刘徽和割圆术

刘徽和割圆术

中国向来以文明古国自称，谈到中国古代文明，我们一定会说起以“经世致用”为信条，以筹算为主的中国古代数学史。在这段曲折发展的历史中，我们的古代数学跟其他古文明一样，在一定程度上获得了发展，特别是在算法的深度和广度上有着卓越的发展。但我们不得不提及，在中国古代长达2000多年的封建制度统治下，数学研究一直停留在计算层面，理论的严谨和系统却不尽如人意，这同时也导致了一些错误的结果的出现。在这样的数学背景下，刘徽可谓是中国数学史上的一朵奇葩，他有着“为数学而数学”的价值观，曾令中国古代数学的严谨与系统达到前所未有的高度。下面我将主要介绍刘徽及其最耐人寻味的一段成就——割圆术。

刘徽，生于公元250年左右，是魏晋时人。他的一生为数学刻苦探求，虽然地位低下，但人格高尚。他所撰的《九章算术注》是中国最宝贵的数学遗产。刘徽思想敏捷，方法灵活，既提倡推理又主张直观，是中国最早明确主张用逻辑推理的方式来论证数学命题的人。他不是沽名钓誉的庸人，而是学而不厌的伟人。由于篇幅有限，对刘徽卓越的成就不能一一介绍，只能介绍其最耐人寻味的割圆术。割圆术可谓是中国古代数学的奇迹，在后面与阿基米德求圆面积方法的比较中，您将发现割圆术的精妙与美丽。

在《九章算术》中曾提到“圆田术”---半周半径相乘得积步。这就是著名的圆面积公式:

(1) 其中S 表示圆面积，C 表示周长，R 表示半径。我们今天可以得出这个公式是正确

的，但在《九章算术》中只是提到了这一结论，却未给出严谨的证明。在刘徽之前人们以圆内接正六边形的周长代替圆周长C ,以圆内接正十二边形的面积代替圆面积S ,用出入相补原理将正十二边形拼补成一个以正六边形的周长的一半作为长,以圆半径作为宽的长方形来推证上述公式。在今天，我们可以看出用圆内接正六边形和圆内接正十二边形来近似代替圆是相当粗糙的，但在当时很少有人能指出这一算法的不严谨性，而刘徽却说此方法“合径率一而外周率三也”，一针见血的指出了这一方法的不严格性。为了给出这一公式的严格证明方法，刘徽发明了割圆术。所谓割圆术其实就是现代微积分中的极限的思想，即用圆内接正多边形的面积来逼近圆的面积。正如他在《九章算术注》中所说“割之弥细，所失弥少。割之又割以至于不可割则与圆合体而无所失矣”。在利用这一方法证明这一公式的过程中，刘徽还计算出了当时最精确的圆周率近似值---徽率（ ），

这一结果要早西方很多年。同时，我们了解割圆术后会发现利用这种方法我们可

以将圆周率计算到任意精确程度，但当时计算能力有限，只能依靠手工验算，

所以刘徽能算到

，已是很了不起了。 下面我们看一下刘徽割圆术的具体做法。

12S CR 1575015750

首先，刘徽从圆内接正六边形出发，开始割圆。利用迭代的计算方法依次得到圆内接正62⨯，262⨯，……边形。我们记圆内接正62n ⨯边形的面积为n S ，0,1,2,3,...n =，记圆的面积为S ，则有

n S S <

而随着分割次数的增多,n S S -越来越小，到不可再割时，n S 与S 重合，也就有了

lim n n S S →∞

= 然后，圆内接正62n ⨯边形的每边和圆周之间有一段距离n r ，如下图CD ，称之为余径。记正62n ⨯边形的边长为n a ，将n a 乘n r ，其总和便是()12n n S S +-（这在下图中可以很显然的得到）。而()12n n S S +-正是下图中矩形''AA B B 的面积，将它加到n S 上，则有

()12n n n S S S S +<+-

然而到不可割时，正62n ⨯边形与圆周合体,则有余径为0，即

lim 0n n r →∞

= 于是有 lim 0n n n r a →∞

= 因此

()1lim 2n n n n S S S S +→∞

+-=⎡⎤⎣⎦ 这就证明了圆面积的上界序列与下界序列的极限都是圆面积。

最后便是求出圆的周长。

刘徽把不可再割时与圆周合体的正多边形分割成无穷多个以圆心为顶点,以B'

A'

D

C B A O

正多边形每边长为底的小等腰三角形,以圆半径乘这个多边形的边长是每个小等腰三角形面积的2 倍,也就是刘徽所说的“觚而裁之,每辄自倍”。显然,所有这些小等腰三角形的底边之和就是圆周长,并且所有这些小等腰三角形面积的总和, 就是圆的面积。于是就有了,圆半径乘圆周长,就是圆面积的2 倍，即

2CR S =

这样就证明了《九章算术》中著名的圆面积公式，即公式(1).

说到刘徽的割圆术，我们不得不提到古希腊数学家阿基米德计算圆面积的方法。阿基米德是分别用圆的内接正多边形和圆的外切正多边形来作为圆的上界序列和圆的下界序列来逼近圆的。这样就要进行两次来分别得到圆的内接正多边形和外切正多边形的面积，在古代的计算能力范围内，这无疑是增加了难度。比较下来，我们发现刘徽的割圆术可谓是事半功倍。

从割圆术的巧妙中我们看到了刘徽的智慧与严谨，这在中国古代数学中是难能可贵的。另外，割圆术中还包含了许多我们现在还在利用的数学方法和数学思想：

（1） 数形结合的的思想方法

在割圆的过程中刘徽一面画出图形，一面进行计算，这正是我们现代

数学中经常提到的数形结合的方法。在数形结合的过程中，让他的计算方法更为直观，易于后人的理解领悟。

（2） 极限的思想方法

割圆的不断进行，越割多边形的边数越多，越来越接近于圆，这样不断分割逼近圆的思想这是我们现代数学中所讲的极限思想。在刘徽的时代，他就能运用极限这是令人惊叹的。

（3） 数列极限的两面夹思想方法

在求数列极限的时候我们经常会用到两面夹准则。刘徽在割圆的过程

中就是利用了两面夹的方法。分别用n S 和n n+1n 2S S S +（-）从小大两个方向来

夹逼圆，两个数列极限一致，从而得出圆的面积公式。

不管是从数学本身还是文化层面来看割圆术，我们都能看到它的价值，它是中国古代数学的奇葩。至今仍是值得我们研究学习的。而刘徽的严谨治学的态度和精妙的解决方法至今也是值得我们后人效仿和学习的。