换元法(高中数学思想方法)

换元法
解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法。

换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理。

换元法又称辅助元素法、变量代换法。

通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来。

或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化。

它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式，在研究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用。

换元的方法有：局部换元、三角换元、均值换元等。

局部换元又称整体换元，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通
过变形才能发现。

例如解不等式：4x＋2x－2≥0，先变形为设2x＝t（t>0），而变为熟悉
的一元二次不等式求解和指数方程的问题。

三角换元，应用于去根号，或者变换为三角形式易求时，主要利用已知代数式中与三角知识中有某点联系进行换元。

如求函数y＝x＋1-x的值域时，易发现x∈[0,1]，设x
＝sin2α，α∈[0,π
2
]，问题变成了熟悉的求三角函数值域。

为什么会想到如此设，其中
主要应该是发现值域的联系，又有去根号的需要。

如变量x、y适合条件x2＋y2＝r2（r>0）时，则可作三角代换x＝rcosθ、y＝rsinθ化为三角问题。

均值换元，如遇到x＋y＝S形式时，设x＝S
2
＋t，y＝
S
2
－t等等。

我们使用换元法时，要遵循有利于运算、有利于标准化的原则，换元后要注重新变量范围的选取，一定要使新变量范围对应于原变量的取值范围，不能缩小也不能扩大。

如上几例
中的t>0和α∈[0,π
2 ]。

Ⅰ、再现性题组：
1.y＝sinx·cosx＋sinx+cosx的最大值是_________。

2.设f(x2＋1)＝log
a
(4－x4) （a>1），则f(x)的值域是_______________。

3.已知数列{a
n }中，a
1
＝－1，a
n+1
·a
n
＝a
n+1
－a
n
，则数列通项a
n
＝___________。

4.设实数x、y满足x2＋2xy－1＝0，则x＋y的取值范围是___________。

5.方程13
13
+
+
-x
x
＝3的解是_______________。

6.不等式log
2(2x－1) ·log
2
(2x+1－2)〈2的解集是_______________。

【简解】1小题：设sinx+cosx ＝t ∈[－2,2]，则y ＝t 22＋t －1
2，对称轴t ＝－1，
当t ＝2，y max ＝1
2
＋2；
2小题：设x 2＋1＝t (t ≥1)，则f(t)＝log a [-(t-1)2＋4]，所以值域为(－∞,log a 4]； 3小题：已知变形为
11
a n +－
1a n ＝－1,设b n ＝1
a n
，则b 1＝－1,b n ＝－1＋(n －1)(-1)＝－n ，所以a n ＝－1
n
；
4小题：设x ＋y ＝k ，则x 2－2kx ＋1＝0, △＝4k 2－4≥0,所以k ≥1或k ≤－1； 5小题：设3x ＝y ，则3y 2＋2y －1＝0,解得y ＝
1
3
，所以x ＝－1； 6小题：设log 2(2x －1)＝y ，则y(y ＋1)<2，解得－2<y<1，所以x ∈(log 25
4,log 23)。

Ⅱ、示范性题组：
例1. 实数x 、y 满足4x 2
－5xy ＋4y 2
＝5 （ ①式） ，设S ＝x 2
＋y 2
，求1S max
＋
1S min
的值。

（93年全国高中数学联赛题）
【分析】 由S ＝x 2＋y 2联想到cos 2α＋sin 2
α＝1,于是进行三角换元，设
x S y S ==⎧⎨
⎪⎩⎪cos sin α
α
代入①式求S max 和S min 的值。

【解】设x S y S ==⎧⎨⎪⎩
⎪cos sin αα代入①式得： 4S －5S ·sin αcos α＝5
解得 S ＝
10
852-sin α
；
∵ -1≤sin2α≤1 ∴ 3≤8－5sin2α≤13 ∴
1013≤1085-sin α≤103
∴
1S max
＋
1S min
＝
310＋1310＝1610＝8
5
此种解法后面求S 最大值和最小值，还可由sin2α＝810
S S
-的有界性而求，即解不等式：|
810
S S
-|≤1。

这种方法是求函数值域时经常用到的“有界法”。

【另解】 由S ＝x 2＋y 2，设x 2＝
S 2＋t ，y 2＝S 2－t ，t ∈[－S 2，S
2
]， 则xy ＝±S t 224－代入①式得：4S ±5S
t 2
24
－=5，
移项平方整理得 100t 2+39S 2－160S ＋100＝0 。

∴ 39S 2－160S ＋100≤0 解得：
1013≤S ≤10
3
∴
1S max
＋
1S min
＝
310＋1310＝1610＝8
5
【注】 此题第一种解法属于“三角换元法”，主要是利用已知条件S ＝x 2＋y 2与三角公式cos 2α＋sin 2α＝1的联系而联想和发现用三角换元，将代数问题转化为三角函数值域问题。

第二种解法属于“均值换元法”，主要是由等式S ＝x 2＋y 2而按照均值换元的思路，设x 2
＝S 2＋t 、y 2
＝S 2
－t ，减少了元的个数，问题且容易求解。

另外，还用到了求值域的
几种方法：有界法、不等式性质法、分离参数法。

和“均值换元法”类似，我们还有一种换元法，即在题中有两个变量x 、y 时，可以设x ＝a ＋b ，y ＝a －b ，这称为“和差换元法”，换元后有可能简化代数式。

本题设x ＝a ＋b ，y ＝a －b ，代入①式整理得3a 2
＋13b 2
＝5 ，求得a 2
∈[0,
53
]，所以S ＝(a －b)2＋(a ＋b)2＝2(a 2
＋b 2
)＝
1013＋2013a 2∈[1013,10
3
]，再求1S max ＋1S min 的值。

例2． △ABC 的三个内角A 、B 、C 满足：A ＋C ＝2B ，
1
cos A ＋1cos C
＝－2cos B ，求
cos
A C
-2
的值。

（96年全国理） 【分析】 由已知“A ＋C ＝2B ”和“三角形内角和等于180°”的性质，可得
A C
B +=⎧⎨⎩12060°＝°；由“A ＋
C ＝120°”进行均值换元，则设A C ＝°α
＝°－α
6060+⎧⎨
⎩ ，再代入可求cos α即cos
A C
-2。

【解】由△ABC 中已知A ＋C ＝2B ，可得 A C B +=⎧⎨⎩
12060°
＝°,
由A＋C＝120°，设
A
C
＝°α
＝°－α
60
60
+
⎧
⎨
⎩
，代入已知等式得：
1 cos A ＋
1
cos C
＝
1
60
cos()
︒+α
＋
1
60
cos()
︒-α
＝
1
1
2
3
2
cos sin
αα
-
＋1
1 2
3
2
cos sin
αα
+
＝
cos
cos sin
α
αα
1
4
3
4
22
-
＝
cos
cos
α
α2
3
4
-
＝－22,
解得：cosα＝
2
2
，即：cos
A C
-
2
＝
2
2。

【另解】由A＋C＝2B，得A＋C＝120°，B＝60°。

所以
1
cos A
＋
1
cos C
＝－
2
cos B
＝－22，设
1
cos A
＝－2＋m，
1
cos C
＝－2－m ，
所以cosA＝
1
2
-+m
，cosC＝
1
2
--m
，两式分别相加、相减得：
cosA＋cosC＝2cos A C
+
2
cos
A C
-
2
＝cos
A C
-
2
＝
22
2
2
m-
，
cosA－cosC＝－2sin A C
+
2
sin
A C
-
2
＝－3sin
A C
-
2
＝
2
2
2
m
m-
，
即：sin A C
-
2
＝－
2
32
2
m
m
()
-
，＝－
22
2
2
m-
，代入sin2
A C
-
2
＋cos2
A C
-
2
＝1整理
得：3m4－16m－12＝0,解出m2＝6，代入cos A C
-
2
＝
22
2
2
m-
＝
2
2。

【注】本题两种解法由“A＋C＝120°”、“
1
cos A
＋
1
cos C
＝－22”分别进行均
值换元，随后结合三角形角的关系与三角公式进行运算，除由已知想到均值换元外，还要求对三角公式的运用相当熟练。

假如未想到进行均值换元，也可由三角运算直接解出：由A＋
C＝2B，得A＋C＝120°，B＝60°。

所以
1
cos A
＋
1
cos C
＝－
2
cos B
＝－22，即cosA＋
cosC＝－22cosAcosC，和积互化得：
2cos A C
+
2
cos
A C
-
2
＝－2[cos(A+C)＋cos(A-C)，即cos
A C
-
2
＝
2
2
－2cos(A-C)
＝
2
2
－2(2cos2
A C
-
2
－1)，整理得：42cos2
A C
-
2
＋2cos
A C
-
2
－32＝0,
解得：cos A C
-
2
＝
2
2
例3. 设a>0，求f(x)＝2a(sinx＋cosx)－sinx·cosx－2a2的最大值和最小值。

【解】设sinx＋cosx＝t，则t∈[-2,2]，由(sinx＋cosx)
2＝1＋2sinx·cosx得：sinx·cosx＝t21 2 -
∴ f(x)＝g(t)＝－1
2
(t－2a)2＋
1
2
（a>0），t∈[-2,2]
t＝-2时，取最小值：－2a2－22a－1 2
当2a≥2时，t＝2，取最大值：－2a2＋22a－1
2
；
当0<2a≤2时，t＝2a，取最大值：1
2。

∴ f(x)的最小值为－2a2－22a－1
2
，最大值为
1
2
2
2
222
1
2
2
2
2
()
()
<<
-+-≥
⎧
⎨
⎪⎪
⎩
⎪
⎪
a
a a a。

【注】此题属于局部换元法，设sinx＋cosx＝t后，抓住sinx＋cosx与sinx·cosx 的内在联系，将三角函数的值域问题转化为二次函数在闭区间上的值域问题，使得容易求解。

换元过程中一定要注意新的参数的范围（t∈[-2,2]）与sinx＋cosx对应，否则将会出错。

本题解法中还包含了含参问题时分类讨论的数学思想方法，即由对称轴与闭区间的位置关系而确定参数分两种情况进行讨论。

一般地，在遇到题目已知和未知中含有sinx与cosx的和、差、积等而求三角式的最大值和最小值的题型时，即函数为f(sinx±cosx，sinxcsox)，经常用到这样设元的换元法，转化为在闭区间上的二次函数或一次函数的研究。

例4. 设对所于有实数x，不等式x2log
241
()
a
a
+
＋2x log
2
2
1
a
a+
＋log
2
()
a
a
+1
4
2
2
>0
恒成立，求a的取值范围。

（87年全国理）y
【分析】不等式中log 241()a a +、 log 221
a
a +、log 2()a a +1422
三项有何联系？进行对数式的有关变形后不难发现，再实施换元法。

【解】 设log 2
21a a +＝t ，则log 241()a a +＝log 2812()a a +＝3＋log 2a a
+1
2＝3－log
2
21a a +＝3－t ，log 2()a a +1422
＝2log 2a a
+1
2＝－2t ， 代入后原不等式简化为（3－t ）x 2＋2tx －2t>0，它对一切实数x 恒成立，所以：
3048302
->=+-<⎧⎨⎩
t t t t ∆()，解得t t t <<>⎧⎨⎩306或 ∴ t<0即log 221a a +<0 0<
21
a
a +<1，解得0<a<1。

【注】应用局部换元法，起到了化繁为简、化难为易的作用。

为什么会想到换元及如何
设元，关键是发现已知不等式中log 241()a a +、 log 221
a
a +、log 2()a a +1422三项之间的联
系。

在解决不等式恒成立问题时，使用了“判别式法”。

另外，本题还要求对数运算十分熟
练。

一般地，解指数与对数的不等式、方程，有可能使用局部换元法，换元时也可能要对所给的已知条件进行适当变形，发现它们的联系而实施换元，这是我们思考解法时要注意的一点。

例5. 已知sin θx ＝cos θy ，且cos 22θx ＋sin 22
θy ＝10
322()x y + (②式)，求x y 的
值。

【解】 设
sin θx
＝cos θy ＝k ，则sin θ＝kx ，cos θ＝ky ，且sin 2θ＋cos 2θ＝k 2
(x
2
+y 2
)＝1,代入②式得： k y x 222＋k x y 222＝10322()x y +＝1032k 即：y x 22＋x y
22＝10
3
设x y 22＝t ，则t ＋1t ＝103
, 解得：t ＝3或1
3 ∴x y ＝±3或±33
【另解】 由x y ＝sin cos θθ＝tg θ，将等式②两边同时除以cos 22
θ
x ，再表示成含tg θ
的式子：1＋tg 4θ＝()()110311
22+⨯
+
tg tg θθ
＝
103
tg 2
θ，设tg 2θ＝t ，则3t 2—10t ＋3＝0，
∴t ＝3或1
3
， 解得x y ＝±3或±33。

【注】 第一种解法由
sin θx
＝cos θy 而进行等量代换，进行换元，减少了变量的个数。

第二种解法将已知变形为
x y ＝sin cos θ
θ
，不难发现进行结果为tg θ，再进行换元和变形。

两种解法要求代数变形比较熟练。

在解高次方程时，都使用了换元法使方程次数降低。

例6. 实数x 、y 满足()x -192＋()y +1162
＝1，若x ＋y －k>0恒成立，求k 的范围。

【分析】由已知条件()x -192＋()y +116
2＝1，可以发现它与a 2＋b 2
＝1有相似之处，
于是实施三角换元。

【解】由()x -192＋()y +1162＝1，设x -13＝cos θ，y +1
4
＝sin θ，
即：x y =+=-+⎧⎨⎩
1314cos sin θ
θ 代入不等式x ＋y －k>0得：
3cos θ＋4sin θ－k>0，即k<3cos θ＋4sin θ＝5sin(θ+ψ) 所以k<-5时不等式恒成立。

【注】本题进行三角换元，将代数问题（或者是解析几何问题）化为了含参三角不等式恒成立的问题，再运用“分离参数法”转化为三角函数的值域问题，从而求出参数范围。

一般地，在遇到与圆、椭圆、双曲线的方程相似的代数式时，或者在解决圆、椭圆、双曲线等有关问题时，经常使用“三角换元法”。

本题另一种解题思路是使用数形结合法的思想方法：在平面直角坐标系，不等式ax ＋by ＋c>0 (a>0)所表示的区域为直线ax ＋by ＋c ＝0所分平面成两部分中含x 轴正方向的一部分。

此题不等式恒成立问题化为图形问题：椭圆上的点始
终位于平面上x ＋y －k>0的区域。

即当直线x ＋y －k
＝0在与椭圆下部相切的切线之下时。

当直线与椭圆相
k 平面区域
切时，方程组
16191144
22
()()
x y
x y k
-++=
+-=
⎧
⎨
⎩
有相等的一组实数解，消元后由△＝0可求得k
＝－3,所以k<-3时原不等式恒成立。

Ⅲ、巩固性题组：
1.已知f(x3)＝lgx (x>0)，则f(4)的值为_____。

A. 2lg2
B. 1
3lg2 C. 2
3
lg2 D. 2
3
lg4
2.函数y＝(x＋1)4＋2的单调增区间是______。

A. [-2,+∞)
B. [-1,+∞) D. (-∞,+∞)
C. (-∞,-1]
3.设等差数列{a
n }的公差d＝1
2
，且S
100
＝145，则a
1
＋a
3
＋a
5
＋……＋a
99
的值为
_____。

A. 85
B. 72.5
C. 60
D. 52.5
4.已知x2＋4y2＝4x，则x＋y的范围是_________________。

5.已知a≥0，b≥0，a＋b＝1，则a+1
2＋b+1
2
的范围是____________。

6.不等式x>ax＋3
2
的解集是(4,b)，则a＝________，b＝_______。

7.函数y＝2x＋x+1的值域是________________。

8.在等比数列{a
n }中，a
1
＋a
2
＋…＋a
10
＝2，a
11
＋a
12
＋…＋a
30
＝12，求a
31
＋a
32
＋…＋a
60。

9.实数m在什么范围内取值，对任意实数x，
不等式sin2x＋2mcosx＋4m－1<0恒成立。

10.已知矩形ABCD，顶点C(4,4)，A点在曲线
x2＋y2＝2 (x>0,y>0)上移动，且AB、AD
始终平行x轴、y轴，求矩形ABCD的最小面积。

y D C。