k k x k ∈+≤≤ππ故)(sin x f 的定义域为:])12(,2[ππ+k k )(Z k ∈；(3)由,10≤+≤a x ,1a x a -≤≤－故函数)(a x f +的定义域为:]1,[a a --. (4) 由⎩⎨⎧≤-≤≤+≤1010a x a x 知,11⎩⎨⎧+≤≤-≤≤a x a a x a －从而当210≤<a 时, 定义域为:]1,[a a -；当21>a 时, 定义域为空集. 13. 设⎪⎩⎪⎨⎧>-=<=1|| 11|| 01|| 1)(x x x x f , x x g e )(=, 求)]([x g f ，)]([x f g , 并作出这两个函数的图形.解 1 |e |[()]0 |e |11 |e |1x x x f g x ⎧<⎪==⎨⎪->⎩, 即⎪⎩⎪⎨⎧>-=<=0 10 00 1)]([x x x x g f . 如图（1-2）。
高等数学同济第七版上册课后习题答案
高等数学同济第七版上册课后习题答案高等数学作为大学理工科专业的重要基础课程，对于学生的逻辑思维和数学素养的培养起着至关重要的作用。
而《高等数学》同济第七版上册更是众多高校选用的经典教材。
课后习题作为巩固和深化知识的重要手段，其答案的准确性和完整性对于学生的学习效果有着直接的影响。
在学习高等数学的过程中，很多同学都会遇到各种各样的问题，尤其是在课后习题的解答上。
有时候，即使认真听讲、仔细阅读教材，也可能会在解题时感到困惑。
这时候，一份详细准确的课后习题答案就显得尤为重要。
首先，我们来看第一章函数与极限。
这一章的习题主要围绕函数的概念、性质以及极限的计算展开。
对于函数的定义域、值域、奇偶性等问题，需要同学们对函数的定义有清晰的理解。
而极限的计算则是这一章的重点和难点，包括利用极限的四则运算法则、两个重要极限、等价无穷小替换等方法求极限。
以习题 1-1 中的第 5 题为例：求函数＼（f(x) ＝＼sqrt{x^2 4}＼）的定义域。
要解决这个问题，我们需要令＼（x^2 4 ＼geq 0\），即＼（（x 2)（x ＋ 2) ＼geq 0\）。
解得＼（x ＼leq －2\）或＼（x ＼geq2\），所以函数的定义域为＼（（＼infty, －2 ＼cup 2, ＋＼infty)＼）。
再比如第一章的习题 1-5 中的第 2 题：计算＼（＼lim_{x ＼to 0}＼frac{＼sin 3x}｛x}＼）。
这道题可以利用重要极限＼（＼lim_{x ＼to 0} ＼frac{＼sin x}｛x} ＝ 1\）来求解。
将原式变形为＼（3 ＼times＼lim_{x ＼to 0} ＼frac{＼sin 3x}｛3x}＼），结果为＼（3\）。
第二章导数与微分的习题则侧重于导数的定义、求导法则以及微分的计算。
对于复合函数的求导，需要同学们熟练掌握链式法则。
比如习题 2-2 中的第 7 题：设＼（y ＝＼ln ＼sqrt{＼frac{1 x}｛1＋ x}｝＼），求＼（y'＼）。
高等数学同济第7版上册习题答案
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同济大学高等数学第七版上下册答案详解
练习1-1
练习1-2
练习1-3
练习1-4
练习1-5
练习1-6
练习1-7
练习1-8
练习1-9
练习1-10
总习题一
练习2-1
练习2-2
练习2-3
练习2-4
练习2-5
总习题二
练习3-1
练习3-2
练习3-3
练习3-4
练习3-5
练习3-6
x
( 2)
2
(2 1)
1
(1 1)
1
(1 )
y
0
+
+
+
0
+
y
+
+
+
0
0
+
yf(x)
↘
17/5
极小值
↗
6/5
拐点
↗
2
拐点
↗
x
0
(0 1)
1
y
+
+
0
-
-
-
y
0
-
-
-
0
+
yf(x)
0
拐点
↗
极大值
↘
拐点
↘
x
1
y
+
+
+
0
-
-
-
y
+
0
-
-
-
0
+
yf(x)
↗
拐点
↗
1
极大值
↘
拐点
↘
x
( 1)
-1
高数高等数学同济版第七版习题答案1-1
习题1-11. 设A =(-∞, -5)⋃(5, +∞), B =[-10, 3), 写出A ⋃B , A ⋂B , A \B 及A \(A \B )的表达式.解 A ⋃B =(-∞, 3)⋃(5, +∞),A ⋂B =[-10, -5),A \B =(-∞, -10)⋃(5, +∞),A \(A \B )=[-10, -5).2. 设A 、B 是任意两个集合, 证明对偶律: (A ⋂B )C =A C ⋃B C .证明 因为x ∈(A ⋂B )C ⇔x ∉A ⋂B ⇔ x ∉A 或x ∉B ⇔ x ∈A C 或x ∈B C ⇔ x ∈A C ⋃B C , 所以 (A ⋂B )C =A C ⋃B C .3. 设映射f : X →Y , A ⊂X , B ⊂X . 证明(1)f (A ⋃B )=f (A )⋃f (B );(2)f (A ⋂B )⊂f (A )⋂f (B ).证明 因为y ∈f (A ⋃B )⇔∃x ∈A ⋃B , 使f (x )=y⇔(因为x ∈A 或x ∈B ) y ∈f (A )或y ∈f (B )⇔ y ∈f (A )⋃f (B ),所以 f (A ⋃B )=f (A )⋃f (B ).(2)因为y ∈f (A ⋂B )⇒∃x ∈A ⋂B , 使f (x )=y ⇔(因为x ∈A 且x ∈B ) y ∈f (A )且y ∈f (B )⇒ y ∈ f (A )⋂f (B ),所以 f (A ⋂B )⊂f (A )⋂f (B ).4. 设映射f : X →Y , 若存在一个映射g : Y →X , 使X I f g = , Y I g f = , 其中I X 、I Y 分别是X 、Y 上的恒等映射, 即对于每一个x ∈X , 有I X x =x ; 对于每一个y ∈Y , 有I Y y =y . 证明: f 是双射, 且g 是f 的逆映射: g =f -1.证明 因为对于任意的y ∈Y , 有x =g (y )∈X , 且f (x )=f [g (y )]=I y y =y , 即Y 中任意元素都是X 中某元素的像, 所以f 为X 到Y 的满射.又因为对于任意的x 1≠x 2, 必有f (x 1)≠f (x 2), 否则若f (x 1)=f (x 2)⇒g [ f (x 1)]=g [f (x 2)] ⇒ x 1=x 2.因此f 既是单射, 又是满射, 即f 是双射.对于映射g : Y →X , 因为对每个y ∈Y , 有g (y )=x ∈X , 且满足f (x )=f [g (y )]=I y y =y , 按逆映射的定义, g 是f 的逆映射.5. 设映射f : X →Y , A ⊂X . 证明:(1)f -1(f (A ))⊃A ;(2)当f 是单射时, 有f -1(f (A ))=A .证明 (1)因为x ∈A ⇒ f (x )=y ∈f (A ) ⇒ f -1(y )=x ∈f -1(f (A )),所以 f -1(f (A ))⊃A .(2)由(1)知f -1(f (A ))⊃A .另一方面, 对于任意的x ∈f -1(f (A ))⇒存在y ∈f (A ), 使f -1(y )=x ⇒f (x )=y . 因为y ∈f (A )且f 是单射, 所以x ∈A . 这就证明了f -1(f (A ))⊂A . 因此f -1(f (A ))=A . 6. 求下列函数的自然定义域:(1)23+=x y ;解 由3x +2≥0得32->x . 函数的定义域为) ,32[∞+-. (2)211xy -=; 解 由1-x 2≠0得x ≠±1. 函数的定义域为(-∞, -1)⋃(-1, 1)⋃(1, +∞).(3)211x xy --=; 解 由x ≠0且1-x 2≥0得函数的定义域D =[-1, 0)⋃(0, 1].(4)241x y -=; 解 由4-x 2>0得 |x |<2. 函数的定义域为(-2, 2).(5)x y sin =;解 由x ≥0得函数的定义D =[0, +∞).(6) y =tan(x +1);解 由21π≠+x (k =0, ±1, ±2, ⋅ ⋅ ⋅)得函数的定义域为 12-+≠ππk x (k =0, ±1, ±2, ⋅ ⋅ ⋅).(7) y =arcsin(x -3);解 由|x -3|≤1得函数的定义域D =[2, 4].(8)xx y 1arctan 3+-=;解 由3-x ≥0且x ≠0得函数的定义域D =(-∞, 0)⋃(0, 3).(9) y =ln(x +1);解 由x +1>0得函数的定义域D =(-1, +∞).(10)x e y 1=.解 由x ≠0得函数的定义域D =(-∞, 0)⋃(0, +∞).7. 下列各题中, 函数f (x )和g (x )是否相同？为什么？(1)f (x )=lg x 2, g (x )=2lg x ;(2) f (x )=x , g (x )=2x ;(3)334)(x x x f -=,31)(-=x x x g .(4)f (x )=1, g (x )=sec 2x -tan 2x .解 (1)不同. 因为定义域不同.(2)不同. 因为对应法则不同, x <0时, g (x )=-x .(3)相同. 因为定义域、对应法则均相相同.(4)不同. 因为定义域不同.8. 设⎪⎩⎪⎨⎧≥<=3|| 03|| |sin |)(ππϕx x x x , 求)6(πϕ, )4(πϕ, )4(πϕ-, ϕ(-2), 并作出函数y =ϕ(x )的图形.解 21|6sin |)6(==ππϕ, 22|4sin |)4(==ππϕ, 22|)4sin(|)4(=-=-ππϕ, 0)2(=-ϕ. 9. 试证下列函数在指定区间内的单调性:(1)xx y -=1, (-∞, 1); (2)y =x +ln x , (0, +∞).证明 (1)对于任意的x 1, x 2∈(-∞, 1), 有1-x 1>0, 1-x 2>0. 因为当x 1<x 2时, 0)1)(1(112121221121<---=---=-x x x x x x x x y y , 所以函数xx y -=1在区间(-∞, 1)内是单调增加的. (2)对于任意的x 1, x 2∈(0, +∞), 当x 1<x 2时, 有0ln )()ln ()ln (2121221121<+-=+-+=-x x x x x x x x y y , 所以函数y =x +ln x 在区间(0, +∞)内是单调增加的.10. 设 f (x )为定义在(-l , l )内的奇函数, 若f (x )在(0, l )内单调增加, 证明f (x )在(-l , 0)内也单调增加.证明 对于∀x 1, x 2∈(-l , 0)且x 1<x 2, 有-x 1, -x 2∈(0, l )且-x 1>-x 2.因为f (x )在(0, l )内单调增加且为奇函数, 所以f (-x 2)<f (-x 1), -f (x 2)<-f (x 1), f (x 2)>f (x 1),这就证明了对于∀x 1, x 2∈(-l , 0), 有f (x 1)< f (x 2), 所以f (x )在(-l , 0)内也单调增加. 11. 设下面所考虑的函数都是定义在对称区间(-l , l )上的, 证明:(1)两个偶函数的和是偶函数, 两个奇函数的和是奇函数;(2)两个偶函数的乘积是偶函数, 两个奇函数的乘积是偶函数, 偶函数与奇函数的乘积是奇函数.证明 (1)设F (x )=f (x )+g (x ). 如果f (x )和g (x )都是偶函数, 则F (-x )=f (-x )+g (-x )=f (x )+g (x )=F (x ),所以F (x )为偶函数, 即两个偶函数的和是偶函数.如果f (x )和g (x )都是奇函数, 则F (-x )=f (-x )+g (-x )=-f (x )-g (x )=-F (x ),所以F (x )为奇函数, 即两个奇函数的和是奇函数.(2)设F (x )=f (x )⋅g (x ). 如果f (x )和g (x )都是偶函数, 则F (-x )=f (-x )⋅g (-x )=f (x )⋅g (x )=F (x ),所以F (x )为偶函数, 即两个偶函数的积是偶函数.如果f (x )和g (x )都是奇函数, 则F (-x )=f (-x )⋅g (-x )=[-f (x )][-g (x )]=f (x )⋅g (x )=F (x ),所以F (x )为偶函数, 即两个奇函数的积是偶函数.如果f (x )是偶函数, 而g (x )是奇函数, 则F (-x )=f (-x )⋅g (-x )=f (x )[-g (x )]=-f (x )⋅g (x )=-F (x ),所以F (x )为奇函数, 即偶函数与奇函数的积是奇函数.12. 下列函数中哪些是偶函数, 哪些是奇函数, 哪些既非奇函数又非偶函数？(1)y =x 2(1-x 2);(2)y =3x 2-x 3;(3)2211xxy +-=; (4)y =x (x -1)(x +1);(5)y =sin x -cos x +1;(6)2x x a a y -+=. 解 (1)因为f (-x )=(-x )2[1-(-x )2]=x 2(1-x 2)=f (x ), 所以f (x )是偶函数.(2)由f (-x )=3(-x )2-(-x )3=3x 2+x 3可见f (x )既非奇函数又非偶函数. (3)因为())(111)(1)(2222x f x x x x x f =+-=-+--=-, 所以f (x )是偶函数. (4)因为f (-x )=(-x )(-x -1)(-x +1)=-x (x +1)(x -1)=-f (x ), 所以f (x )是奇函数.(5)由f (-x )=sin(-x )-cos(-x )+1=-sin x -cos x +1可见f (x )既非奇函数又非偶函数.(6)因为)(22)()()(x f a a a a x f x x x x =+=+=-----, 所以f (x )是偶函数. 13. 下列各函数中哪些是周期函数？对于周期函数, 指出其周期:(1)y =cos(x -2);解 是周期函数, 周期为l =2π.(2)y =cos 4x ;解 是周期函数, 周期为2π=l . (3)y =1+sin πx ;解 是周期函数, 周期为l =2.(4)y =x cos x ;解 不是周期函数.(5)y =sin 2x .解 是周期函数, 周期为l =π.14. 求下列函数的反函数:(1)31+=x y ;解 由31+=x y 得x =y 3-1, 所以31+=x y 的反函数为y =x 3-1.(2)xx y +-=11;解 由x x y +-=11得y y x +-=11, 所以x x y +-=11的反函数为xx y +-=11. (3)dcx b ax y ++=(ad -bc ≠0); 解 由d cx b ax y ++=得a cy b dy x -+-=, 所以d cx b ax y ++=的反函数为acx b dx y -+-=. (4) y =2sin3x ;解 由y =2sin 3x 得2arcsin 31y x =, 所以y =2sin3x 的反函数为2arcsin 31x y =. (5) y =1+ln(x +2);解 由y =1+ln(x +2)得x =e y -1-2, 所以y =1+ln(x +2)的反函数为y =e x -1-2.(6)122+=x x y . 解 由122+=x x y 得y y x -=1log 2, 所以122+=x x y 的反函数为xx y -=1log 2. 15. 设函数f (x )在数集X 上有定义, 试证: 函数f (x )在X 上有界的充分必要条件是它在X 上既有上界又有下界.证明 先证必要性. 设函数f (x )在X 上有界, 则存在正数M , 使|f (x )|≤M , 即-M ≤f (x )≤M . 这就证明了f (x )在X 上有下界-M 和上界M .再证充分性. 设函数f (x )在X 上有下界K 1和上界K 2, 即K 1≤f (x )≤ K 2 . 取M =max{|K 1|, |K 2|}, 则 -M ≤ K 1≤f (x )≤ K 2≤M ,即 |f (x )|≤M .这就证明了f (x )在X 上有界.16. 在下列各题中, 求由所给函数复合而成的函数, 并求这函数分别对应于给定自变量值x 1和x 2的函数值:(1) y =u 2, u =sin x , 61π=x , 32π=x ; 解 y =sin 2x , 41)21(6sin 221===πy ,43)23(3sin 222===πy . (2) y =sin u , u =2x , 81π=x ,42π=x ; 解 y =sin2x , 224sin )82sin(1==⋅=ππy ,12sin )42sin(2==⋅=ππy . (3)u y =, u =1+x 2, x 1=1, x 2= 2;解 21x y +=, 21121=+=y , 52122=+=y .(4) y =e u , u =x 2, x 1 =0, x 2=1;解 2x e y =, 1201==e y , e e y ==212.(5) y =u 2 , u =e x , x 1=1, x 2=-1.解 y =e 2x , y 1=e 2⋅1=e 2, y 2=e 2⋅(-1)=e -2.17. 设f (x )的定义域D =[0, 1], 求下列各函数的定义域:(1) f (x 2);解 由0≤x 2≤1得|x |≤1, 所以函数f (x 2)的定义域为[-1, 1].(2) f (sin x );解 由0≤sin x ≤1得2n π≤x ≤(2n +1)π (n =0, ±1, ±2⋅ ⋅ ⋅), 所以函数f (sin x )的定义域为[2n π, (2n +1)π] (n =0, ±1, ±2⋅ ⋅ ⋅) .(3) f (x +a )(a >0);解 由0≤x +a ≤1得-a ≤x ≤1-a , 所以函数f (x +a )的定义域为[-a , 1-a ].(4) f (x +a )+f (x -a )(a >0).解 由0≤x +a ≤1且0≤x -a ≤1得: 当210≤<a 时, a ≤x ≤1-a ; 当21>a 时, 无解. 因此当210≤<a 时函数的定义域为[a , 1-a ], 当21>a 时函数无意义. 18. 设⎪⎩⎪⎨⎧>-=<=1|| 11||01|| 1)(x x x x f , g (x )=e x , 求f [g (x )]和g [f (x )], 并作出这两个函数的图形.解 ⎪⎩⎪⎨⎧>-=<=1|| 11|| 01|| 1)]([x x x e e e x g f , 即⎪⎩⎪⎨⎧>-=<=0 10 00 1)]([x x x x g f .⎪⎩⎪⎨⎧>=<==-1|| 1|| e 1|| )]([101)(x e x x e e x f g x f , 即⎪⎩⎪⎨⎧>=<=-1|| 1||11|| )]([1x e x x e x f g . 19. 已知水渠的横断面为等腰梯形, 斜角ϕ=40︒(图1-37). 当过水断面ABCD 的面积为定值S 0时, 求湿周L (L =AB +BC +CD )与水深h 之间的函数关系式, 并指明其定义域.图1-37解 40sin h DC AB ==, 又从0)]40cot 2([21S h BC BC h =⋅++ 得h hS BC ⋅-= 40cot 0, 所以 h h S L40sin 40cos 20-+=. 自变量h 的取值范围应由不等式组h >0, 040cot 0>⋅-h hS 确定, 定义域为40cot 00S h <<.20. 收敛音机每台售价为90元, 成本为60元. 厂方为鼓励销售商大量采购, 决定凡是订购量超过100台以上的, 每多订购1台, 售价就降低1分, 但最低价为每台75元.(1)将每台的实际售价p 表示为订购量x 的函数;(2)将厂方所获的利润P 表示成订购量x 的函数;(3)某一商行订购了1000台, 厂方可获利润多少？解 (1)当0≤x ≤100时, p =90.令0.01(x 0-100)=90-75, 得x 0=1600. 因此当x ≥1600时, p =75.当100<x <1600时,p =90-(x -100)⨯0.01=91-0. 01x .综合上述结果得到⎪⎩⎪⎨⎧≥<<-≤≤=1600 75160010001.0911000 90x x x x p . (2)⎪⎩⎪⎨⎧≥<<-≤≤=-=1600 15160010001.0311000 30)60(2x x x x x x x x p P . (3) P =31⨯1000-0.01⨯10002=21000(元).。
高数高等数学同济版第七版习题答案1-3
习题1-31. 根据函数极限的定义证明:(1)8)13(lim 3=-→x x ; 分析 因为|(3x -1)-8|=|3x -9|=3|x -3|,所以要使|(3x -1)-8|<ε , 只须ε31|3|<-x . 证明 因为∀ε>0, ∃εδ31=, 当0<|x -3|<δ时, 有 |(3x -1)-8|<ε ,所以8)13(lim 3=-→x x . (2)12)25(lim 2=+→x x ; 分析 因为|(5x +2)-12|=|5x -10|=5|x -2|,所以要使|(5x +2)-12|<ε , 只须ε51|2|<-x . 证明 因为∀ε >0, ∃εδ51=, 当0<|x -2|<δ时, 有|(5x +2)-12|<ε ,所以12)25(lim 2=+→x x . (3)424lim 22-=+--→x x x ; 分析 因为|)2(||2|244)4(2422--=+=+++=--+-x x x x x x x , 所以要使ε<--+-)4(242x x , 只须ε<--|)2(|x . 证明 因为∀ε >0, ∃εδ=, 当0<|x -(-2)|<δ时, 有ε<--+-)4(242x x , 所以424lim 22-=+--→x x x .(4)21241lim 321=+--→x x x . 分析 因为|)21(|2|221|212413--=--=-+-x x x x , 所以要使ε<-+-212413x x , 只须ε21|)21(|<--x . 证明 因为∀ε >0, ∃εδ21=, 当δ<--<|)21(|0x 时, 有 ε<-+-212413x x , 所以21241lim 321=+--→x x x . 2. 根据函数极限的定义证明:(1)2121lim 33=+∞→x x x ; 分析 因为333333||21212121x x x x x x =-+=-+, 所以要使ε<-+212133x x , 只须ε<3||21x , 即321||ε>x . 证明 因为∀ε >0, ∃321ε=X , 当|x |>X 时, 有 ε<-+212133x x , 所以2121lim 33=+∞→x x x . (2)0sin lim =+∞→xx x . 分析 因为xx x x x 1|sin |0sin ≤=-. 所以要使ε<-0sin x x , 只须ε<x1, 即21ε>x . 证明 因为∀ε>0, ∃21ε=X , 当x >X 时, 有ε<-0sin xx , 所以0sin lim =+∞→xx x . 3. 当x →2时, y =x 2→4. 问δ等于多少, 使当|x -2|<δ时, |y -4|<0.001？ 解 由于当x →2时, |x -2|→0, 故可设|x -2|<1, 即1<x <3.要使|x 2-4|=|x +2||x -2|<5|x -2|<0.001, 只要0002.05001.0|2|=<-x . 取δ=0.0002, 则当0<|x -2|<δ时, 就有|x 2-4|<0. 001.4. 当x →∞时, 13122→+-=x xy , 问X 等于多少, 使当|x |>X 时, |y -1|<0.01? 解 要使01.034131222<+=-+-x x x , 只要397301.04||=->x , 故397=X . 5. 证明函数f (x )=|x |当x →0时极限为零.证明 因为|f (x )-0|=||x |-0|=|x |=|x -0|,所以要使|f (x )-0|<ε, 只须|x |<ε.因为对∀ε>0, ∃δ=ε, 使当0<|x -0|<δ, 时有|f (x )-0|=||x |-0|<ε,所以0||lim 0=→x x . 6. 求,)(xx x f = x x x ||)(=ϕ当x →0时的左﹑右极限, 并说明它们在x →0时的极限是否存在.证明 因为11lim lim )(lim 000===---→→→x x x x x x f , 11lim lim )(lim 000===+++→→→x x x x x x f , )(lim )(lim 00x f x f x x +→→=-, 所以极限)(lim 0x f x →存在. 因为1lim ||lim )(lim 000-=-==---→→→xx x x x x x x ϕ,1lim ||lim )(lim 000===+++→→→x x x x x x x x ϕ, )(lim )(lim 00x x x x ϕϕ+→→≠-,所以极限)(lim 0x x ϕ→不存在. 7. 证明: 若x →+∞及x →-∞时, 函数f (x )的极限都存在且都等于A , 则A x f x =∞→)(lim .证明 因为A x f x =-∞→)(lim , A x f x =+∞→)(lim , 所以∀ε>0,∃X 1>0, 使当x <-X 1时, 有|f (x )-A |<ε ;∃X 2>0, 使当x >X 2时, 有|f (x )-A |<ε .取X =max{X 1, X 2}, 则当|x |>X 时, 有|f (x )-A |<ε , 即A x f x =∞→)(lim . 8. 根据极限的定义证明: 函数f (x )当x →x 0 时极限存在的充分必要条件是左极限、右极限各自存在并且相等.证明 先证明必要性. 设f (x )→A (x →x 0), 则∀ε>0, ∃δ>0, 使当0<|x -x 0|<δ 时, 有 |f (x )-A |<ε .因此当x 0-δ<x <x 0和x 0<x <x 0+δ 时都有|f (x )-A |<ε .这说明f (x )当x →x 0时左右极限都存在并且都等于A .再证明充分性. 设f (x 0-0)=f (x 0+0)=A , 则∀ε>0,∃δ1>0, 使当x 0-δ1<x <x 0时, 有| f (x )-A <ε ;∃δ2>0, 使当x 0<x <x 0+δ2时, 有| f (x )-A |<ε .取δ=min{δ1, δ2}, 则当0<|x -x 0|<δ 时, 有x 0-δ1<x <x 0及x 0<x <x 0+δ2 , 从而有 | f (x )-A |<ε ,即f (x )→A (x →x 0).9. 试给出x →∞时函数极限的局部有界性的定理, 并加以证明.解 x →∞时函数极限的局部有界性的定理: 如果f (x )当x →∞时的极限存在, 则存在X >0及M >0, 使当|x |>X 时, |f (x )|<M .证明 设f (x )→A (x →∞), 则对于ε =1, ∃X >0, 当|x |>X 时, 有|f (x )-A |<ε =1. 所以 |f (x )|=|f (x )-A +A |≤|f (x )-A |+|A |<1+|A |.这就是说存在X >0及M >0, 使当|x |>X 时, |f (x )|<M , 其中M =1+|A |.。
高等数学(同济第七版)课后答案解析
当I V，w2时，s（!）=I - y（2-/）2=一£f2+ 2/-1 ,
当/>2HhS（f） =1.
放
/>2.
Q 16.求联系华氏温度(用F表示)和扱氏温度(用C表示)的转换公式.并求
(1)90叩的等价摄氏温度和-5 °C的等价华氏温度：
(2)是否存在一个温度值.使华氏温度汁和摄氏温度汁的读数是样的？如果存在，那么该温度值是多少？
xi
所以/（存）>/（%）,即/（W在（0, + ao）内单调增加.
公5・设/U）为定义在（-/./）内的荷函数.若/（X）在（01）内单调増加，证明/（#）在（-L0）内也单凋増加.
证设-/<X, <X2<0,则0< “2 <-A,</,由/（、）是哉函数，從/g）V（X|）=-/（-知）+f（-旳）■因为/Xx）在（OJ）内单调増加.所以y（-X!）-/（-x2）>0.从而/（旳）>/（旳），即/（X〉在《・"0）内也単调增加.
解设尸.其中叽/，均为常数.
因为〃=32。相当于。=。。/ =212。相当于C= 100°.所以
7 "*=槌
故〃=1.80+32或C=扌（F-32）.
(1)F=90°. C =刑90-32)52.2。.
C=-5。，F= 1.Xx(-5)+32= 23°.
(2)设温度値，符合题意.则有
/ = 1.8/ +32,I =-40.
尸銘EC
> =
y=•<>«< w
y=cotZ；
y=arcfiin lx I C1；
G2.卜列各题中，函数/(x)和g(x)是否相同？为什么”⑴/U) =lg/,g⑴=21gx；
同济大学高等数学第7版上册课后习题答案
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笔记和课后习题含考研真题详解同济大学数学系高等数学第7版上册资料来源
同济大学数Байду номын сангаас系《高等数学》（第7版）（上册）
笔记和课后习题（含考研真题）详解
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